高数下册复习知识点总结
高数下册复习知识点总结:
8空间解析几乎与向量代数
1.给定向量的坐标表达式,如何表示单位向量、方向数与方向余弦、投影。
2.向量的数量积、向量积的定义式与坐标式,掌握两个向量垂直和平行的条件。
3.了解常用二次曲面的方程及其图形,以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程。空间曲线在坐
标平面上的投影方程。
4.平面方程和直线方程及其求法。
5.平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,利用平面、直线的相互关系(平行、
垂直、相交等)解决有关问题。
6.点到直线以及点到平面的距离。
9多元函数微分法及其应用
1.有关偏导数和全微分的求解方法,偏导要求求到二阶。2.复合函数的链式法则,隐函数求导公式和方法。
3.空间曲线的切线和法平面方程,空间曲面的切平面与法线方程;函数沿着一条直线的方向导数与梯度。
4.利用充分条件判断函数的极值问题;利用拉格朗日乘子法(即条件极值)分析实际问题或给定函数的最值问题。
10重积分
1.二重积分直角坐标交换积分次序;选择合适的坐标系计算二重积分。2.选择合适的坐标系计算三重积分。
3.利用二重积分计算曲面的面积;利用三重积分计算立体体积;4.利用质心和转动惯量公式求解问题。
11曲面积分与曲线积分
1.两类曲线积分的计算与联系;2.两类曲面积分的计算与联系;3.格林公式和高斯公式的应用。 12曲面积分与曲线积分
1.常数项积分的敛散性判别:(1)正项级数;(2)交错级数;(3)一般级数2.幂级数的收敛域(1)标准型(2)非标准型
幂级数的和函数,幂级数展开3.傅里叶级数的和函数以及展开式
扩展阅读:高数下册总复习知识点归纳(1)
高等数学(一)教案期末总复习
第八、九章向量代数与空间解析几何总结
向量代数定义与运算的几何表达定义向量模有大小、有方向.记作a或AB向量a的模记作a在直角坐标系下的表示aaxiayjazk(ax,ay,az)axprjxa,ayprjya,azprjzaaax2ay2az2和差cabca-b单位向量cabaxbx,ayby,azbzaa0,则eaa设a与x,y,z轴的夹角分别为,,,则方向余弦分别为cos,cos,cosea(ax,ay,az)axayaz222方向余弦aaacosx,cosy,coszaaaea(cos,cos,cos)cos2+cos2cos21点乘(数量积)ababcos,为向量a与b的夹角abaxbxaybyazbziabaxbxjaybykazbzcabsin叉乘(向量积)为向量a与b的夹角cab向量c与a,b都垂直定理与公式垂直平行abab0abaxbxaybyazbz0a//bcosa//bab0axayazbxbybz2222交角余弦ab两向量夹角余弦cosab向量a在非零向量b上的投影axbxaybyazbzaxayazbxbybz22投影prjbaacos(ab)abbprjbaaxbxaybyazbzbxbybz222平面法向量n{A,B,C}点M0(x0,y0,z0)方程名称一般式点法式方程形式及特征直线方向向量T{m,n,p}点M0(x0,y0,z0)方程名称一般式点向式方程形式及特征A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20AxByCzD0A(xx0)B(yy0)C(zz0)0
xx0yy0zz0mnp高等数学(一)教案期末总复习
xx1三点式yy1y2y1y3y1zz1z2z10z3z1两点式线线垂直线线平行线面平行参数式x2x1x3x1截距式面面垂直面面平行线面垂直xyz1abcA1A2B1B2C1C20A1B1C1A2B2C2ABCmnpxx0mtyy0ntzzpt0xx0yy0zz0x1x0y1y0z1z0m1m2n1n2p1p20m1n1p1m2n2p2AmBnCp0点面距离M0(x0,y0,z0)AxByCzD0面面距离AxByCzD10AxByCzD20dAx0By0Cz0DABC222dD1D2ABC222面面夹角n1{A1,B1,C1}n2{A2,B2,C2}cos|A1A2B1B2C1C2|A1B1C1A2B2C2222222线线夹角s1{m1,n1,p1}s2{m2,n2,p2}线面夹角s{m,n,p}n{A,B,C}AmBnCpA2B2C2m2n2p2cosm1m2n1n2p1p2222m12n12p12m2n2p2sinx(t),y(t),z(t),切“线”方程:切向量xx0yy0zz0(t0)(t0)(t0)空间(t)曲线:T((t0),(t0),(t0))法平“面”方程:(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0切“线”方程:y(x)切向量z(x)T(1,(x),(x))xx0yy0zz01(x0)(x0)法平“面”方程:(xx0)(x0)(yy0)(x0)(zz0)0法向量切平“面”方程:Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fx(x0,y0,z0)(yy0)F(x,y,z)0空间曲面:n(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)Fx(x0,y0,z0)(zz0)0法“线“方程:xx0yy0zz0Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)切平“面”方程:fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)(zz0)0法“线“方程:
zf(x,y)或n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)xx0yy0zz0fx(x0,y0)fy(x0,y0)1高等数学(一)教案期末总复习
第十章总结
重积分计算方法(1)利用直角坐标系X型Y型积分类型二重积分典型例题f(x,y)dxdydxDab2(x)1(x)f(x,y)dyf(x,y)dxP141例1、例3f(x,y)dxdyDdcdy2(y)1(y)Ifx,ydD(2)利用极坐标系使用原则(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段);(2)被积函数用极坐标变量表示较简单(含(x2y2),平面薄片的质量质量=面密度面积为实数)P147例5f(cos,sin)ddDd2()1()f(cos,sin)d0202(3)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时,(关于x轴对称时,有类似结论)0I2f(x,y)dxdyD1计算步骤及注意事项f(x,y)对于x是奇函数,即f(x,y)f(x,y)f(x,y)对于x是偶函数,即f(x,y)f(x,y)D1是D的右半部分P141例2应用该性质更方便1.画出积分区域2.选择坐标系标准:域边界应尽量多为坐标轴,被积函数关于坐标变量易分离3.确定积分次序原则:积分区域分块少,累次积分好算为妙4.确定积分限方法:图示法先积一条线,后扫积分域5.计算要简便注意:充分利用对称性,奇偶性
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三重积分(1)利用直角坐标投影投影法截面法bay2(x)f(x,y,z)dVdxy1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dzP159例1P160例2xrcos(2)利用柱面坐标yrsinzz相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围:1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单;如旋转体○If(x,y,z)dvP161例3空间立体物的质量质量=密度面积22222被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如f(xy)f(xz)○f(x,y,z)dVdzdabr2()r1()f(cos,sin,z)dxcosrsincos(3)利用球面坐标ysinrsinsinzrcosdvr2sindrdd适用范围:1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如,球体,锥体.○P16510-(1)2222被积函数用球面坐标表示时变量易分离.如,f(xyz)○Idd11222(,)1(,)f(sincos,sinsin,cos)2sind(4)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
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第十一章总结
曲线积分与曲面积分积分类型参数法(转化为定积分)第一类曲线积分(1)L:y(x)IIf(x,y)ds计算方法典型例题(t)Iaf(x,y(x))1y"(x)dx曲形构件的质量(2)L:y(t)质量=线密度xr()cos弧长(3)rr()()L:f((t),(t))b"2(t)"2(t)dt2Lx(t)P189-例1P190-3yr()sinIf(r()cos,r()sin)r2()r"2()d平面第二类曲线积分(1)参数法(转化为定积分)x(t)L:(t单调地从到)y(t)P196-例1、例2、例3、例4LPdxQdy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt(2)利用格林公式(转化为二重积分)条件:①L封闭,分段光滑,有向(左手法则围成平面区域D)②P,Q具有一阶连续偏导数结论:LPdxQdy(DQP)dxdyxy满足条件直接应用IPdxQdy应用:有瑕点,挖洞L不是封闭曲线,添加辅助线变力沿曲线所做的功P205-例