大一高等数学小公式来汇总
高等数学公式
导数公式：
(tgx)sec2x(ctgx)csc2x(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna1(logax)xlna基本积分表：
(arcsinx)11x21(arccosx)1x21(arctgx)1x21(arcctgx)1x2tgxdxlncosxCctgxdxlnsinxCsecxdxlnsecxtgxCcscxdxlncscxctgxCdx1xarctgCa2x2aadx1xalnx2a22axaCdx1axa2x22alnaxCdxxarcsinCa2x2a2ndx2cos2xsecxdxtgxCdx2sin2xcscxdxctgxCsecxtgxdxsecxCcscxctgxdxcscxCaxadxlnaCxshxdxchxCchxdxshxCdxx2a2ln(xx2a2)C2Insinxdxcosnxdx00n1In2nx2a22xadxxaln(xx2a2)C22x2a2222xadxxalnxx2a2C22x2a2x222axdxaxarcsinC22a22三角函数的有理式积分：
2u1u2x2dusinx， cosx， utg， dx
21u21u21u一些初等函数：两个重要极限：
exex双曲正弦:shx2exex双曲余弦:chx2shxexex双曲正切:thxchxexexarshxln(xx21）archxln(xx21)11xarthxln21x
三角函数公式：诱导公式：
函数角A-α90°-α90°+α180°-α180°+α270°-α270°+α360°-α360°+αsinlimsinx1x0x1lim(1)xe2.718281828459045...xxcostg-tgαctgαctg-ctgαtgα-ctgαctgαtgα-ctgαctgα-sinαcosαcosαcosαsinαsinα-sinα-ctgα-tgα-cosα-tgα-sinα-cosαtgα-cosα-sinαctgα-cosαsinα-sinαcosαsinαcosα-tgαtgα-ctgα-tgα
和差角公式：和差化积公式：
sin()sincoscossincos()coscossinsintgtgtg()1tgtgctgctg1ctg()ctgctg
sinsin2sin22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22cos倍角公式：
sin22sincoscos22cos2112sin2cos2sin2ctg21ctg22ctg2tgtg21tg2
半角公式：
sin33sin4sin3cos34cos33cos3tgtg3tg313tg2sintg
21cos1cos cos2221cos1cossin1cos1cossin ctg1cossin1cos21cossin1cosabc2R余弦定理：c2a2b22abcosCsinAsinBsinC2正弦定理：
反三角函数性质：arcsinx2arccosx arctgx2arcctgx
高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：
(uv)(n)k(nk)(k)Cnuvk0nu(n)vnu(n1)vn(n1)(n2)n(n1)(nk1)(nk)(k)uvuvuv(n)2!k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)f(b)f(a)f()柯西中值定理：F(b)F(a)F()曲率：
当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。弧微分公式：ds1y2dx,其中ytg平均曲率：K.:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。sydM点的曲率：Klim.
23s0sds(1y)直线：K0;1半径为a的圆：K.a定积分应用相关公式：
功：WFs水压力：FpAmm引力：Fk122,k为引力系数
rb1函数的平均值：yf(x)dxbaa1均方根：f2(t)dtbaa
bm(m1)2m(m1)(mn1)nxx (1x1)2!n!2n1x3x5xsinxx(1)n1 (x)3!5!(2n1)!(1x)m1mx微分方程的相关概念：
一阶微分方程：yf(x,y) 或 P(x,y)dxQ(x,y)dy0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式，解法：g(y)dyf(x)dx 得：G(y)F(x)C称为隐式通解。dyyf(x,y)(x,y)，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设u，则ux，u(u)，分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx(u)ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：dy1、一阶线性微分方程：P(x)yQ(x)dxP(x)dx当Q(x)0时,为齐次方程，yCeP(x)dxP(x)dx当Q(x)0时，为非齐次方程，y(Q(x)edxC)e
dy2、贝努力方程：P(x)yQ(x)yn，(n0,1)dx全微分方程：
如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程，即：uudu(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0，其中：P(x,y)，Q(x,y)
xyu(x,y)C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：
