高二数学总结
运动的两种基本分析方法的比较重庆市江津区吴滩中学周勇
对机械运动的分析是高中物理的重中之重。高中阶段对于机械运动的基本分析方法可以分成这样两种：一、运用牛顿第二定律结合相应的运动规律进行具体的分析。二、运用动量定理（包括动量守恒）及动能定理进行笼统的分析。不过这也使得不少同学觉得在解决具体问题时对该选用哪种方法来解题反而成了难题。特别是不少同学把牛顿第二定律、动量定理、动能定理割裂开来理解，认为三者是各不相关的三个定律，就更容易引起运用上的混乱，让解题思路极不清晰，造成无法正确解出问题。?
基于此，我们先来辨析一下这三个定律的区别与联系：?
首先，牛顿第二定律与动量定理可以互相推导出来：?
即?
从物理意义上来说，牛顿第二定律实际上是定义了：力是动量的变化率。?
这也就是说，在解决非转动的低速机械运动问题时，牛顿第二定律与动量定理是等效的。?
但我们同时也要看到，“力是动量的变化率”反映出牛顿第二定律具有瞬时性，即：牛顿第二定律可运用于求瞬时性物理量，它是一个关于运动过程细节的物理定律。而动量定理却是一个只反映运动结果的物理定律，运用时不必考虑运动过程细节情况。二者这方面上的差异使它们在运用时各擅胜场。?
然后，我们再来看看动量定理与动能定理的区别与联系。?
从物理学史上我们可以了解到，笛卡儿根据研究碰撞中发现的动量守恒规律首先提出了动量的实质质量与速度的积（后来由牛顿命名为“动量”）并提议以此来度量机械运动。当然，牛顿第二定律就是在此基础上确立起来的。然而，莱布尼茨反对这一观点。他在1686年的论文中，对笛卡儿学派的这个度量方法提出了批评。他认为：“力必须由它所产生的效果来衡量，而不能用物体（质量）与速度的乘积来衡量”。他建议用mv2而不是mv来度量物体运动的“力”。后来，由科里奥利建议以代替来度量机械运动。这样，就引发了近半个世纪的大讨论。直到19世纪中页物理学家们都还没有从“运动的度量”的争论中摆脱出来。最后才由恩格斯从能量守恒角度总结出动量、动能是对运动不同方面的度量。?
这也就可以说，动量定理、动能定理都是运动的基本物理规律，虽然它们反映的是不同方面的内容，但它们联合起来运用，往往能反映出全面的物理内容。况且，这两个定律都是反映运动结果的物理定律，运用时都不必考虑运动过程细节情况。值得一提的是动量守恒只是系统动量定理的特殊情况而已，故而我们往往在运用动量守恒与动能定理一起来解决一些复杂的机械运动的问题时会感到比较方便快捷。?
由上面的分析我们可以得出这样的解题经验：在求解与瞬时力相关的问题时，要运用牛顿第二定律结合具体的运动规律才能解出。而运动过程变化复杂的问题，则根据动量定理（包括动量守恒）结合动能定理来解，可避免繁杂的过程分析使问题简单化。?
为了进一步认识清楚前面所提的两种解法的同一性和独特性，我们可以先来看看下面的一些实例分析。?
例1．以恒力F作用在质量为m初速度为的物体上，经时间后速度达多大？位移为多少？?
解法一：用牛顿运动定理结合匀加速直线运动规律来解：?
??又???再??
解法二：用动量定理结合动能定理解：?
?????得：?
??????
???得：?
评析：解法一解这种问题当然很简单，但它必需要用到特定的运动规律（此题涉及的是匀加速直线运动）。而解法二并没有管物体做怎样的运动，仍然得出同样的结果，可见一样涵盖了相关的这些物理内容。?
从两种解法对此例的解析看来，只要是求运动的最终结果，它们是等效的。?
不过，此例显然没有显示出牛顿运动定律对求过程中瞬时性物理量的优势，也没有显示出对复杂的运动过程的分析牛顿运动定律的劣势。那么，让我们继续看下面几例吧。?
例2．一个质量为m的小球在半径为R的竖直光滑圆环内恰能绕圆环作圆周运动，求：（1）小球通过圆环最高点的速度？（2）小球通过圆环最低点时对圆环的压力？?
解：（1）设小球在最高点处速度为。小球在圆环最高点恰能作圆周运动，则在该点小球自身的重力作为向心力，故由牛顿第二定律得：又由圆周运动规律得?
（2）小球由最高点运动到最低点过程，仅小球重力做功。设小球在最低点处速度为，由动能定理得：?代入解得：；由圆周运动规律得，再由牛顿第二定律得，又所以：?
评析：此题所涉运动为圆周运动，圆周运动中向心力具有瞬时性，高中阶段只能用牛顿第二定律得到向心加速度再与圆周运动规律相结合来解。动量定理不适于求物理过程中的瞬时量。至于动能定理，由于它是对运动过程能量转化方面的反映，故只要涉及动能改变的情况都适用。?
