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高考数学导数题型归纳(文科) (2)

时间:2019-05-29 22:44:02 网站:公文素材库

高考数学导数题型归纳(文科) (2)

导数题型归纳

首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法:1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。

最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:

第一步:令f"(x)0得到两个根;第二步:画两图或列表;第三步:由图表可知;

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,2、常见处理方法有三种:

第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,

第三种:构造函数求最值

题型特征:f(x)g(x)恒成立h(x)f(x)g(x)0恒成立;从而转化为第一、二种题型例3:已知函数f(x)x3ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为3,g(x)x(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)当x[1,4]时,求f(x)的值域;

(Ⅲ)当x[1,4]时,不等式f(x)g(x)恒成立,求实数t的取值范围。

思路1:要使f(x)g(x)恒成立,只需h(x)0,即t(x22x)2x6分离变量思路2:二次函数区间最值

二、题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1:转化为f"(x)0或f"(x)0在给定区间上恒成立,回归基础题型

解法2:利用子区间;首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集;做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”,要弄清楚两句话的区别:前者是后者的子集

例4:已知aR,函数f(x)3t62x(t1)x3(t0)213a12xx(4a1)x.122(Ⅰ)如果函数g(x)f(x)是偶函数,求f(x)的极大值和极小值;(Ⅱ)如果函数f(x)是(,)上的单调函数,求a的取值范围.

131x(2a)x2(1a)x(a0).32(I)求f(x)的单调区间;(II)若f(x)在[0,1]上单调递增,求a的取值范围。子集思想

例5、已知函数f(x)

三、题型二:根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题解题步骤

第一步:画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;

第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;第三步:解不等式(组)即可;

13(k1)21xx,g(x)kx,且f(x)在区间(2,)上为增函数.323(1)求实数k的取值范围;(2)若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,求实数k的取值范围.

例6、已知函数f(x)

12x2xc2(1)若x1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点,求f(x)的极值;

12(2)若g(x)bxxd,在(1)的条件下,是否存在实数b,使得函数g(x)的图像与函数f(x)的图像

2恒有含x1的三个不同交点?若存在,求出实数b的取值范围;否则说明理由。

例7、已知函数f(x)ax3

题2:切线的条数问题====以切点x0为未知数的方程的根的个数

例7、已知函数f(x)ax3bx2cx在点x0处取得极小值-4,使其导数f"(x)0的x的取值范围为(1,3),求:(1)f(x)的解析式;(2)若过点P(1,m)可作曲线yf(x)的三条切线,求实数m的取值范围.

题3:已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法:根分布或判别式法例8、

例9、已知函数f(x)a3121xx,(aR,a0)(1)求f(x)的单调区间;(2)令g(x)=x4+f(x)(x∈R)

432有且仅有3个极值点,求a的取值范围.

其它例题:

(a0)1、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在R上的函数f(x)ax32ax2b在区间2,1上的

最大值是5,最小值是-11.

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)若t[1,1]时,f(x)tx0恒成立,求实数x的取值范围.

23xax2bxc3(Ⅰ)若函数f(x)在x1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3xy0平行,求f(x)的解

2、(根分布与线性规划例子)已知函数f(x)析式;

(Ⅱ)当f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值时,设点M(b2,a1)所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.

323、(根的个数问题)已知函数f(x)axbx(c3a2b)xd(a0)的图象如图所示。

(Ⅰ)求c、d的值;

(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3xy110,求函数f(x)的解析式;(Ⅲ)若x05,方程f(x)8a有三个不同的根,求实数a的取值范围。

13xax2x1(aR)3(1)若函数f(x)在xx1,xx2处取得极值,且x1x22,求a的值及f(x)的单调区间;

4、(根的个数问题)已知函数f(x)(2)若a

1125,讨论曲线f(x)与g(x)x(2a1)x(2x1)的交点个数.226x32105、(简单切线问题)已知函数f(x)2图象上斜率为3的两条切线间的距离为,函数

5a3bxg(x)f(x)2.3

a(Ⅰ)若函数g(x)在x1处有极值,求g(x)的解析式;

(Ⅱ)若函数g(x)在区间[1,1]上为增函数,且bmb4g(x)在区间[1,1]上都成立,求实数m的取值范围.