f(x)0时为齐次d2ydyP(x)Q(x)yf(x)，2dxdxf(x)0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*)ypyqy0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2prq0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；2、求出()式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：r1，r2的形式两个不相等实根(p4q0)两个相等实根(p24q0)一对共轭复根(p24q0)2(*)式的通解yc1er1xc2er2xy(c1c2x)er1xyex(c1cosxc2sinx)r1i，r2i4qp2p，22二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyf(x)，p,q为常数f(x)exPm(x)型，为常数；f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型
(1)(a^x)(n)a^x(lna)^n(a0)(2)sin(kx)(n)k^nsin(kxn*/2)(3)cos(kx)(n)k^ncos(kxn*/2)(4)(x^m)(n)m(m1)....(mn1)x^(mn)(5)(lnx)(n)(1)^(n1)[(n1)!/(x^n)](6)莱布尼兹公式：(uv)(n)c(i,n)u(i)v(ni)i0n
曲率半径1/k
中值定理。
1。洛尔定理
设函数f(x)满足在[a,b]上连续，在开区间(a,b)可导，且f(a)f(b)，则在(a,b)内至少存在一点，使f"()02。拉格浪日定理
f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导，则在(a,b)内至少存在一个使
f(b)f(a)f"()(ba)3．柯西中值定理
f(x),g(x)满足在[a,b]连续，在(a,b)可导，且g(x)0,则在(a,b)内至少存在一个，使[f(b)f(a)]/[g(b)g(a)]f"()/g"()
4．台劳公式
f(x)f(0)f"(0)x1/2!f""(0)x^2....1/n!f^(n)(0)x^nRn(x)5.五种常见函数的台劳展开
(1)e^x1x1/2!x^2.....1/n!x^n1/(n1)!x^(n1)e^（2）sinxx1/3!x^3...1/n!(x^n)sin(n/2)o(x^n)（3）cosx11/2!x^2....1/n!(x^n)cos(n/2)o(x^n)(4)
ln(1x)x1/2*x^21/3*x^3....(1)^(n1)1/n(x^n)o(x^n)
(5)
(1x)^m1mxm*(m1)/2!(x^2)...m(m1)...(mn1)/n!(x^n)o(x^n)
扩展阅读：大一高等数学公式
高等数学公式
导数公式：
2(tgx)secx(arcsinx)(arccosx)(arctgx)11x11x22(ctgx)cscx11x22(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(a)alna(logaxxx)1xlna(arcctgx)11x2基本积分表：
三角函数的有理式积分：
tgxdxctgxdxsecaxalncosxClnsinxCcossindx2xxseccsc2xdxtgxCxdxctgxCdx22xdxlnsecxtgxCcscxdxlncscxctgxCdx2secxtgxdxcscxctgxdxaxsecxCcscxCCxdxadxxdx221a1arctglnlnxaCCCxaxaaxaxxadxaxlna222a12ashxdxchxdx2chxCshxCln(xxa)C2222ax2arcsinCdxxa222Insin02nxdxcos0nxdx2n1naaa2In2xa)CxaxaC2222sinx2u1uxadxxadxaxdx22222x2x2x2xaxaax2222222ln(xlnxarcsin22C2， cosx2x2du， utg， dx22
21u1u1/12
1u
一些初等函数：两个重要极限：
ee2ee2shxchx2xxxx双曲正弦:shx双曲余弦:chx双曲正切:thxarshxln(xarchxln(xarthx12ln1x1xlimsinxx1xx01)e2.7182818284x
59045...lim(1xeeeexxxx
x1）x1)2三角函数公式：诱导公式：
函数角A-α90°-α90°+α180°-α180°+α270°-α270°+α360°-α360°+αsincostg-tgαctgαctg-ctgαtgα-ctgαctgαtgα-ctgαctgα-sinαcosαcosαcosαsinαsinα-sinα-ctgα-tgα-cosα-tgα-sinα-cosαtgα-cosα-sinαctgα-cosαsinα-sinαcosαsinαcosα-tgαtgα-ctgα-tgα
和差角公式：和差化积公式：
sin()sincoscossincos()coscossinsintg()tgtg1tgtgctgctg1ctgctgsinsin2sinsinsin2cos2cossin222coscos2coscoscos2sin2cossin2ctg()22
2/12
倍角公式：sin22sincoscos22cos112sincossinctg2tg2ctg12ctg2tg1tg222222sin33sin4sincos34cos3costg33tgtg13tg2333
半角公式：
sintg21cos21cos1cosasinA 1cossinbsinB cos ctg21cos21cos1cos22
1cossin22csin1cos2sin1cos正弦定理：
sinC2R余弦定理：cab2abcosC
反三角函数性质：arcsinx2arccosx arctgx2arcctgx
高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：
n(uv)u(n)Ck0knu(nk)v(k)(n)vnu(n1)vn(n1)2!u(n2)vn(n1)(nk1)k!
