高考复习文科导数知识点总结

高考复习文科导数知识点总结

导数知识点

一．考纲要求

考试内容8A导数概念及其几何意义导数的概念导数的几何意义根据导数定义求函数yc，yx，导数的运算导数及其应用yx2要求层次BC√△√，y1x√的导数导数的四则运算导数公式表◇导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）利用导数解决某些实际问题√√☆√☆√√二．知识点

1.导数的几何意义：

函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线yf(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f"(x0)，切线方程为

yy0f(x)(xx0).

"2.、几种常见函数的导数

"n"n1""①C0；②(x)nx；③(sinx)cosx；④(cosx)sinx；

⑤(a)alna；⑥(e)e；⑦(log3.导数的运算法则

x"xx"xax)"1xlna"；⑧(lnx)1x

(v0).（1）(uv)uv.（2）(uv)uvuv.（3）()2vv4.极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的

""""""u"uvuv""极大值，极小值同理）当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f"(x)＞0，右侧f"(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f"(x)＜0，右侧f"(x)＞0，那么f(x0)是极小值.

也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f"(x)=0①.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注①：若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f"(x)=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数yf(x)x3，x0使f(x)"=0，但x0不是极值点.

是函数的极小值点.

②例如：函数yf(x)|x|，在点x0处不可导，但点x0极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.5.导数与单调性

（1）一般地，设函数y=f(x)在某个区间可导，如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f′(x)=0，则f(x)为常数；（2）对于可导函数y=f(x)来说，f′(x)>0是f(x)在某个区间上为增函数的充分非必要条件，f′(x)<0是f(x)在某个区间上为减函数的充分非必要条件；（3）利用导数判断函数单调性的步骤：

①求函数f(x)的导数f′(x)；②令f′(x)>0解不等式，得x的范围，就是递增区间；③令f′(x)<0解不等式，得x的范围，就是递增区间。

扩展阅读：文科导数复习与题型归纳

导数复习

知识点

一、导数的概念导数f"(x0)limyxx0。

二、导数的几何意义

函数y=f(x)在点x0处的导数，就是曲线y=(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：

(1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数，即曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为

yy0f"(x0)(xx0)

三、常见函数的导数及运算法则(1)八个基本求导公式(C)＝；(x)＝；(n∈Q)

n(sinx)x＝，(cosxx)＝(e)＝，(a)＝(lnx)＝，(logax)＝(2)导数的四则运算(uv)＝[Cf(x)]＝(uv)＝，(u)v＝(v0)(3)复合函数的导数设u(x)在点x处可导，yf(u)在点uf(x)＝，即yxyuux

(x)处可导，则复合函数

f[(x)]在点x处可导，且

四、导数的应用（要求：明白解题步骤）1．函数的单调性

（1）设函数y=f(x)在某个区间内可导，若f(x)f(x)0，则f(x)为减函数。

//0，则

f(x)为增函数；若

（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法。①分析yf(x)的定义域；②求导数yf(x)③解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为区间解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为区间

例如：求函数yx1x的减区间

2．可导函数的极值（采用表格或画函数图象）

（1）极值的概念

设函数f(x)在点x0附近有定义，且若对x0附近所有的点都有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)），则称f(x0)为函数的一个极大（小）值，称x0为极大（小）值点。（2）求可导函数f(x)极值的步骤①求导数f(x)；②求方程③检验

f(x)＝0的；

f(x)f(x)在方程＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为

f(x)负(先增后减)，那么函数y＝在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，

右侧为正(先减后增)，那么函数y＝f(x)在这个根处取得.3．函数的最大值与最小值⑴设y＝f(x)是定义在区间[a,b]上的函数，y＝f(x)在(a,b)内有导数，则函数y＝

f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值；但在开区间内未必有最大值与最小值．(2)求最值可分两步进行：

①求y＝f(x)在(a,b)内的值；

②将y＝f(x)的各值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

(3)若函数y＝f(x)在[a,b]上单调递增，则f(a)为函数的，f(b)为函数的；若函数y＝f(x)在[a,b]上单调递减，则f(a)为函数的，f(b)为函数的.

