初中三角函数知识点总结及典型习题

初中三角函数知识点总结及典型习题

初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题

1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。a2b2c22、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系A的对边正0sinA1asinAsinAc斜边弦(∠A为锐角)A的邻边余0cosA1bcosAcosAc(∠A为锐角)斜边弦A的对边tanA0正atanAtanAb(∠A为锐角)A的邻边切sinAcosBcosAsinBsin2Acos2A1B3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。sinAcosBcosAsinB

由AB90得B90AsinAcos(90A)cosAsin(90A)A斜边c对a边Cb邻边

5、30°、45°、60°特殊角的三角函数值(重要)三角函数sin30°1245°222260°3212costan3233136、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。7、正切、的增减性：

当0°

铅垂线仰角俯角视线水平线h

ih:llα视线

h。坡度一般写成1:ml(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即i的形式，如i1:5等。

htan。l3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么i

3例1：已知在Rt△ABC中，C90°，sinA，则tanB的值为（）

54453A．B．C．D．

3544

ab，tanBca3b4x4和a2b2c2；由s如果设a3x，则c5x，结合a2b2c2得b4x；∴tanBniA知，，

5a3x3【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RTΔABC中，∠C=90°，则sinA所以选A．

例2：4cos30sin60(2)1(201*201*)0=______．

【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算，

4cos30sin60(2)1(201*201*)0=4331331，故填．22222

1.某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（C）

A．8米

-2-2

B．83米C．

83米3D．

43米

2.一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是40°，则梯子底端到墙的距离为（B）

55A．5sin40°B．5cos40°C．D．

tan40°cos40°3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（B）A．83mB．4m31AB

BChD

C．43mD．8m

4.河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1:3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（A）

A．53米B．10米C．15米D．103米

CA

5．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE的长度是（D）A．3B．5C．52D．

252

6.如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为82.0米（精确到0.1）.（参考数据：2≈1.4143≈1.732）

7.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度.

解：过点A作直线BC的垂线，垂足为点D.

则CDA90°，CAD60°，BAD30°，CD=240米.

ACD在Rt△ACD中，tanCAD，B

AD-3-3

ADCD240803.

tan60°3

在Rt△ABD中，tanBADBDADtan30°803BD，AD380.3BCCDBD24080=160.答：这栋大楼的高为160米.

8.如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为4米，点D、B、C在同一水平面上．

（1）改善后滑滑板会加长多少米？

（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．

（参考数据：21.141，31.732，62.449，以上结果均保留到小数点后两位．）

解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC=45°

∴AC=BC=ABsin45°=42222在Rt△ADC中，∠ADC=30°AC1∴AD=2242o2sin30∴AD-AB=4241.66∴改善后滑滑板会加长约1.66米.（2）这样改造能行，理由如下：∵CDAC322264.989

3tan30o∴BDCDBC26222.07∴6-2.07≈3.93＞3

∴这样改造能行.

3169．求值|32|201*3tan30°1.解：原式=2313333

01

12sin60°3tan30°(1)201*3010.计算：2.原式=2-4-4

33311=0．

扩展阅读：初三锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习(精选)

三角函数：

知识点一：锐角三角函数的定义：一、锐角三角函数定义：

在Rt△ABC中，∠C=900,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA=，∠A的余弦可表示为cosA=

∠A的正切：tanA=，它们弦称为∠A的锐角三角函数

【特别提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关2、取值范围】

例1．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．

第1题图

①sinA②cosA③tanA(斜边(斜边))(斜边(斜边))＝______，＝______，

sinBcosBtanB＝______；＝______；

()＝______，

A的邻边B的对边＝______．

()例2.锐角三角函数求值：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，

sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．

例3．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．

求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．

典型例题：

类型一：直角三角形求值

31．已知Rt△ABC中，C90,tanA,BC12,求AC、AB和cosB．

4

2．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，sinAOC求：AB及OC的长．

34

3．已知：⊙O中，OC⊥AB于C点，AB＝16cm，sinAOC(1)求⊙O的半径OA的长及弦心距OC；(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．

4.已知A是锐角，sinA

对应训练：

（西城北）3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB=5，则tanA的值为

A．358，求cosA，tanA的值171525B．C．D．25523(房山)5．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于（）.

53434A．B.C.D.