u(nk)v(k)uv(n)中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：柯西中值定理：f(b)f(a)f()(ba)f()F()拉格朗日中值定理。f(b)f(a)F(b)F(a)
当F(x)x时，柯西中值定理就是曲率：
弧微分公式：平均曲率：Kdss1ydx,其中ytg.:从M点到M点，切线斜率的倾角变sddsy(1y)232化量；s：MM弧长。M点的曲率：直线：K0;Klims0.
半径为a的圆：K
1a.3/
定积分的近似计算：
b矩形法：f(x)abban(y0y1yn1)梯形法：f(x)abba1[(y0yn)y1yn1]n2ba3n[(y0yn)2(y2y4yn2)4(y1y3yn1)]
抛物线法：f(x)a定积分应用相关公式：
功：WFs水压力：FpA引力：Fkm1m2r2,k为引力系数
函数的平均值：y1babbaa1bf(x)dx均方根：af(t)dt2空间解析几何和向量代数：空间2点的距离：向量在轴上的投影：dM1M2(x2x1)(y2y1)(z2z1)222PrjuABABcos,是AB与u轴的夹角。Prju(a1a2)Prja1Prja2ababcosaxbxaybyazbz,是一个数量两向量之间的夹角：cosk,axbxaybyazbzaxayazbxbybz222222icabaxbxjaybyaz,cabsin.例：线速度：bzaybycyazbzczvwr.ax向量的混合积：[abc](ab)cbxcx代表平行六面体的体积。abccos,为锐角时，
4/12
平面的方程：1、点法式：A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，其中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)AxByCzD0xaybzc1dAx0By0Cz0DABC空间直线的方程：2222、一般方程：3、截距世方程：平面外任意一点到该平面的距离：xx0mtxx0yy0zz0t,其中s{m,n,p};参数方程：yy0ntmnpzzpt02222二次曲面：1、椭球面：2、抛物面：3、双曲面：单叶双曲面：双叶双曲面：xaxa2222xa222yb2zc1xy2p2qz（,p,q同号）ybyb2222zczc22221（马鞍面）1
多元函数微分法及应用全微分：dzzxdxzydy duuxdxuydyuzdz全微分的近似计算：多元复合函数的求导法zdzfx(x,y)xfy(x,y)y：dzzuzvzf[u(t),v(t)] dtutvtzzuzvzf[u(x,y),v(x,y)] xuxvx当uu(x,y)，vv(x,y)时，duuxdxuydy dvvxdxvydy 隐函数的求导公式：FFFdydydy隐函数F(x,y)0， x， 2(x)＋(x)dxFyxFyyFydxdxFyFxzz隐函数F(x,y,z)0， ， xFzyFz5/12
FF(x,y,u,v)0(F,G)隐函数方程组： JuG(u,v)G(x,y,u,v)0uuxuy1(F,G)v1(F,G) J(x,v)xJ(u,x)1(F,G)v1(F,G) J(y,v)yJ(u,y)FvFuGGuvFvGv
微分法在几何上的应用：
x(t)xx0yy0zz0空间曲线y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：(t0)(t0)(t0)z(t)在点M处的法平面方程：若空间曲线方程为：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0,GzGzFzFz,GxGxFxFxFyGyFyF(x,y,z)0,则切向量T{GyG(x,y,z)0}曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}2、过此点的切平面方程3、过此点的法线方程：：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0xx0Fx(x0,y0,z0)yy0Fy(x0,y0,z0)zz0Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：
函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向其中为x轴到方向l的转角。函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)它与方向导数的关系是单位向量。l多元函数的极值及其求法：f是gradf(x,y)在l上的投影。ffijxyl的方向导数为：flfxcosfysinf：gradf(x,y)e，其中ecosisinj，为l方向上的l
设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，令：fxx(x0,y0)A, fxy(x0,y0)B, fyy(x0,y0)CA0,(x0,y0)为极大值2ACB0时，A0,(x0,y0)为极小值2则：值ACB0时， 无极ACB20时, 不确定
6/12
重积分及其应用：