2

扩展阅读:高考数学导数题型归纳(文科) (1)

文科导数题型归纳

请同学们高度重视:

首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法:1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在

其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。

最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:第一步:令f"(x)0得到两个根;第二步:画两图或列表;第三步:由图表可知;

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,2、常见处理方法有三种:

第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于gmax(x)0

g(0)g(3)030m209m330解法二:分离变量法:

∵当x0时,g(x)x2mx330恒成立,当0x3时,g(x)x2mx30恒成立

等价于mx3x3x2x3x的最大值(0x3)恒成立,

而h(x)xm2

(0x3)是增函数,则hmax(x)h(3)2

(2)∵当m2时f(x)在区间a,b上都为“凸函数”则等价于当m2时g(x)xmx30恒成立

2变更主元法

再等价于F(m)mxx230在m2恒成立(视为关于

F(2)0F(2)0m的一次函数最值问题)

20x2x31x122xx30ba2

-22请同学们参看201*第三次周考:例2:设函数f(x)13x2ax323axb(0a1,bR)

2(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;

(Ⅱ)若对任意的x[a1,a2],不等式f(x)a恒成立,求a的取值范围.

(二次函数区间最值的例子)

解:(Ⅰ)f(x)x4ax3ax3axa0a1

22

f(x)a3aa3a令f(x)0,得f(x)的单调递增区间为(a,3a)令f(x)0,得f(x)的单调递减区间为(-,a)和(3a,+)

∴当x=a时,f(x)极小值=34ab;当x=3a时,f(x)3极大值

=b.

22(Ⅱ)由|f(x)|≤a,得:对任意的x[a1,a2],ax4ax3aa恒成立①

则等价于g(x)这个二次函数gmax(x)agmin(x)ag(x)x24ax3a2的对称轴x2a

0a1,a1aa2a(放缩法)

即定义域在对称轴的右边,g(x)这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。

g(x)x4ax3a在[a1,a2]上是增函数.g(x)maxg(a2)2a1.g(x)ming(a1)4a4.22∴

a1,x2aa2

于是,对任意x[a1,a2],不等式①恒成立,等价于

g(a2)4a4a,4解得a1.g(a1)2a1a5又0a1,∴

45a1.

点评:重视二次函数区间最值求法:对称轴(重视单调区间)与定义域的关系

第三种:构造函数求最值

题型特征:f(x)g(x)恒成立h(x)f(x)g(x)0恒成立;从而转化为第一、二种题型

例3;已知函数f(x)x3ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为3,

g(x)x3t62x(t1)x32(t0)

(Ⅰ)求a,b的值;

(Ⅱ)当x[1,4]时,求f(x)的值域;

(Ⅲ)当x[1,4]时,不等式f(x)g(x)恒成立,求实数t的取值范围。

f/(1)3a3解:(Ⅰ)f(x)3x2ax∴,解得

b2b1a(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在[1,0]上单调递增,在[0,2]上单调递减,在[2,4]上单调递减

/2又f(1)4,f(0)0,f(2)4,f(4)16∴f(x)的值域是[4,16](Ⅲ)令h(x)f(x)g(x)t2x(t1)x32x[1,4]

2思路1:要使f(x)g(x)恒成立,只需h(x)0,即t(x2x)2x6分离变量思路2:二次函数区间最值

二、题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1:转化为f"(x)0或f"(x)0在给定区间上恒成立,回归基础题型解法2:利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集;

做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”,要弄清楚两句话的区别:前者是后者的子集

例4:已知aR,函数f(x)112x3a12x(4a1)x.

2(Ⅰ)如果函数g(x)f(x)是偶函数,求f(x)的极大值和极小值;(Ⅱ)如果函数f(x)是(,解:f(x))上的单调函数,求a的取值范围.

14x(a1)x(4a1).

1123x3x,f(x)2(Ⅰ)∵f(x)是偶函数,∴a1.此时f(x)14x3,

2令f(x)0,解得:x23.列表如下:

xf(x)f(x)(-∞,-2+递增3)-203(-23,23)-递减230(23,+∞)+递增极大值极小值可知:f(x)的极大值为f(23)43,f(x)的极小值为f(23)43.(Ⅱ)∵函数f(x)是(,∴f(x))上的单调函数,

14x(a1)x(4a1)0,在给定区间

22R上恒成立判别式法

则(a1)414(4a1)a2a0,解得:0a2.