5543

类型二.利用角度转化求值：

1．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．

DE∶AE＝1∶2．

求：sinB、cosB、tanB．

2．如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，与x轴的正半轴交于点D，B是y

轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（）A．

3134B．C．D．

2552yCOABDx第8题图3.（201*孝感中考）如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sin．

4.（201*庆阳中考）如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，sinA的面积=cm2．

5.（201*齐齐哈尔中考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为

3，则这个菱形53，AC2，则sinB的值是（）2

2334B．C．D．32436.如图4，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知AB8，BC10，AB=8,则tan∠EFC的值为()

A．

ADE34Ａ．Ｂ．

433Ｃ．

54BＤ．

5FC

7.如图6，在等腰直角三角形ABC中，C90，AC6，D为AC上一点，若

1tanDBA，则AD的长为()

5A．2B．2C．1D．22

8.如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=度数及边BC、AB的长.

A163求∠B的3CDB

图6

类型三.化斜三角形为直角三角形例1（201*安徽）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．

例2．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，sinA(1)求AB边上的高CD；

4

1

(2)求△ABC的面积S；(3)求tanB．

例3．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．

求：sin∠ABC的值．

对应训练

1．（201*重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）

2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．

3.ABC中，∠A=60°，AB=6cm，AC=4cm，则△ABC的面积是

A.23cm2C.63cm2

B.43cm2

D.12cm2

类型四：利用网格构造直角三角形

例1（201*内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．125510B．C．D．25510

对应练习：

1．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.

5

ABC

2．如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将ABC绕着点A逆时针旋转得到

AC"B"，则tanB"的值为

A.

3．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值是（）

A．

OB111B.C.D.1

3425

5B.

251

C.D.252

A

特殊角的三角函数值

30°45°60°锐角sincostan

当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而

例1．求下列各式的值．

（昌平）1）.计算：2cos302sin45tan60．

（朝阳）2）计算：tan60sin452cos30.

（201*黄石中考）计算：31+(2π－1)0－

－

23tan30°－tan45°3

31．(石景山)4．计算：2cos60sin45tan3022

(通县)5．计算：

0tan45sin30；

1cos60

例2．求适合下列条件的锐角．

(1)cos

(3)sin2

（5）已知为锐角，且tan(30)3，求tan的值

（）在ABC中，若cosA数

例3.三角函数的增减性1．已知∠A为锐角，且sinA<

012(2)tan3322

(4)6cos(16)33

122(sinB)0，A，B都是锐角，求C的度221，那么∠A的取值范围是2A.0°

A.0°7

例4.三角函数在几何中的应用

1．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，sinA求此菱形的周长．

1213

2．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，ACBC3，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，求：

(1)∠BAD；

(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．

3.已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，tanB∠CAD、tan∠CAD．

1，求：sin∠CAD、cos3

4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB的值．

3，点D在BC边上，DC=AC=6，求tan∠BAD5A

5.（本小题5分）如图，△ABC中，∠A=30°，tanBBDC3，2CABAC43．求AB的长.

解直角三角形：

1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，

①三边之间的等量关系：________________________________．

②两锐角之间的关系：__________________________________．③边与角之间的关系：

sinAcosB______；cosAsinB_______；

tanA11_____；tanB______．

tanAtanB④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．

在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．

CD2＝_________；AC2＝_________；BC2＝_________；ACBC＝_________．

类型一

例1．在Rt△ABC中，∠C＝90°．

(1)已知：a＝35，c352，求∠A、∠B，b；

(2)已知：a23，b2，求∠A、∠B，c；

(3)已知：sinA

(4)已知：tanB

(5)已知：∠A＝60°，△ABC的面积S123,求a、b、c及∠B．

9

2，c6，求a、b；33,b9,求a、c；

例2．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．

例3．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．

例4．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的长．

类型二：解直角三角形的实际应用仰角与俯角：例1．（201*福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）

A．200米B．C．D．200米220米100（）米例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离DE32m，求点B到地面的垂直距离BC．

例3（昌平）19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD=30m．从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°，测得山顶B的仰角∠DCB=30°，求风力发电装置的高AB的长．

例4.如图，小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.

