一元二次函数知识点汇总
一元二次函数知识点汇总
1.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的一元二次函数.2.二次函数yax2的性质
(1)抛物线yax2（a0）的顶点是原点，对称轴是y轴.(2)函数yax2的图像与a的符号关系：
时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.
0①当a4.二次函数yax2222bxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中hb，k4acb.
2a4a5.抛物线yaxbxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a决定抛物线的开口方向：
当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a越小，抛物线的开口越大，a越大，抛物线的开口越小。②对称轴为平行于y轴(或重合)的直线，记作xh.特别地，y轴记作直线x0.③定点是抛物线的最值点[最大值(a0时)或最小值(a0时)]，坐标为(h,k)。6.求抛物线的顶点、对称轴的方法
2bb4acbb4acb2(1)公式法：yaxbxcax，∴顶点是.（，），对称轴是直线x2a2a4a2a4a22(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是xh.
2(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点
连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★7.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用
(1)a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.
(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线x①b0时，对称轴为y轴；②ba2b2a,故：
0时,对称轴在y轴左侧；③ba0时,对称轴在y轴右侧.
(3)c的大小决定抛物线yaxbxc与y轴交点的位置.
2当x0时，yc，∴抛物线yaxbxc与y轴有且只有一个交点(0，c)：
①c0，抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则ba0.
8.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc.图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2x0(y轴)yax(0,0)22222yax2k2当a0时开口向上a0时k当开口向下x0(y轴)xhxhxb2a(0,k)(h,0)(h,k)2yaxhyaxh2yax2bxc4acb，(2a4ab)
9.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.(2)顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
2(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2.10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系）(1)y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c)
(2)与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah(3)抛物线与x轴的交点
ax22bhc).
二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程
bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x轴相交；
②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。(5)一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点，由方程组
ykxn的解的数目来确定：2yaxbxc①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;
②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.
(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bxc与x轴两交点为Ax1，由于0，Bx2，0，
bcxx,xxx1、x2是方程axbxc0的两个根，故由韦达定理知：1212aa2ABx1x2x1x22x1x224x1x24cbaa2b4aca2a
11．二次函数与一元二次方程的关系：
22(1)一元二次方程0axbxc就是二次函数yaxbxc当函数y的值为0时的情况．(2)二次函数yaxbxc的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；
当二次函数yaxbxc的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y0时自变量x的值，即一元二次方程axbxc0的根．
22(3)当二次函数yaxbxc的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程yaxbxc有两个不
2相等的实数根；当二次函数yaxbxc的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程
222axbxc0有两个相等的实数根；当二次函数yaxbxc的图象与x轴没有交点时，则一元
22二次方程axbxc0没有实数根12.二次函数的应用：
(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的x即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
扩展阅读：一元二次函数知识点汇总
姓名二次函数总复习（知识点）
21.定义：一般地，如果yaxbxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的一元二次函数.
2.二次函数yax的性质
(1)抛物线yax（a0）的顶点是原点，对称轴是y轴.
(2)函数yax的图像与a的符号关系：
①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数yaxbxc的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.
22b4acb2.yaxbxcyaxhk，k4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中h22222a4a5.抛物线yaxbxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a决定抛物线的开口方向：
当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a越小，抛物线的开口越大，a越大，抛物线的开口越小。②对称轴为平行于y轴(或重合)的直线，记作xh.特别地，y轴记作直线x0.③定点是抛物线的最值点[最大值(a0时)或最小值(a0时)]，坐标为(h,k)。6.求抛物线的顶点、对称轴的方法
2b4acb2b4acb2b2（，）(1)公式法：yaxbxcax，∴顶点是，对称轴是直线x.2a4a2a4a2a2(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是xh.
(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★7.抛物线yaxbxc中，a,b,c的作用
(1)a决定开口方向及开口大小，这与yax中的a完全一样.
(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yaxbxc的对称轴是直线xaa2222b,故：2a①b0时，对称轴为y轴；②b0时,对称轴在y轴左侧；③b0时,对称轴在y轴右侧.(3)c的大小决定抛物线yaxbxc与y轴交点的位置.
当x0时，yc，∴抛物线yaxbxc与y轴有且只有一个交点(0，c)：①c0，抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则b0.
a8.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc.其中①左右移动可得到③，再上下移动可得到④。口诀“左加右减，上加下减”图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标x0(y轴)(0,0)yax22222222当a0时2yaxh开口向上2yaxhk当a0时开口向下yax2kx0(y轴)(0,k)(h,0)(h,k)xhxhbx2a
yaxbxc2b4acb2，()2a4a
9.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式：yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.(2)顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
22(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2.
10.抛物线与Y轴的交点(1)y轴与抛物线yaxbxc得交点为(0,c)(2)抛物线与x轴的交点
二次函数yaxbxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程
22ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点0抛物线与x轴相交；
②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.
11．二次函数与一元二次方程的关系：
(1)一元二次方程0axbxc就是二次函数yaxbxc当函数y的值为0时的情况．
(2)二次函数yaxbxc的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；
当二次函数yaxbxc的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y0时自变量x的值，即一元二次方程axbxc0的根．
(3)当二次函数yaxbxc的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程yaxbxc有两个不相等的实数根；当二次函数yaxbxc的图象与元二次方程axbxc0没有实数根
12.二次函数的应用：
(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的x即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
2附：将二次函数的一般式yaxbxc化为顶点式yaxhk的方法：(可用配方法和公式法)
22222222x轴有一个交点时，则一元二次方程
ax2bxc0有两个相等的实数根；当二次函数yax2bxc的图象与x轴没有交点时，则一
22典型例题精讲：某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价一元，其销售量将减少10件，问他将出售价定为多少元时，才能使每天所获利润最大？并且求出最大利润是多少？
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