2综上,a的取值范围是{a0a2}.

例5、已知函数f(x)13x312(2a)x(1a)x(a0).

2(I)求f(x)的单调区间;

(II)若f(x)在[0,1]上单调递增,求a的取值范围。子集思想

2(I)f(x)x(2a)x1a(x1)(x1a).

21、当a0时,f(x)(x1)0恒成立,当且仅当x1时取“=”号,f(x)在(,)单调递增。2、当a0时,由f(x)0,得x11,x2a1,且x1x2,

f(x)-1a-1,(1,单调增区间:(,1)a,1)单调增区间:(1a1是上述增区间的子(II)当f(x)在[0,1]上单调递增,则0,集:

1、a0时,f(x)在(,)单调递增符合题意2、0,1a1,,a10a1综上,a的取值范围是[0,1]。

三、题型二:根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题解题步骤

第一步:画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与

0的关

系;

第三步:解不等式(组)即可;例6、已知函数f(x)13x3(k1)2x,g(x)213kx,且f(x)在区间(2,)上为增函数.

(1)求实数k的取值范围;

(2)若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,求实数k的取值范围.

2解:(1)由题意f(x)x(k1)x∵f(x)在区间(2,)上为增函数,

2∴f(x)x(k1)x0在区间(2,)上恒成立(分离变量法)

即k1x恒成立,又x2,∴k12,故k1∴k的取值范围为k1(2)设h(x)f(x)g(x)h(x)x2x33(k1)2x2kx13,

(k1)xk(xk)(x1)

2令h(x)0得xk或x1由(1)知k1,

①当k1时,h(x)(x1)0,h(x)在R上递增,显然不合题意②当k1时,h(x),h(x)随x的变化情况如下表:

x(,k)(k,1)kh(x)h(x)1(1,)k60极大值3130极小值k12k22由于

k120,欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,即方程h(x)0有三个不同的实根,故需k36k22130,即(k1)(k2k1,解得k12k2)0∴2k2k203

综上,所求k的取值范围为k13

根的个数知道,部分根可求或已知。例7、已知函数f(x)ax312x2xc

2(1)若x1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点,求f(x)的极值;(2)若g(x)12bxxd,在(1)的条件下,是否存在实数b,使得函数g(x)的图像与函数f(x)的

高考资源网2图像恒有含x1的三个不同交点?若存在,求出实数b的取值范围;否则说明理由。

解:(1)∵f(x)的图像过原点,则f(0)0c0f(x)3ax2x2,

又∵x1是f(x)的极值点,则f(1)3a120a1

2f(x)3xx2(3x2)(x1)0

23227f(x)-123f极大值(x)f(1)32)f极小值(x)f(

(2)设函数g(x)的图像与函数f(x)的图像恒存在含x1的三个不同交点,

等价于f(x)g(x)有含x1的三个根,即:f(1)g(1)dx3312(b1)

12x2x122122bxx12212(b1)整理得:

即:x(b1)xx(b1)0恒有含x1的三个不等实根

12(b1)xx2(计算难点来了:)h(x)x312(b1)0有含x1的根,

则h(x)必可分解为(x1)(二次式)0,故用添项配凑法因式分解,

xxx32212(b1)xx212(b1)0

1122x(x1)(b1)xx(b1)0

22x(x1)121(b1)x22x(b1)0210)b(1)x十字相乘法分解:x2(x1)(b1x121(x1)x(b1)x(b1)0

22x312(b1)xx221212(b1)0恒有含x1的三个不等实根(b1)0有两个不等于-1的不等实根。

等价于x12(b1)x112(b1)4(b1)042b(,1)(1,3)(3,)(1)21(b1)1(b1)022

题2:切线的条数问题====以切点x0为未知数的方程的根的个数

32例7、已知函数f(x)axbxcx在点x0处取得极小值-4,使其导数f"(x)0的x的取值范围

为(1,3),求:(1)f(x)的解析式;(2)若过点P(1,m)可作曲线yf(x)的三条切线,求实数m的取值范围.