例5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．

ABDEC

例5．（201*泰安）如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）

A．10米B．10米C．20米D．米例6．（201*益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．

（1）求B、C两点的距离；

（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？

（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，

3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）

类型四.坡度与坡角

例．（201*广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（）

A．100mB．1003mC．150mD．503m

类型五.方位角

1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，31.732)

2．（201*恩施州）新闻链接，据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退201*年5月18日，某国3艘炮艇追袭5条中国渔船．刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔，保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害．某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救

中国渔船，立即掉头离去．（见图1）

解决问题

如图2，已知“中国渔政310”船（A）接到陆地指挥中心（B）命令时，渔船（C）位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政310”船西南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB=

海里，“中国渔政310”船最大航速20海里/时．根据以上信息，

请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间．

综合题：

三角函数与四边形：

（西城二模）1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC=

6

．3

(1)求BD的长；(2)求AD的长．

（201*东一）18．如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．

（1）求证：∠BAE=∠DAF；（2）若AE=4，AF=

13

243，sinBAE，求CF的长．

三角函数与圆：

1．如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，与x轴的正半轴交于点D，B是y

轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（）A．

3134B．C．D．

2552

yCA

ODxB第8题图

（延庆）19.已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,

C(1)求证：∠AOD=2∠C(2)若AD=8，tanC=

4，求⊙O的半径。3D

BAO

（201*朝阳期末）21.如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点.连接CD交⊙O于点B，在EC上取一个点F，使EF=BF.（1）求证:BF是⊙O的切线;（2）若cosC

作业：

（昌平）1．已知sinA4,DE=9，求BF的长．5EODBFC1，则锐角A的度数是2A．75B．60C．45D．30（西城北）2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB=5，则tanA的值为

A．1525B．C．D．2552

3(房山)3．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于（）.

53434A．B.C.D.

5543

B3(大兴)4.若sin，则锐角＝.

2(石景山)1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC=2，则tanB的值是

A．

（丰台）5．将∠α放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tanα的值是A．

AC23B．32C．255D．213132551B．2C．D．

522344D.

5B.

α(大兴)5.△ABC在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin的值是354C.

3A.

(通县)4．如图，在直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，B40，

则直角边BC的长是（）A．msin40C．mtan40

（通州期末））1．如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且OM:OP=4:5，则cosα的值等于（）A．

（西城）6．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若OB长为10，cosBOD

B．mcos40D．

m

tan40Pα第1题图B4343B．C．D．

5345OMA3，则AB的长是5A.20B.16C.12D.87.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosA=

4，那么tanA的值是515

A．

3534B．C．D．53433511．如图，在△ABC中，∠ACB=∠ADC=90°，若sinA=，则cos∠BCD的值为．

13.计算：2cos302sin45tan60

13．计算2sin602cos453tan30tan45.

13．计算：2sin604cos30+sin45tan60．

14.如图，小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.

15．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=46，b=122.解这个直角三角形

20.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=

CDBA

（延庆）19.已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,

C(3)求证：∠AOD=2∠C

ABDEC2CADB

CD1，求的值．2BDD

16

AOB

(4)若AD=8，tanC=

4，求⊙O的半径。3

（延庆期末）19．如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30，荷塘另一端D处C、B在同一条直线上，已知AC32米，CD16米，求荷塘宽BD为多少米？（结果保留根号）

18.（6分）如图，在△ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆

经过A，C两点，交AB于点D，已知2∠A+∠B=90．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若OA=6，BC=8，求BD的长．（1）证明：

（2）解：（西城）sin∠CBD=

18．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海

里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.

（1）B处距离灯塔P有多远？

（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200

第18题图CAODB15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=

1CD，22，求AD的长和tanA的值．3[来源学科网]

海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．

22．已知，如图，在△ADC中，ADC90，以DC为直径作半圆O，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，BED2C．（1）求证：BF是O的切线；

A（2）若BFFC，AE3，求O的半径．FE

BOD

15．如图，为了测量楼AB的高度，小明在点C处测得楼AB的顶端A的仰角为30，又向前走了20米后到达点D，点B、D、C在同一条直线上，并在点D测得楼AB的顶端A的仰角为60，求楼AB的高．

14.（201*眉山中考）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离。

C

15.（201*常德中考）如图，某人在D处测得山顶C的仰角为30o，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，3≈1.73，结果保留整数）．

16.（201*广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45

降为30，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．

（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）

（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。

(参考数据：21.414,31.732,62.449)

18.在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈．

31，sin31°≈）52图13

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