华师大版数学九年级下册《圆》知识点总结

华师大版数学九年级下册《圆》知识点总结

圆

1．圆的认识

（1）当一条线段OA绕着它的一个端点O在平面内旋转一周时，它的另一个端点A的轨迹叫做圆。或到一个定点的距离等于定长的点的集合。这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”。（2）线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AC为直径。

（3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段AB、BC、AC都是圆O中的弦。

、BAC其中像弧BC这样（4）圆上任意两点间的部分叫做弧。如曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记作BC，这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。小于半圆周的圆叫做劣弧。像弧BAC（3）圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。如∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。2．圆的对称性

（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等。

在同圆或等圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。（2）圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。3．垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。4．圆周角

（1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。（2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。

90°的圆周角所对的弦是圆的直径。

（3）同圆或等圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。（4）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。5．点与圆的位置关系

设⊙O的半径为r，点圆心O的距离为d，则（1）点在圆外dr（2）点在圆上dr（3）点在圆内dr6．（1）过一点可以画无数个圆；

过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。

（2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点。（3）一个三角形的外接圆是唯一的。7．直线与圆的位置关系

（1）如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离。

（2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．

（3）如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线．

如上图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，从图中可以看出：若dr直线l与⊙O相离；若dr直线l与⊙O相切；若dr直线l与⊙O相交；8．切线

（1）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论：1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。（3）切线长：把切线上某一点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心。这个三角形叫做这个圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点。9．圆和圆的位置关系

1）两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中（1）又叫做外离，（2）、（3）又叫做内含。（3）中两圆的圆心相同，这两个圆还可以叫做同心圆。

2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如（4）、（5）所示．其中（4）又叫做外切，（5）又叫做内切。

3）如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如（6）所示。

（1）两圆外离dRr；（2）两圆外切dRr；（3）两圆外离RrdRr；（4）两圆外离dRr；

10．圆中的计算问题（1）弧长的计算公式为：l（5）两圆外离0dRrnr180（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。

nr21lr扇形面积的计算公式：S3602（3）圆锥的母线：把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。

圆锥的高：连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，如图中a，而h就是圆锥的高。

（4）圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。

圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。

扩展阅读：九年级数学下册知识点总结

九年级下册知识点

第一章直角三角形边的关系

1、正切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，

即tanA=∠A的对边/∠A的邻边。

①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；③tanA不表示“tan”乘以“A”；

④tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。（P1-6,11、P3-6、P4-12）2、正弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，

即sinA=∠A的对边/斜边；

3、余弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，

即cosA=∠A的邻边/斜边；4、余切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，

即cotA=∠A的邻边/∠A的对边；5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：

若∠A为锐角，则①sinA=cos(90°∠A）等等。6、记住特殊角的三角函数值表0°，30°，45°，60°，90°。（P4-13、P5-15,16、P10-11、P12-3）

1题6：计算：212103+

cot45cos60cos30tan60

7、当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。同角的三角函数间的关系：

tαnαcotα=1，tanα=sinα/cosα，cotα=cosα/sinα，sin2α+cos2α=1

8、在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：（1）三边之间的关系：a2+b2=c2；（2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；（3)边与角之间的关系：sinα等；（4）面积公式；

（5）直角三角形△ABC内接圆⊙O的半径为(a+b-c)/2；

（6）直角三角形△ABC外接圆⊙O的半径为c/2。（P18-13、P16-例5、P19-15）

题7：小红的运动服被一个铁钉划破一个呈直角三角形的洞，其中两边分别为1cm和2cm，若用同色形布将此洞全部遮盖，那么这个圆的直径最小应等于()。

A．2cm

B．3cmC．2cm或3cm

D．2cm或5cm

题8：长为12cm的铁丝，围成边长为连续整数的直角三角形，则斜边上的中线为________cm。

题9：如图2，河对岸有铁塔AB．在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高。

图2

题10：已知：四边形ABCD中，∠B＝∠ADC＝90°，AB＝2、CD＝1、∠A＝60°，求：BC。

图3

第二章二次函数

1、定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。2、二次函数yax2的性质：

（1）抛物线yax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴；（2）函数yax2的图像与a的符号关系：

①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点。

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax2（a0）。（P21-12）3、二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线。4、二次函数yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，

222a4a5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

其中hb，k4acb2。

①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc。

222226、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同。

②平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0。（P23-9,10）7、顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。8、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：yax轴是直线xb2a2b4acbbxcax2a4a224acb（，），对称，∴顶点是

2a4ab2。（P26-9）

2（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线xh。

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。

注意：用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失。题11：抛物线y＝x2＋6x＋4的顶点坐标是()A．(3，-5)B．(-3，-5)C．(3，5)D．(-3，5)9、抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用（P29-例2,1,10）（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样。