Df(x,y)dxdyDf(rcos,rsin)rdrdzz1dxdyxy22曲面zf(x,y)的面积ADx平面薄片的重心：xMMx(x,y)dD(x,y)dD, yMMyDDy(x,y)d(x,y)dD
x(x,y)d2平面薄片的转动惯量：平面薄片（位于Fxf对于x轴IxDy(x,y)d, 对于y轴Iy2xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a0)的引力：F{Fx,Fy,Fz}，其中：， Fyf3D(x,y)xd222D(x,y)yd222， Fzfa3D(x,y)xd3(xya)2(xya)2(xya)2222柱面坐标和球面坐标：
xrcos柱面坐标：yrsin, f(x,y,z)dxdydzzz其中：F(r,,z)f(rcos,rsin,z)xrsincos2球面坐标：yrsinsin， dvrdrsinddrrsindrddzrcos2F(r,,z)rdrddz,
r(,)f(x,y,z)dxdydz1MF(r,,)rsindrdd1M2dd00F(r,,)rsindr02重心：x转动惯量：xdv, yydv, z1M2zdv， 其中Mx22dvIx(yz)dv， Iy22(xz)dv， Iz2(xy)dv曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：, (t),则：y(t)Lf(x,y)dsxt22f[(t),(t)](t)(t)dt () 特殊情况：y(t)7/12
第二类曲线积分（对坐设L的参数方程为标的曲线积分）：x(t)，则：y(t)P(x,y)dxLQ(x,y)dy{P[(t),L(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt两类曲线积分之间的关L上积分起止点处切向量格林公式：系：PdxQdy的方向角。)dxdy(PcosLQcos)ds，其中和分别为(DQxPyPdxLQdy格林公式：(DQxPy)dxdy12PdxLQdyQP当Py,Qx，即：2时，得到xy平面上曲线积分与路径1、G是一个单连通区域；无关的条件：D的面积：ADdxdyxdyLydx2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，二元函数的全微分求积在Qx＝Py注意方向相反！：，且Qx＝Py。注意奇点，如(0,0)，应
u(x,y)的全微分，其中：时，PdxQdy才是二元函数(x,y)u(x,y)P(x,y)dx(x0,y0)Q(x,y)dy，通常设x0y00。曲面积分：
对面积的曲面积分：对坐标的曲面积分：f(x,y,z)dsDxyf[x,y,z(x,y)]1zx(x,y)zy(x,y)dxdy22P(x,y,z)dydzDxyQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy，其中：号；R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正Dyz
号；号。QcosRcos)dsP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正Dzx两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdy(Pcos高斯公式：
(PxQyRz)dvPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds高斯公式的物理意义通量与散度：div0,则为消失...PQR散度：div,即：单位体积内所产生的流体质量，若xyz通量：AndsAnds(PcosQcosRcos)ds，因此，高斯公式又可写成：divAdvAnds8/12
斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：
(RyQz)dydz(PzRx)dzdx(dzdxyQQxPy)dxdycosxPPdxQdyRdzcoszR上式左端又可写成：dydzxPdxdyzRRycosyQ空间曲线积分与路径无ixPjyQ关的条件：kzRQPRQP， ， zzxxy
旋度：rotA向量场A沿有向闭曲线的环流量：PdxQdyRdzAtds常数项级数：
等比数列：1qq2qn11qn1q等差数列：123n调和级数：112131n(n1)n2
是发散的级数审敛法：
1、正项级数的审敛法根植审敛法（柯西判别法）：设：limnn1时，级数收敛un，则1时，级数发散1时，不确定1时，级数收敛，则1时，级数发散1时，不确定散。2、比值审敛法：Un1Un
设：limn3、定义法：snu1u2un;limsn存在，则收敛；否则发n交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的审敛法如果交错级数满足unun1，那么级数收敛且其和limu0nn莱布尼兹定理：
su1,其余项rn的绝对值rnun1。绝对收敛与条件收敛：
9/12