(1)由题意得:f"(x)3ax2bxc3a(x1)(x3),(a0)

∴在(,1)上f"(x)0;在(1,3)上f"(x)0;在(3,)上f"(x)0因此f(x)在x01处取得极小值4

∴abc4①,f"(1)3a2bc0②,f"(3)27a6bc0③

a132由①②③联立得:b6,∴f(x)x6x9x

c9,(2)设切点Q(t,f(t)),yf(t)f(t)(xt)

2

y(3t12t9)(xt)(t6t9t)(3t12t9)xt(3t12t9)t(t6t9)(3t12t9)xt(2t6t)过(1,m)m(3t12t9)(1)2t6tg(t)2t2t12t9m0

3223222222232令g"(t)6t6t126(tt2)0,求得:t1,t2,方程g(t)0有三个根。需:g(1)023129m0m16g(2)01612249m0m1122故:11m16;因此所求实数m的范围为:(11,16)

题3:已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数

解法:根分布或判别式法

例8、

17

解:函数的定义域为R(Ⅰ)当m=4时,f(x)=x3-x2+10x,

322

f(x)=x-7x+10,令f(x)0,解得x5,或x2.

令f(x)0,解得2x5

可知函数f(x)的单调递增区间为(,2)和(5,+∞),单调递减区间为2,5.(Ⅱ)f(x)=x2-(m+3)x+m+6,

要使函数y=f(x)在(1,+∞)有两个极值点,f(x)=x2-(m+3)x+m+6=0的根在(1,+∞)

根分布问题:

1(m3)24(m6)0;则f(1)1(m3)m60;,解得m>3m31.2

例9、已知函数f(x)a3x312x,(aR,a0)(1)求f(x)的单调区间;(2)令g(x)=

214x4+f

(x)(x∈R)有且仅有3个极值点,求a的取值范围.解:(1)f(x)axxx(ax1)

"当a0时,令f(x)0解得x"21a或x0,令f(x)0解得1a,0).

"1ax0,

所以f(x)的递增区间为(,1a)(0,),递减区间为(1a当a0时,同理可得f(x)的递增区间为(0,),递减区间为(,0)(1a,).

(2)g(x)314x24a3x312x有且仅有3个极值点

222g(x)xaxxx(xax1)=0有3个根,则x0或xax10,a2

2方程xax10有两个非零实根,所以a40,

2a2或a而当a2或a2时可证函数yg(x)有且仅有3个极值点

其它例题:

1、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在R上的函数f(x)ax32ax2b(a0)在区间2,1上的最大值是5,最小值是-11.

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;

(Ⅱ)若t[1,1]时,f(x)tx0恒成立,求实数x的取值范围.解:(Ⅰ)f(x)ax2axb,f(x)3ax4axax(3x4)

"令f(x)=0,得x10,x232"2432,1

因为a0,所以可得下表:xf(x)"2,0+00极大0,1-f(x)因此f(0)必为最大值,∴f(0)5因此b5,f(2)16a5,f(1)a5,f(1)f(2),

32即f(2)16a511,∴a1,∴f(x)x2x5.

22(Ⅱ)∵f(x)3x4x,∴f(x)tx0等价于3x4xtx0,

2令g(t)xt3x4x,则问题就是g(t)0在t[1,1]上恒成立时,求实数x的取值范围,

3x25x0g(1)0为此只需,即2,

g(1)0xx0解得0x1,所以所求实数x的取值范围是[0,1].2、(根分布与线性规划例子)

(1)已知函数f(x)23xaxbxc

32(Ⅰ)若函数f(x)在x1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3xy0平行,求

f(x)的解析式;

(Ⅱ)当f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值时,设点M(b2,a1)所在平

面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.解:(Ⅰ).由f(x)2x22axb,函数f(x)在x1时有极值,

∴2ab20∵f(0)1∴c1又∵f(x)在(0,1)处的切线与直线3xy0平行,∴f(0)b3故a∴f(x)23x312

12x3x1…………………….7分

2)取得极小值,

2(Ⅱ)解法一:由f(x)2x22axb及f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,f(0)0∴f(1)0即

f(2)0b02ab20令M(x,4ab80xb2y),则

ya1x20ay1∴∴2yx20故点M所在平面区域S为如图△ABC,

bx24yx60易得A(2,0),B(2,1),C(2,2),D(0,1),E(0,32),SABC2

同时DE为△ABC的中位线,SDEC∴所求一条直线L的方程为:

x0

13S四边形ABED

另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分,设直线L方程为ykx,它与AC,BC分别交于F、G,则k0,S四边形DEGF1

