高一三角函数知识点的梳理总结
期末复习知识点梳理第一章三角函数整理人:李路红
1.2.
高一三角函数知识
一1.1任意角和弧度制
正角:逆时针方向旋转1..任意角负角:顺时针防线旋转
零角2.象限角:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。
3..①与(0°≤<360°)终边相同的角的集合:|k360,kZ②终边在x轴上的角的集合:|k180,kZ③终边在y轴上的角的集合:|k18090,kZ④终边在坐标轴上的角的集合:|k90,kZ⑤终边在y=x轴上的角的集合:
|k18045,kZ
⑥终边在yx轴上的角的集合:|k18045,kZ
⑦若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系:360k,kZ⑧若角与角的终边关于y轴对称,则与角的关系:360k180,kZ⑨若角与角的终边在一条直线上,则与角的关系:180k,kZ⑩角与角的终边互相垂直,则与角的关系:180k90,kZ4.弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对
的弧长为l,则其弧度数的绝对值|l,其中r是圆的半径。r1805.弧度与角度互换公式:1rad=(180)°≈57.30°1°=
注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.6..第一象限的角:|2k2k,kZ2锐角:|0o;小于90的角:|(包括负角和零角)222227.弧长公式:l||R扇形面积公式:S1lR1||R
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1.2任意角的三角函数
1.任意角的三角函数的定义:设是任意一个角,P(x,y)是的终边上
的任意一点(异于原点),它与原点的距离是rya的终边P(x,y)rxy0,那么
22yxysin,cos,tan,x0
rrx三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P的位置无关。2..三角函数线
正弦线:MP;余弦线:OM;正切线:AT.3.三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)OMAxyPTox
++-+-+---++-sincostan
4.同角三角函数的基本关系式:
(1)平方关系:sincos1,1tan(2)商数关系:tan2221
cos2sin(用于切化弦)cos※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换
1.3三角函数的诱导公式
k1.诱导公式(把角写成形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限)
2sin(x)sinxsin(2kx)sinxsin(x)sinxⅠ)cos(2kx)cosxⅡ)cos(x)cosxⅢ)cos(x)cosxtan(x)tanxtan(2kx)tanxtan(x)tanxsin(x)sinxsin()cossin()cos22Ⅳ)cos(x)cosxⅤ)Ⅵ)
tan(x)tanxcos()sincos()sin22 1.4三角函数的图像与性质
1.周期函数定义:对于函数f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(xT)f(x)都成立,那么就把函数f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。(并非所有函数都有最小正周期)①ysinx与ycosx的周期是.
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②ysin(x)或ycos(x)(0)的周期T2.
▲y③yAtan(x)的周期为TxOytanxT2,如图)的周期为2(T22.三种常用三角函数的主要性质函数y=sinxy=cosxy=tanxxxk,xR2定义域(-∞,+∞)(-∞,+∞)值域奇偶性最小正周期[-1,1]奇函数2π[-1,1]偶函数2π(-∞,+∞)奇函数π单调性增2k,2k增2k-,2k+2232k,2k减减2k+,2k+22k-,k+递增22(k,0)(kZ)对称性xk,0(kZ)2(k,0)(kZ)22k,(kZ)xk,kZ无对称轴3、形如yAsin(x)的函数:(1)几个物理量:A—振幅;f1—频率(周期的倒数);x相位;—初相;T23Y29X-223题图(2)函数yAsin(x)表达式的确定:A由最值确定;由周期确定;由图象上的特殊点确定,如f(x)Asin(x)(A0,0,||2)的图象如图所示,则15;f(x)=_____(答:f(x)2sin(x))
23(3)函数yAsin(x)图象的画法:
①“五点法”——设Xx,令X=0,
2,,3,2求出相应的x值,计算得出五2点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法。
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(4)函数yAsin(x)k的图象与ysinx图象间的关系:①函数ysinx的图象纵坐标不变,横坐标向左(>0)或向右(
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高201*级高一期期末复习资料(一)知识点梳理
三角函数
一、基本概念、定义:
1.角的概念推广后,包括正角、0、负角,与α终边相同的角表示为|k360,kZ。终边角:x轴上|k180,kZ;
y轴上|k18090,kZ;
第一象限|2k2k第二象限|2k00,kZ;22k,kZ;23,kZ;2第三象限|2k2k第四象限|2k32k2,kZ;202.弧度制:把弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角叫1弧度的角.