(1)u1u2un，其中un为任意实数；(2)u1u2u3un如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对如果(2)发散，而(1)收敛，则称调和级数： 级数：1nn发散，而收敛；ｐ１时发散 p1时收敛收敛级数；(1)为条件收敛级数。n
(1)n收敛；12 p级数：1np幂级数：
23n1xxxx x1时，收敛于x1时，发散11x对于级数(3)a0a1x a2xanx，如果它不是仅在原点xR时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使2n收敛，也不是在全xR时发散，其中R称为收敛半径。xR时不定
0时，R求收敛半径的方法：设liman1an，其中an，an1是(3)的系数，则1n0时，R时，R0函数展开成幂级数：
函数展开成泰勒级数：余项：Rnf(n1)f(x)f(x0)(xx0)(xx0)n1f(x0)2!(xx0)2f(n)(x0)n!(xx0)n()(n1)!,f(x)可以展开成泰勒级数的f(0)2!2充要条件是：limRn0n
x00时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)xxf(n)(0)n!xn一些函数展开成幂级数：
(1x)m1mxx3m(m1)2!x2xm(m1)(mn1)n!xn (1x1)
sinxx3!x52n15!(1)n1(2n1)! (x)欧拉公式：
ixixeecosx2cosxisinx 或ixixsinxee2eix
三角级数：
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f(t)A0n1Ansin(ntn)a02(an1ncosnxbnsinnx)其中，a0aA0，anAnsinn，bnAncosn，tx。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积上的积分＝0。在[,]
傅立叶级数：
f(x)a02(an1ncosnxbnsinnx)，周期21an其中1bn1 122f(x)cosnxdx (n0,1,2)f(x)sinnxdx (n1,2,3)1321421521622811222133214422
6（相加）224121212122（相减）12正弦级数：an0，bn20f(x)sinnxdx n1,2,3 f(x)ba02nsinnx是奇函数余弦级数：bn0，an0f(x)cosnxdx n0,1,2 f(x)ancosnx是偶函数周期为2l的周期函数的傅立叶级数：
f(x)a02(an1ncosnxlbnsinnxl)，周期2ll1nxdx (n0,1,2)anf(x)coslll其中l1nxbnf(x)sindx (n1,2,3)lll
微分方程的相关概念：
一阶微分方程：yf(x,y) 或 P(x,y)dxQ(x,y)dy0：一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式，解法：可分离变量的微分方程g(y)dyyxf(x)dx 得：G(y)F(x)C称为隐式通解。程可以写成dudx，ududxdydxf(x,y)(x,y)，即写成dxxduyx的函数，解法：yx
齐次方程：一阶微分方设u，则dydxux(u)，(u)u分离变量，积分后将代替u，即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：
1、一阶线性微分方程：dydxP(x)yQ(x)P(x)dxyCe当Q(x)0时,为齐次方程，
P(x)dxP(x)dxdxC)e当Q(x)0时，为非齐次方程，2、贝努力方程：dydxy(Q(x)enP(x)yQ(x)y，(n0,1)11/12
全微分方程：
如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0，其中：u(x,y)C应该是该全微分方程的u分方程，即：uP(x,y)，Q(x,y)xy
通解。二阶微分方程：dydx22P(x)dydxQ(x)yf(x)，f(x)0时为齐次f(x)0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*)ypyqy0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2、求出()式的两个根2prq0，其中r，r的系数及常数项恰好是r1,r22(*)式中y,y,y的系数；3、根据r1,r2的不同情况，按下表写r1，r2的形式出(*)式的通解：
(*)式的通解两个不相等实根(p24q0)两个相等实根(p24q0)一对共轭复根(p24q0)r1i，r2iyc1er1xc2er2xy(c1c2x)eyexr1x(c1cosxc2sinx)p2，4qp22二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyf(x)，p,q为常数f(x)ePm(x)型，为常数；f(x)e[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型xx
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