由ykx2yx20ykx4yx60得点F的横坐标为:xF22k164k1

由得点G的横坐标为:xG12326

∴S四边形DEGFSOGESOFD解得:k124k112122k1121即16k2k50

2或k58(舍去)故这时直线方程为:y12x

综上,所求直线方程为:x0或yx.…………….………….12分

2)取得极小值,

2(Ⅱ)解法二:由f(x)2x2axb及f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,∴f(0)0b0f(1)0即2ab20令M(x,4ab80f(2)0xb2y),则

ya1x20ay1∴∴2yx20故点M所在平面区域S为如图△ABC,

bx24yx60易得A(2,0),B(2,1),C(2,2),D(0,1),E(0,32),SABC2

同时DE为△ABC的中位线,SDEC13S四边形ABED∴所求一条直线L的方程为:x0

12x,设直线BO与AC交于H,

另一种情况由于直线BO方程为:y1yx由得直线L与AC交点为:H(1,22yx201*)

∵SABC2,SDEC121221212,SABHSABOSAOH12211221212

∴所求直线方程为:x0或yx

323、(根的个数问题)已知函数f(x)axbx(c3a2b)xd(a0)的图象如图所示。

(Ⅰ)求c、d的值;

(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3xy110,求函数f(x)的解析式;

(Ⅲ)若x05,方程f(x)8a有三个不同的根,求实数a的取值范围。解:由题知:f(x)3ax2bx+c-3a-2b

(Ⅰ)由图可知函数f(x)的图像过点(0,3),且f1=0

d3

3a2bc3a2b0c0d32

得(Ⅱ)依题意

f2=3且f(2)=5

12a4b3a2b3解得a=1,b=68a4b6a4b35所以f(x)=x36x2+9x+3

(Ⅲ)依题意f(x)=ax3+bx2(3a+2b)x+3(a>0)

2

fx=3ax+2bx3a2b由f5=0b=9a

若方程f(x)=8a有三个不同的根,当且仅当满足f(5)<8a<f(1)②由①②得25a+3<8a<7a+3所以当

111111<a<3

<a<3时,方程f(x)=8a有三个不同的根。12分

13xaxx1(aR)

324、(根的个数问题)已知函数f(x)(1)若函数f(x)在xx1,xx2处取得极值,且x1x22,求a的值及f(x)的单调区间;(2)若a12,讨论曲线f(x)与g(x)12x(2a1)x256(2x1)的交点个数.

解:(1)f"(x)x22ax1

x1x22a,x1x21

x1x2(x1x2)4x1x224a42

2a02分

22f(x)x2ax1x1

令f(x)0得x1,或x1令f(x)0得1x1

∴f(x)的单调递增区间为(,1),(1,),单调递减区间为(1,1)5分(2)由题f(x)g(x)得

13x(a133313xaxx1160

163212x(2a1)x256

12)x2ax1222令(x)x(a2)x2ax(2x1)6分

(x)x(2a1)x2a(x2a)(x1)

令(x)0得x2a或x17分

a12

当2a2即a1时

x2(2,1)1(x)-(x)8a92a

此时,8a920,a0,有一个交点;9分12当2a2即1ax时,

(2,2a)22a023a(32a)2(2a,1)1(x)(x)2328a92+16aa(32a)929160,

9169a0时,有两个交点;当8a0,且a0即21619当0a时,8a0,有一个交点.13分

2291综上可知,当a或0a时,有一个交点;

1629a0时,有两个交点.14分当16∴当8a0即1a时,有一个交点;

5、(简单切线问题)已知函数f(x)g(x)f(x)3bxxa32图象上斜率为3的两条切线间的距离为

2105,函数

3.2a(Ⅰ)若函数g(x)在x1处有极值,求g(x)的解析式;

(Ⅱ)若函数g(x)在区间[1,1]上为增函数,且bmb4g(x)在区间[1,1]上都成立,求实数m的取值范围.

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高考数学导数题型归纳(文科) (2)
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