l180"公式:|α|=;换算:180°=弧度;1弧度=;1°=弧度57.305718r1801121l2扇形:弧长L=r,面积S=lr=r=。(扇形的周长确定求面积最大值:扇形
222面积确定求周长最小值)利用均值不等式3.任意角的三角函数:
①定义:角α终边上任意一点P(x,y),则r=xy22r0,六个三角函数的定义依次
A是sin函数值函数yxycostan、、。rrxyCrx210无意义B角061232422332正弦余弦正切01022123313第1页共7页高201*级高一期期末复习资料(一)知识点梳理
②三角函数线:角的终边与单位圆交于点P,过点P作x轴的垂线,垂足为M,则有向线段MP、OM是角
的正弦线、余弦线。过点A(1,0)作单位圆的切线,交α的终边或反向延长线交于点T,则有向线段AT是角的正切线。
的终边PAMOTxyy的终边TPOMAMyTOAyMAxPxOPTx的终边的终边
sinMPcosOMtanAT
③各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦
sincostan④同角三角函数关系式:
平方关系:sincos1商数关系:⑤诱导公式22
sintancossincostansin2cossincoscoscoscostantantan2coscossinsinsinsinsinsinsinsin22ktantancos3232sinsin口诀三角函数值等于的同名三角函数值,前面加上一个把看作锐角时,原三角函数值的符号;即:函数名不变,符号看象限口诀三角函数值等于的异名三角函数值,前面加上一个把看作锐角时,原三角函数值的符号;即:函数名改变,符号看象限口诀:奇变偶不变,符号看象限。习题例一
二、基本三角公式:(1~2要求能熟练运用:顺用、逆用、变形用)
1.和、差角公式
sin()sin()sincoscossin;
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cos()cos()coscossinsin;tan()tantan;
1tantan2.二倍角公式
sin22sincos;
cos2cos2sin2=2cos21=12sin2;tan22tan
1tan2sin21cos21cos222;sin;cos222①倍角公式变形:降幂公式
sincos②半角公式(*)
sintan21cos,2cos21cos,2tan21cos(**)
1cossin1cos
21cossin④万能公式
sinα=[2tan(α/2)]/{1+[tan(α/2)]^2}cosα=[1-tan(α/2)^2]/{1+[tan(α/2)]^2}tana=[2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}
基本技巧:
①1的妙用:1=sincos
②变角:(x+y)-(x-y)=2y(x+y)+(x-y)=2x等③变名:切化弦;弦化切
④化一:asinx+bcosx=a2b2sin()(ab0)其中tan22b,(,)a22sinxcosx”的内存联系——“知一求二”⑤正余弦“三兄妹sinxcosx、⑥滚雪球法做习题一(!)考点:二倍角公式的灵活运用
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三、三角函数性质
函数y=sinxy=cosxy=tanx定义域R值域:[-1,1]R值域:[-1,1]当x2k时,ymin1;当x2k时,ymax1;x|xR,xk2值域:R无最值值域和最值周期奇偶当x当x22k时,ymin1;22k时,ymax1;T=2π奇函数T=2π偶函数T=π奇函数性单调增区间:2k,2k222增区间:2k,2k减区间:2k,2k增区间:k,k22区间减区间:2k,32k2减区间:无无对称轴对称中心xk2xkk,0k,02k,02四、yAsinx的图像和性质:
1、作图:五点法,依次取x0、3、、、2。
222、周期T=
2。||3、最大值:A>0时,当x最大值:A《0时,当x
时,y取最大值A。23时,y取最大值-A。24、对称轴、对称中心:对称轴xx0满足:x02对称轴中心(x0,B)满足:x0k(kz)
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k(kz)高201*级高一期期末复习资料(一)知识点梳理
5、单调区间:Aω>0时,增区间:解不等式222k≤x≤2k≤x≤
22k
减区间:解不等式
232k232k2Aω0,ω>0)左加右减,伸缩变换,注意顺序
0,沿x轴向左平移||个单位法1:将y=sinx的图像0,沿x轴向右平移||个单位1横坐标伸长或缩短为原来的倍ysinx
ysinx
纵坐标伸长或缩短为原来的A倍yAsinx
法2:将y=sinx的图像
y=sin(ωx)
1横坐标伸长或缩短为原来的倍ysinx
纵坐标伸长或缩短为原来的A倍||0,沿x轴向左平移个单位||0,沿x轴向右平移个单位yAsinx
8、给出函数部分图象求函数yAsin(x)M的解析式(一般步骤):
f(x)maxf(x)minMf(x)maxf(x)min(1)求A,M:A,;
22(2)求:2(先结合图象求T);T(3)求:x12k0;x22k2(最高点);x32k;
x42k3(最低点);x52k2(kz).(根据图形选点处理)2五、yAcos(x)B的图像和性质:
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1、作图:五点法,依次取x0、
3、、、2。
222、周期T=
2。||3、最大值:A>0时,当x0时,y取最大值A。最小值:A>0时,当x4、对称轴、对称中心:
对称轴xx0满足:x0k(kz)对称轴中心(x0,B)满足:x0时,y取最小值-A。
2k(kz)
5、Aω>0时,增区间:解不等式2kx2k
减区间:解不等式2kx2kA
6、联系:yAtanx(ω>0)的周期是T=,单调增区间是解不等式
利用面积
2kx2k。
16.几个重要结论:(1)y(2)y|sinx|>|cosx|sinx>cosxOx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|x比较法
cosx>sinx|sinx|>|cosx|(3)若o高201*级高一期期末复习资料(一)知识点梳理
双曲函数
sinh(a)=[e^a-e^(-a)]/2cosh(a)=[e^a+e^(-a)]/2tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)
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