4.求过函数上一点的切线的斜率或方程

例题1：分析函数yx33x（单调性，极值，最值，图象）

例题2：函数yx3ax在(,1)上为增函数，在(1,1)上为减函数，求实数a

例题3：求证方程xlgx1在区间(2,3)内有且仅有一个实根.（分析解本题要用的知识点）

3一．求值

1．f(x)是f(x)13x2x1的导函数，则f(1)的值是3．

2.f(x)=ax3+3x2+2，f(1)4，则a=

3.已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)=3x+2xf(2),则f(5)=.4.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0且g(－3)=0,则不等式f(x)g(x)110．（08海南理）曲线ye2在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为三．单调性

2

1.（1）设f(x)=x(2-x),则f(x)的单调增区间是（）A.(0,

43)xB.(

43,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(

43,+∞）

（2）函数y=(x+1)(x2－1)的单调递增区间为（）

A.(-∞,－1)B.（－1,+∞）

C.(-∞,－1)与（－1,+∞）D.(-∞,－1)∪（－1,+∞）(3)函数f(x)x33x21是减函数的区间为（）A．(2,)B．(,2)C．(,0)D．（0，2）

2.（1）若函数f(x)=x-ax+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为（2）设a0,函数f(x)x3ax在[1,)上是单调函数.则实数a的取值范围为；（3）函数y=ax3－x在(－∞,+∞)上是减函数，则实数a的取值范围为；3．（1）若函数f（x）=ax3－x2+x－5在R上单调递增，则a的范围是．（2）已知函数f(x)ax33x2x1在R上是减函数，则a的取值范围是：．4.若f(x)ax3bx2cxd(a0)在R上是增函数，则（）

（A）b24ac0（B）b0,c0（C）b0,c0（D）b23ac05、函数yx3axb在(1,1)上为减函数，在(1,)上为增函数，则（）（A）a1,b1（B）a1,bR（C）a3,b3（D）a3,bR四．极值

1、函数y13xx的极大值，极小值分别是

A.极小值-1，极大值1B.极小值-2，极大值3C.极小值-2，极大值2D.极小值-1，极大值3

2．函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3时取得极值，则a=（）（A）2（B）3（C）4（D）5

3.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2,在x=1时有极值10，则a、b的值为（）A.a=3,b=-3，或a=-4,b=11B.a=-4,b=11C.a=3,b=-3D.以上都不正确

34、已知函数f(x)的导数为f(x)4x4x，且图象过点（0，-5），当函数f(x)取得极

332

大值-5时，x的值应为

A.1B.0C.1D.±1

3

5.若函数f(x)=x-3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）A.0A.(2,3)B.(3,+∞)C.(2,+∞)D.(－∞,3)8.（201*辽宁卷文）若函数f(x)五．最值

1．函数y2x33x212x5在[0，3]上的最大值、最小值分别是（）

A．5，－15

B．5，－4

C．－4，－15

D．5，－16

xax12在x1处取极值，则a

2.（06浙江文）f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是（）

(A)-2(B)0(C)2(D)4

3函数y=x3+

3x在(0，+∞)上的最小值为

B.5

C.3

D.1

A.4

4．（07湖南理）函数f(x)12xx3在区间[3，3]上的最小值是．

5（07江苏）已知函数f(x)x312x8在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，则Mm____________

变式、函数f(x)x33xa在区间0,3上的最大值、最小值分别为M，N，则M－N的值为。6.（201*安徽文）设函数f(x)2xA．有最大值B．有最小值六．综合

1x1(x0),则f(x)（）

C．是增函数D．是减函数

1．（07福建理、文）已知对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x0时，

f(x)0，g(x)0，则x0时（）

A．f(x)0，g(x)0C．f(x)0，g(x)0

B．f(x)0，g(x)0D．f(x)0，g(x)0

"2．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有（）A．f(0)f(2)2f(1)B.f(0)f(2)2f(1)C.

f(0)f(2)2f(1)D.

n1f(0)f(2)2f(1)*

3.（201*陕西卷文）设曲线yx为xn,则x1x2xn的值为(A)

1n(nN)在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标

(B)

1n1(C)

nn1(D)1

1所示，

4设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如右图

则导函数y=f(x)可能为（）

yyyyO（A）

xOxO（C）

xOx（B）

5．（浙江卷11）设f"(x)是函数f(x)的导函数，

y（D）

y=f"(x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是

O12x

yyyyO12xO122x1xO12x(A)(B)(C)(D)6.（201*湖南卷文）若函数yf(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，．．．则函数yf(x)在区间[a,b]上的图象可能是【】yyyyoabxoa

obxa

obxa

bx

A．B．C．D．

7、已知函数f(x)xmx(m6)x1既有极大值又存在最小值，则实数m的取值范围是。

8、若函数f(x)的定义域为0,，且f(x)0,f(x)0，那么函数yxf(x)（）

/32（A）存在极大值（B）存在最小值（C）是增函数（D）是减函数

9、当x0,2时，函数f(x)ax4(a1)x3在x=2时取得最大值，则a的取值范围

2是。

七．解答题（重点）

题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值。

1.已知函数f(x)x3ax2bxc,过曲线yf(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为

y=3x+1

（Ⅰ）若函数f(x)在x2处有极值，求f(x)的表达式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数yf(x)在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数yf(x)在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围