4P214-5(1)(4)(3)利用路径无关定理(特殊路径法)等价条件:①QP②xy③PdxQdy0LLPdxQdy与路径无关,与起点、终点有关P211-例5、例6、例7④PdxQdy具有原函数u(x,y)(特殊路径法,偏积分法,凑微分法)(4)两类曲线积分的联系IPdxQdy(PcosQcos)dsLL空间第二类曲线积分(1)参数法(转化为定积分)PdxQdyRdz{P[(t),(t),(t)](t)Q[(t),(t),(t)](t)R[(t),(t),(t)](t)}dtIPdxQdyRdz(2)利用斯托克斯公式(转化第二类曲面积分)L条件:①L封闭,分段光滑,有向②P,Q,R具有一阶连续偏导数PdxQdyRdzL变力沿曲线所做结论:的功QpRQPR()dydz()dzdx()dxdyyzzxxyP240-例1
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应用:满足条件直接应用不是封闭曲线,添加辅助线第一类曲面积分投影法:zz(x,y)投影到xoy面If(x,y,z)dv曲面薄片的质量Dxy质量=面密度类似的还有投影到yoz面和zox面的公式面积(1)投影法Pdydzp(x(y,z),y,z)dydz1○Dyz:zz(x,y),为的法向量与x轴的夹角前侧取“+”,cos0;后侧取“”,cos0Qdzdxp(x,y(x,z),z)dzdx2第二类曲面积分○Dyz:yy(x,z),为的法向量与y轴的夹角右侧取“+”,cos0;左侧取“”,cos02If(x,y,z)dvf(x,y,z(x,y))1zx2zydxdyP217-例1、例2P226-例2IPdydzQdzdxR3QdxdyQ(x,y,z(x,y))dxdy○Dyz流体流向曲面一侧的流量:xx(y,z),为的法向量与x轴的夹角上侧取“+”,cos0;下侧取“”,cos0(2)高斯公式右手法则取定的侧条件:①封闭,分片光滑,是所围空间闭区域的外侧②P,Q,R具有一阶连续偏导数结论:PdydzQdzdzRdxdy(PQR)xyzP231-例1、例2应用:满足条件直接应用不是封闭曲面,添加辅助面(3)两类曲面积分之间的联系PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dSP228-例3转换投影法:dydz(
所有类型的积分:
z)dxdyxdzdx(z)dxdyy1定义:四步法分割、代替、求和、取极限;○
2性质:对积分的范围具有可加性,具有线性性;○
3对坐标的积分,积分区域对称与被积函数的奇偶性。○
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第十二章总结
1若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛○
2两个收敛级数的和差仍收敛○
用收敛定义,limsn存在
n注:一敛、一散之和必发散;两散和、差必发散.
3去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性○
4若级数收敛则对这级数的项任意加括号后所成○
一般项级
数的级数仍收敛,且其和不变。
常数项级数的基本性质
推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散注:收敛级数去括号后未必收敛.
常数项级数的基本性质
5(必要条件)如果级数收敛则limu0○nn0常
数项级数
交错级数
莱布尼茨判别法
若unun1且limun0,则(1)n1unnn1收敛
比较判别法
un和vn都是正项级数,且unvn.若vn收敛,则un也收敛;若un发散,则vn也发散.
1若un和vn都是正项级数,且limunl,则○
n正
项级数
比较判别法的极限形式
vn2若l0,v收0l,un与vn同敛或同散;○n3如果l敛,un也收敛;○
比值判别法
根值判别法
,vn发散,un也发散。
uun是正项级数,limn1,limnun,则1时收
nnun敛;1()时发散;1时可能收敛也可能发散.
收敛性
an0n1,0;R,0;R0,.xn,liman1,Rnan缺项级数用比值审敛法求收敛半径
1在收敛域I上连续;○2在收敛域(R,R)内可导,3且可逐项求导;○s(x)的性质○
无穷级数幂级数
和函数和函数s(x)在收敛域I上可积分,且可逐项积分.(R不变,收敛域可能变化).
展成幂级数直接展开:泰勒级数间接展开:六个常用展开式
11nxx(1x1)exn(x)1xn1n1n!T2
T2l1a0f(x)(ancosnxbnsinnx)a02n1f(x)dx
傅立叶级数
an1f(x)cosnxdxbn1f(x)sinnxdx收敛定理
x是连续点,收敛于f(x);x是间断点,收敛于1[f(x)f(x)]
2周期延拓
f(x)为奇函数,正弦级数,奇延拓;f(x)为偶函数,余弦级数、偶延拓.
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