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线。

xb2aba，故：①b0时，对称轴为y轴；②

ba0（即a、b同号）时，对称轴在y轴

左侧；③0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧。

（3）c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置。

当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点（0，c）：

①c0，抛物线经过原点；②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴。以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则10、几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式开口方向yaxyax22ba0。

对称轴x0（y轴）x0（y轴）xhxhxb2a顶点坐标（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)k2yaxhyaxhk2当a0时开口向上当a0时开口向下yax2bxc4acb(，2a4ab2)

11、用待定系数法求二次函数的解析式（P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16）

2（1）一般式：yaxbxc。已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式。（2）顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

2（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2。题12：已知关于x的一元二次方程x2-2(m-1)x＋(m2-1)＝0，有两个实数根x1、x2，且x12＋x22＝4．求

m的值。

题13：先化简，再求值：

题14：在平面直角坐标系中，B(3＋1，0)，点A在第一象限内，且∠AOB＝60°，∠ABO＝45°。(1)求点A的坐标；

(2)求过A、O、B三点的抛物线解析式；

(3)动点P从O点出发，以每秒2个单位的速度沿OA运动到点A止，①若△POB的面积为S，写出S与时间t(秒)的函数关系；②是否存在t，使△POB的外心在x轴上，若不存在，请你说明理由；若存在，请求出t的值。

3

2x5x63x3x23211，其中x＝3

x1x

图4

12、直线与抛物线的交点（P47-5、P48-10,14）（1）y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c)。

（2）与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah（3）抛物线与x轴的交点。

ax22bhc)。

二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式bxc0的两个实数根。

判定：

①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离。（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点：

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点。当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根。

（5）一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点，

由方程组ykxnyaxbxc2的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点；②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点。（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：

2若抛物线yaxbxc与x轴两交点为Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程

axbxc0的两个根，故：

bcx1x2,x1x2aa2ABx1x2x1x22x1x224x1x24cbaa2b4aca2a

第三章圆

1、定义：圆是平面上到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；

②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。

2、点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：

①点在圆上d=r；②点在圆内dr。（P56-5，6、P58-16）

证明若干个点共圆，就是证明这几个点与一个定点的距离相等。

3、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。（P58-4、P59-9、P61-3、P63-16、P65-15）

4、与圆相关的概念：

①弦和直径。弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫做直径。

②圆弧、半圆、优弧、劣弧。圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。

④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。

⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。⑦弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。

5、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

6、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，

那么它们所对应的其余各组量都分别相等。7、1°的弧的概念：把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的角都是1°的圆心角，相应的整个

圆也被等分成360份，每一份同样的弧叫1°弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。8、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；（P66-5，7、P68-16）9、确定圆的条件：

①理解确定一个圆必须的具备两个条件：圆心和半径，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。经过一点可以作无数个圆，经过两点也可以作无数个圆，其圆心在这个两点线段的垂直平分线上。②经过三点作圆要分两种情况：(1)经过同一直线上的三点不能作圆。(2)经过不在同一直线上的三点，能且仅能作一个圆。定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

10、(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形。（P69-4,5、P70-15）

(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。(3)三角形的外心的性质：三角形外心到三顶点的距离相等。

11、直线和圆的位置关系：（P72-3,5）

(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。

(2)相切：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点做切点。

(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

(4)直线与圆的位置关系的数量特征：设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，则

①dr直线L和⊙O相离。

12、切线的总判定定理：经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个。

①垂直于切线；②过切点；③过圆心。（P73-13、P74-3、P75-14）

13、和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

三角形内心的性质：(1)三角形的内心到三边的距离相等。(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角。由此性质引出一条重要的辅助线：连接内心和三角形的顶点，该线平分三角形的这个内角。（P77-2、P78-14）

题15：如图，PA是⊙O的切线，割线PBC与⊙O相交于点B、C，PA＝6、PB＝4则BC＝________．的值为________。

ABAC

图5

14、两圆的位置关系：（P79-6、P81-13）

(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。(2)外切：两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。这个惟一的公共点叫做切点。

(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这个两个圆相交。

(4)内切：两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个惟一的公共点叫做切点。

(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含。两圆同心是两圆内的一个特例。

(6)两圆位置关系的性质与判定：(1)两圆外离d>R+r；(2)两圆外切d=R+r；(3)两圆相交R-r的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点。如果设圆锥底面半径为r，侧面母线长(扇形半径)是l，底面圆周长(扇形弧长)为c，那么它的侧面积是：S=cl/2=2πrl/3=πrl。总面积=侧面积+底面积。（P87-7，9，11）

题17：圆柱的高为10cm,底面半径为6cm，则该圆柱的侧面积为。

17、若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。圆内接四边形的特征：①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角。

18、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

19、和圆有关的比例线段：

①相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；

②推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。20、切割线定理：

①从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；②推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。21、两圆连心线的性质：

①如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。②如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。（P91-7、P92-14）

第四章统计与概率（P94-10、P97-7、P100-7,8）

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