2：已知三次函数f(x)x3ax2bxc在x1和x1时取极值，且f(2)4．(1)求函数yf(x)的表达式；

(2)求函数yf(x)的单调区间和极值；

(3)若函数g(x)f(xm)4m(m0)在区间[m3,n]上的值域为[4,16]，试求m、n应满足的条件．3．（海南文本小题满分12分）设函数f(x)ln(2x3)x2（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

31（Ⅱ）求f(x)在区间，的最大值和最小值．

44

324、已知f(x)axbxcx(a0)在x1取得极值，且f(1)1。

（1）试求常数a,b,c的值；

（2）试判断x1是函数的极大值还是极小值，并说明理由。

5．已知函数f(x)=－x3＋3x2＋ax＋b在x＝(1，f(1))处的切线与直线12x－y－1＝0平行．（1）求实数a的值；

（2）求f(x)的单调递减区间；

（3）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

题型二：利用导数研究不等式恒成立。

1.已知两个函数f(x)7x228x，g(x)2x34x240xc.

（Ⅰ）F(x)图像与f(x)图像关于原点对称,解不等式F(x)f(x)x3

（Ⅱ）若对任意x[－3，3]，都有f(x)g(x)成立，求实数c的取值范围；

2.已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.

21

(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;

(2)若f(x)在x=1处取得极值，且x∈［-1,2］时，f(x)

2.设函数fxxbxcx(xR)，已知g(x)f(x)f(x)是奇函数。

32(1)（Ⅰ）求b、c的值。

(2)（Ⅱ）求g(x)的单调区间与极值。

3.（201*北京理科、文科）已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a.（I）求f(x)的单调递减区间；

（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

4.（201*安徽文）设函数fxxbxcx(xR)，已知g(x)f(x)f(x)是奇函

32数。

（Ⅰ）求b、c的值。（Ⅱ）求g(x)的单调区间与极值。

5．(201*全国Ⅱ卷文)设aR，函数f(x)ax33x2．（Ⅰ）若x2是函数yf(x)的极值点，求a的值；

（Ⅱ）若函数g(x)f(x)f(x)，x[0，2]，在x0处取得最大值，求a的取值范围．

6.(201*湖北文)已知函数f(x)xmxmx1（m为常数，且m>0）有极大值9.（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线yf(x)的切线，求此直线方程.

7已知函数f(x)x3ax1．

（Ⅰ）若f(x)在实数集R上单调递增，求a的范围；

9

3（Ⅱ）是否存在实数a使明理由．09福建理科

f(x)在(1,1)上单调递减．若存在求出a的范围，若不存在说

14.若曲线f(x)ax3lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是_____________.20、（本小题满分14分）已知函数f(x)1332xaxbx,且f"(1)0w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(1)试用含a的代数式表示b,并求f(x)的单调区间；

（2）令a1,设函数f(x)在x1,x2(x1x2)处取得极值，记点M(x1,f(x1))，N(x2,f(x2))，P(m,f(m)),x1mx2,请仔细观察曲线f(x)在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

（I）若对任意的m(x1,x2)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；

（II）若存在点Q(n,f(n)),xn

直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m09福建文科

15.若曲线fxaxInx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是.

221．（本小题满分12分）

已知函数f(x)13xaxbx,且f"(1)0

32（I）试用含a的代数式表示b；

（Ⅱ）求f(x)的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（Ⅲ）令a1，设函数f(x)在x1,x2(x1x2)处取得极值，记点

M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2))，证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点；

08福建理科（11）如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数y=f(x)的图象可能是

（19）（本小题满分12分）已知函数f(x)13xx2.

322（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(an,an12an1)(n∈N*)

在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.文科

(21)（本小题满分12分）

已知函数f(x)xmxnx2的图象过点（-1，-6），且函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称.

(Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.07福建

11．已知对任意实数x，有f(x)f(，x)f(x)，0g(x)，则x0时（）

g(x)32，且gxx0时，

A．f(x)0，g(x)0C．f(x)0，g(x)022．（本小题满分14分）

B．f(x)0，g(x)0D．f(x)0，g(x)0

已知函数f(x)ekx，xR

11

x（Ⅰ）若ke，试确定函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若k0，且对于任意xR，f(x)0恒成立，试确定实数k的取值范围；

n（Ⅲ）设函数F(x)f(x)f(x)，求证：F(1)F(2)F(n)(e

（全国一文20）

设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值．

（Ⅰ）求a、b的值；

n12)2(nN)．

2（Ⅱ）若对于任意的x[0，3]，都有f(x)c成立，求c的取值范围．

(陕西文21)

已知f(x)ax3bx2cx在区间[0,1]上是增函数,在区间(,0),(1,)上是减函数,又

13f().22(Ⅰ)求f(x)的解析式;

(Ⅱ)若在区间[0,m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立,求m的取值范围.12．已知函数f(x)13x312(b1)xcx，①若f(x)在x1,x3处取得极值，试求

2常数b,c的值；②若f(x)在,x1,x2,上都是单调递增，在x1,x2上单调递减，

2且满足x2x11，求证：b2(b2c)

3214．设t0，点P（t，0）是函数f(x)xax与g(x)bxc的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（Ⅰ）用t表示a，b，c；

（Ⅱ）若函数yf(x)g(x)在（－1，3）上单调递减，求t的取值范围.

例1]已知曲线S:y23xx4x及点P(0,0)，求过点P的曲线S的切线方程.

32正解：设过点P的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点P的曲线S的切线斜率

ky2x02x04，又kPQ2y0x0xx0，2x02x042y0x0。①点

Q在曲线S上，

y023x0x04x0.②，②代入①得

322x02x044332232x0x04x0x032

34化简，得

x0x00，x00或x0.若x00，则k4，过点P的切线

358x.过点P的曲线S方程为y4x；若x034，则k358x.

358，过点P的切线方程为y的切线方程为y4x或y[例2]已知函数f(x)ax33x2x1在R上是减函数，求a的取值范围.错解：f(x)3ax26x1,f(x)在R上是减函数，f(x)0在R上恒成立，

3ax26x10对一切xR恒成立，0，即3612a0，a3.

正解:f(x)3ax26x1，f(x)在R上是减函数，f(x)0在R上恒成立，

0且a0，即3612a0且a0，a3.

例5]函数f(x)3x33ax1,g(x)f"(x)ax5，其中f"(x)是f(x)的导函数.（1）对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0，求实数x的取值范围；

（2）设a＝－m2，当实数m在什么范围内变化时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝3只有一个公共点.

解：（1）由题意gx3xax3a5

2令x3xa3x5，1a1

2对1a1，恒有gx0，即a0

3x2x201*∴即2

103xx80解得223x1

故x（2）f",1时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有gx0.3x3x23m2

3①当m0时，fxx1的图象与直线y3只有一个公共点

②当m0时，列表：xf",mmm,mmm,x00fx极大2极小∴fx极小fx2mm11

又∵fx的值域是R，且在m,上单调递增

∴当xm时函数yfx的图象与直线y3只有一个公共点.当xm23时，恒有

fxf3由题意得mfm33即

2.

2mm12m13解得m32,00,2综上，m的取值范围是32,例6、（1）是否存在这样的k值，使函数

区间（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增，若存在，求出这样的k值；

（2）若间。

解：（1）由题意，当∴由函数即整理得

时的连续性可知

，当x∈(2,+∞)时

，，

恰有三个单调区间，试确定

在

的取值范围，并求出这三个单调区

解得验证：

或

（Ⅰ）当时，

∴若

，则；若，则，符合题意；

（Ⅱ）当时，

显然不合题意。

，

于是综上可知，存在

（2）若若

，则，则

使在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增。

，此时

，此时

只有一个增区间，与题设矛盾；

，与题设矛盾；

只有一个增区间

若，则

并且当时，；

当

∴综合可知，当

时，时，

恰有三个单调区间：

减区间

点评：对于（1），由已知条件得

；增区间

，并由此获得k的可能取值，进而再利用已知

条件对所得k值逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。

例7、已知函数并且极大值比极小值大4.（1）求常数

的值；

，当且仅当

时，

取得极值，

（2）求

解：（1）令∵∴

在或得方程

处取得极值为上述方程的根，

，

的极值。

故有∴

，即

①

∴又∵∴方程∴方程∴

仅当

时取得极值，的根只有

或，

无实根，

即

而当∴

时，

的正负情况只取决于

与

恒成立，

的取值情况

当x变化时，的变化情况如下表：

+010(1，+∞)+

∴在

极大值极小值处取得极大值

②

，在处取得极小值。

由题意得整理得

于是将①，②联立，解得

（2）由（1）知，

点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与的关系，立足研究的根

的情况，乃是解决此类含参问题的一般方法，这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法，突出了“导数

”与“

在

处取得极值”的必要关系。

1．已知函数f(x)ax3(2a1)x22，若x1是yf(x)的一个极值点，则a值为（）

A．2B.-2C.