例3．如图1所示，光滑水平面上停着一只木球和载人小车，人与车的总质量为，木球质量为，而且知道＝16。人以速度沿水平方向将木球推向竖直墙，球又以速率弹回，人接球后再以速率将木球推向墙，如此反复。问：（1）人经几次推木球后，再也不能接住木球？（2）在此过程中，人总共做了多少功？??
解：（1）把人车与球总体作为研究对象（是一个系统作为研究对象）。由系统动量定理可知：墙对球的作用力作为研究系统的外力，它的冲量改变着研究系统的动量。而每次墙对球的冲量都为。设n次后人不能接到球，此时人车速度为。依题意有：（1）又由动量定理有：故：（2），（1）（2）两式结合解得：代入?得：?依题意，n应取9。?
（2）由上面分析可知，球与墙碰9次后，人车速度?
由于墙在每次碰撞中都没有对球做功，故被研究系统的动能来源于人所做的功，即由动能定理得：?
评析：此例由于墙与球、人与球的作用过程中力是变力且作用时间无法知道，故而细节内容无法探究。所以根本无法用牛顿第二定律结合运动规律分析，只能采用动量定理和动能定理来解。?
例4．在光滑水平面上停有一质量为M的小平板车A，车左端放上一初速度为，方向向右，质量为m的厚度不计的滑块B。滑块与小车上表面间的摩擦因数为，要使滑块不至于滑出小车，小车长至少多长？??
解法一：用牛顿运动定理结合匀加速直线运动规律来解：?
滑块B在小车A上向右滑行时，由于滑动摩擦力的作用，会带动小车同时向右运动。相对于地面而言，滑块向左做匀减速运动，它的加速度：；小车向右做匀加速运动，它的加速度：。要使滑块恰不从小车上滑落，即要求滑块滑到小车右端时，它与小车的末速度相等。即：，可得：?即：?
那么，；?
????依题意有：??
解法二：运用动量守恒与动能定理解：?
设A、B末速度为，由A．B系统动量守恒可得：，可得：?
又由动能定理得：，故：??
评析：当一个系统多个物体同时在运动时，运用牛顿运动定律来解需要对每个物体的具体运动情况都进行分析，很显然这种解法会显得较繁难。而系统动量定理及系统动能定理可对整个系统进行笼统处理，用这种解法来处理这类问题当然往往显得简便得多。?
综上所述，我们可以看出：若是单个物体运动且过程简单，或所求问题必须涉及过程中加速度的时候，应选用牛顿第二定律结合相应的运动规律来解；如果运动过程复杂、多个物体形成运动系统，则运用动量定理（动量守恒）结合动能定理来解。当然，只要涉及动能变化，外力做功的情况，动能定理都可用。
扩展阅读：高二数学数学归纳法
1.4数学归纳法
教学过程：
一、创设情境，启动思维
情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛”的脑筋急转弯等；
教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题.人们通常也会用归纳法思考问题，小孩也会由此总结出什么年龄人该叫爷爷，什么年龄人叫阿姨，叫哥哥或姐姐.情境二：华罗庚的“摸球实验”
1、这里有一袋球共12个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么判断？
启发回答:
方法一：把它全部倒出来看一看．特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．
方法二：一个一个拿，拿一个看一个．
比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．特点：有顺序，有过程．
2、如果想象袋子有足够大容量，球也无限多？要判断这一袋球是白球，还是黑球，上述方法可行吗？
情境三:回顾等差数列an通项公式推导过程：
a1a1a2a1da3a12da4a33dana1(n1)d
设计意图：首先设计情境一,分析情境，自然引出课题----归纳法，谈笑间进入正题.再通过情境二的交流激发学生的兴趣，调动学生学习的积极性．情境三点出两种归纳法的不同特点.通过梳理我们熟悉的一些问题，很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔.二、师生互动，探究问题
承上启下：以上问题的思考和解决，用的都是归纳法.什么是归纳法？归纳法特点是什么？上述归纳法有什么不同呢？学生回答以上问题，得出结论：
1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：由特殊→一般；
2.完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法；
3.不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法.
