高中数学知识点总结 第六章不等式
高中数学第六章-不等式
考试内容:
不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式.考试要求:
(1)理解不等式的性质及其证明.
(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用.
(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.(4)掌握简单不等式的解法.
(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
06.不等式知识要点
1.不等式的基本概念
(1)不等(等)号的定义:ab0ab;ab0ab;ab0ab.(2)不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式.(3)同向不等式与异向不等式.
(4)同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质
(1)abba(对称性)
(2)ab,bcac(传递性)
(3)abacbc(加法单调性)
(4)ab,cdacbd(同向不等式相加)(5)ab,cdacbd(异向不等式相减)(6)a.b,c0acbc
(7)ab,c0acbc(乘法单调性)
(8)ab0,cd0acbd(同向不等式相乘)
(9)ab0,0cdabcd(异向不等式相除)
(10)ab,ab011(倒数关系)ab(11)ab0anbn(nZ,且n1)(平方法则)(12)ab0nanb(nZ,且n1)(开方法则)
3.几个重要不等式
(1)若aR,则|a|0,a20
(2)若a、bR,则a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)(当仅当a=b时取等号)(3)如果a,b都是正数,那么abab.(当仅当a=b时取等号)
2极值定理:若x,yR,xyS,xyP,则:1如果P是定值,那么当x=y时,S的值最小;○
2如果S是定值,那么当x=y时,P的值最大.○
利用极值定理求最值的必要条件:一正、二定、三相等.
(4)若a、b、cR,则abc3abc(当仅当a=b=c时取等号)ba(5)若ab0,则2(当仅当a=b时取等号)
ab(6)a0时,|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa
(7)若a、bR,则||a||b|||ab||a||b|4.几个著名不等式
(1)平均不等式:如果a,b都是正数,那么
211abababa2b2(当仅当
.22a=b时
取等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数):
2222abababab22特别地,ab((当a=b时,())ab)
2222a2b2c2abc(a,b,cR,abc时取等)3322...an幂平均不等式:a12a221(a1a2...an)2n注:例如:(acbd)2(a2b2)(c2d2).
1111111常用不等式的放缩法:①2(n2)nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn1nn1(n1)
(2)柯西不等式:若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;则(a1b1a2b2a3b3anbn)aaaa当且仅当123n时取等号b1b2b3bn22(a12a22a32an)(b122b22b32bn)
(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有
f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)
).22则称f(x)为凸(或凹)函数.
5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
6.不等式的解法
(1)整式不等式的解法(根轴法).
步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结),定解.特例①一元一次不等式ax>b解的讨论;
2②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.
(2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0(3)无理不等式:转化为有理不等式求解○1f(x)g(x)g(x)0定义域
f(x)g(x)f(x)0○2
f(x)0f(x)0○3f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)]f(x)0f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)](4).指数不等式:转化为代数不等式
af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)
af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb(5)对数不等式:转化为代数不等式
f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)(6)含绝对值不等式
1应用分类讨论思想去绝对值;○2应用数形思想;○
3应用化归思想等价转化○
g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)
g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)
注:常用不等式的解法举例(x为正数):①x(1x)211242x(1x)(1x)()32232722x2(1x2)(1x2)123423②yx(1x)y()y2232792类似于ysinxcosxsinx(1sinx),③|x1||x||1|(x与1同号,故取等)2
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扩展阅读:高中数学知识点总结_第六章不等式[1]
高中数学第六章-不等式
考试内容:
不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式.考试要求:
(1)理解不等式的性质及其证明.
(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用.
(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.(4)掌握简单不等式的解法.
(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
06.不等式知识要点
1.不等式的基本概念
(1)不等(等)号的定义:ab0ab;ab0ab;ab0ab.(2)不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式.(3)同向不等式与异向不等式.
(4)同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质
(1)abba(对称性)
(2)ab,bcac(传递性)
(3)abacbc(加法单调性)
(4)ab,cdacbd(同向不等式相加)(5)ab,cdacbd(异向不等式相减)(6)a.b,c0acbc
(7)ab,c0acbc(乘法单调性)
(8)ab0,cd0acbd(同向不等式相乘)
(9)ab0,0cdabcd(异向不等式相除)
(10)ab,ab011(倒数关系)ab(11)ab0anbn(nZ,且n1)(平方法则)(12)ab0nanb(nZ,且n1)(开方法则)
3.几个重要不等式
(1)若aR,则|a|0,a20
(2)若a、bR,则a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)(当仅当a=b时取等号)(3)如果a,b都是正数,那么abab.(当仅当a=b时取等号)
2极值定理:若x,yR,xyS,xyP,则:1如果P是定值,那么当x=y时,S的值最小;○
2如果S是定值,那么当x=y时,P的值最大.○
利用极值定理求最值的必要条件:一正、二定、三相等.
(4)若a、b、cR,则abc3abc(当仅当a=b=c时取等号)ba(5)若ab0,则2(当仅当a=b时取等号)
ab(6)a0时,|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa
(7)若a、bR,则||a||b|||ab||a||b|4.几个著名不等式
(1)平均不等式:如果a,b都是正数,那么
211abababa2b2(当仅当
.22a=b时
取等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数):
2222abababab22特别地,ab((当a=b时,())ab)
2222a2b2c2abc(a,b,cR,abc时取等)3322...an幂平均不等式:a12a221(a1a2...an)2n注:例如:(acbd)2(a2b2)(c2d2).
1111111常用不等式的放缩法:①2(n2)nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn1nn1(n1)
(2)柯西不等式:若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;则(a1b1a2b2a3b3anbn)aaaa当且仅当123n时取等号b1b2b3bn22(a12a22a32an)(b122b22b32bn)
(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有
f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)
).22则称f(x)为凸(或凹)函数.
5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
6.不等式的解法
(1)整式不等式的解法(根轴法).
步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结),定解.特例①一元一次不等式ax>b解的讨论;
2②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.
(2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0(3)无理不等式:转化为有理不等式求解○1f(x)g(x)g(x)0定义域
f(x)g(x)f(x)0○2
f(x)0f(x)0○3f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)]f(x)0f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)](4).指数不等式:转化为代数不等式
af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)
af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb(5)对数不等式:转化为代数不等式
f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)(6)含绝对值不等式
1应用分类讨论思想去绝对值;○2应用数形思想;○
3应用化归思想等价转化○
g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)
g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)
注:常用不等式的解法举例(x为正数):①x(1x)211242x(1x)(1x)()32232722x2(1x2)(1x2)123423②yx(1x)y()y2232792类似于ysinxcosxsinx(1sinx),③|x1||x||1|(x与1同号,故取等)2
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