27D.4

3222.已知函数f(x)xaxbxa在x1处有极值为10，则f(2)=.3．给出下列三对函数：①f(x)1x1x,g(x)x12②f(x)ax(a0)，g(x)xa

③f(x)()，g(x)log(x)；其中有且只有一对函数“既互为反函数，又同

3是各自定义域上的递增函数”，则这样的两个函数的导函数分别是

f(x)，g(x).324．已知函数f(x)x3ax3(a2)x1有极大值和极小值，求a的取值范围.

25．已知抛物线yx2，过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限

围成的三角形的面积最小，求l的方程.

6．设g(y)1x24xy3y4在y1,0上的最大值为f(x)，xR，

（1）求f(x)的表达式；（2）求f(x)的最大值.

设aR，函数f(x)ax33x2．

（Ⅰ）若x2是函数yf(x)的极值点，求a的值；

（Ⅱ）若函数g(x)f(x)f(x)，x[0，2]，在x0处取得最大值，求a的取值范围．

解：（Ⅰ）f(x)3ax26x3x(ax2)．

因为x2是函数yf(x)的极值点，所以f(2)0，即6(2a因此a1．2)0，经验证，当a1时，x2是函数yf(x)的极值点．4分（Ⅱ）由题设，g(x)ax33x23ax26xax2(x3)3x(x2)．当g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)时，

g(0)≥g(2)，

即0≥20a24．故得a≤时，对任意x[0，2]，

65．9分

反之，当a≤g(x)≤3x5652265x(x3)3x(x2)

3x5(2x5)(x2)≤0，

(2xx10)而g(0)0，故g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)．

综上，a的取值范围为，．12分

53已知

是函数

与的关系表达式；

的一个极值点，其中

6（Ⅰ）求

（Ⅱ）求

（Ⅲ）当取值范围。

的单调区间；

时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求的

解析：（1）本小题主要考查了导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想，第2小题要根据

的符号，分类讨论

的单调区间；第3小题

是二次三项式在一个区间上恒成立的问题，用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号，体现出将一般性问题特殊化的数学思想。

解答：（Ⅰ）∴∴

（Ⅱ）

；，

是函数

的一个极值点

令

，得

与

的变化如下表：

0+0极大值1单调递减极小值

单调递增单调递减因此，的单调递减区间是和；的单调递增区间是

；

（Ⅲ）由（Ⅱ）即令

，且

19

，

即m的取值范围是4

。

已知函数（Ⅰ）求

（Ⅱ）设在

，函数

。

的单调区间和值域；

，若对于任意

成立，求

的取值范围。

，总存

，使得

解析：本题考查导数的综合运用，考查综合运用数学知识解决问题能力，考查思维及推理能力以及运算能力，本题入手点容易，

（Ⅰ）中对分式函数定区间内单调性与值域问题，往往以导数为工具，

（Ⅱ）是三次函数问题，因而导数法也是首选，若满足

解：

关系，从而达到求解目的。

成立，则二次函数值域必

（Ⅰ）由得或。

∵则，

∴，

（舍去）变化情况表为：

020

10+

因而当当

（Ⅱ）因此因此当又任给则

，当

时时，

为减函数；当的值域为

；

时为增函数；

时

为减函数，从而当

，即当

，

，存在

时有时有使得

时

由（1）得又

或，由（2）得

故

的取值范围为。

5已知，函数

取得最小值？证明你的结论；

（1）当为何值时，

（2）设

在

上是单调函数，求的取值范围。

解析：本题考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，本题（Ⅰ）常规题型，方法求（Ⅱ）由（Ⅰ）

在

，解上单调，而

的根，列表，确定单调性，并判断极值点，对

，因此只要

即满足题设条件，从中解出

解答：（Ⅰ）令从而

当变化时,

，则

的范围。

，其中

的变化情况如下表

∴当而当∴当（Ⅱ）当

在时时+0极大值0极小值+处取得极大值，

，

处取得极小值

在，当

时

为减函数，在

为增函数

，且

时时在

取最小值；

上为单调函数的充要条件是

，解得

综上，在上为单调函数的充要条件为,

即

的取值范围为）。

6.已知，函数

（Ⅰ）当

（Ⅱ）求函数

答案：

时，求使成立的成立的的集合；

在区间上的最小值。

（Ⅰ）｛0，1，

｝

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