在生活和生产实际中，归纳法有着广泛的应用．例如气象工作者、水文工作者，地震工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，地震预测用的就是归纳法．
4.引导学生举例：
⑴不完全归纳法实例：如欧拉发现立体图形的欧拉公式:VEF2(V为顶点数,E为棱数,F为面数)
⑵完全归纳法实例：如证明圆周角定理时，分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况讨论．
设计意图：从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，并在这里我安排学生举完全归纳法的实例和不完全归纳法实例，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳法，并引导学生积极投入到探寻论证方法过程的氛围中.三、借助史料,引申思辨
问题1：已知an＝(n25n5)2（n∈N），
(1)分别求a1；a2；a3；a4．
(2)由⑴你会有怎样的一个猜想？这个猜想正确吗？问题2：费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．他曾认为，当n∈N时，22n1一定都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后得
5到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了221＝4294967297＝6700417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
教师总结:有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个数上！
问题3：f(n)n2n41,当n∈N时，f(n)是否都为质数？
验证：f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，
f（9）＝131，f（10）＝151，，f（39）＝1601．但是f（40）
＝1681＝412，是合数．
承上启下：这里算了39个数不算少了吧，但还是不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来,寻求数学证明.
教师设问：,不完全归纳法为什么会出错？如何弥补不足？怎么给出证明呢？
设计意图：在生活引例与已学数学知识的基础上，进一步引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大师都有可能如此．那么，不完全归纳法价值体现在哪里？不足之处如何去弥补呢？结论正确性怎样给出证明？学生一定会带着许多问题进入下一阶段探究.四、实例再现，激发兴趣
1、演示多米诺骨牌游戏视频.
师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：⑴第一块要倒下;
⑵当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;
当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下.
再举例：再举几则生活事例：推倒自行车,早操排队对齐等．2、学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）.
设计意图：布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．另外，这个环节里，我在培养学生大胆猜想、类比概括能力方面实践的不够好．应该让学生在类比多米诺骨牌游戏的基础上说出数学归纳法原理，教师给予肯定和补充即可。事实上，情境的设计都是为学生更好的知识迁移而服务的。概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，突破口就是学生的概括过程．
五、类比联想，形成概念
1、类比多米诺骨牌过程,证明等差数列通项公式
ana1(n1)d(师生共同完成,教师强调步骤及注意点)
(1)当n＝1时等式成立；(2)假设当n＝k时等式成立,即ak则ak1akda1(k1)d,
=a1[(k1)1]d,即n＝k＋1时等式也成立．
a1(n1)d于是,我们可以下结论：等差数列的通项公式an何n∈N*都成立．
2．数学归纳法原理(学生表述,教师补正)：
对任
（1）（递推奠基）：n取第一个值n0(例如n01)时命题成立；
（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
利用它证明当n=k+1时结论也正确.（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确，这种证明方法叫做数学归纳法．
3、数学归纳法的本质：无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）设计意图：至此，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理,揭示递推过程.教师强调数学归纳法特点.数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数有关问题的有力工具，一种具普遍性的方法.
六、讨论交流，深化认识
an1an例1、数列an中,a1＝1,an1是什么？你是怎么得到的？
(n∈N*),an通项公式
探讨一：观察数列an特点，变形解出.
探讨二：先计算a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式,最后用数学归纳法证明结论．
设计意图：通过典型例题使学生探究尝试，一方面体验“观察归纳猜想证明”完整过程，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能使他们体验数学方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力．不同的方法也体现解决问题的灵活性.
七、反馈练习,巩固提高
（请两位同学板演以下两题，教师指正）
1、用数学归纳法证明：1＋3＋5＋＋（2n－1）＝n2．2、首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是a3、用数学归纳法证明：2462nn2是否正确，说出理由？
证明：假设nkna1qn1．
n1时，下列推证
时，等式成立
kk1成立
2就是2462k那么2462k2k1k2k12k1=k1k11
2这就是说当nk1时等式成立，
所以nN*时等式成立.
4、判断下列推证是否正确，若是不对，如何改正.求证：
12＋122＋12＋＋312n1n1()21
1证明：①当n=1时，左边＝
211右边＝122，等式成立.
②设n=k时，有
12＋122＋123＋＋12k1k1()2那么，当n=k+1时，有
k1111k1221，即1121212＋122＋12＋＋312k12k1n=k+1时，命题
成立
根据①②可知，对n∈N＊，等式成立.
设计意图：练习题1，2的证明难度不大，套用数学归纳法的证明步骤不难解答，通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况．这样既可以检验学生的学习水平，保证不盲目拔高，同时不冲淡本节课的重点，对例题是一个很好的对比与补充．通过3，4的易错辨析，进一步体会数学归纳法证题时的两个步骤、一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”.八、总结归纳，加深理解
1、本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；
2、归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，枚举法仅局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；
3、数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；
4、本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证思想．九、布置作业,课外延伸十、书面作业：见教材P56课后思考题：
1.是否存在常数a、b、c使得等式：
132435......n(n2)16n(an2bnc)
对一切自然数n都成立并证明你的结论.
2.是否存在常数
1222a、b、c，使得等式
223.....n(n1)n(n1)12(an2bnc)
对一切自然数n都成立？并证明你的结论（a=3,b=11,c=10）
设计意图:思考题则起着承上启下的作用,它既是“观察归纳猜想证明”的完整思维探究过程的再体验，也是对下节课内容的铺垫与伏笔．
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