初中数学教研课题的选择
中学数学教学参考1997年第6期1
□教研指南□
初中数学教研课题的选择
湖北省应城市教学研究室喻俊鹏
随着教育及教学改革的不断深入和发展,其结构也在不断地调整和变化.为了适应变化的教学结构,教学方法也应该有一个相应的发展.因此,肩负义务教育、素质教育重任的初中数学学科,应当把握时代的脉搏,面向未来,探索和总结出新的教育理论和方法.作为数学知识的直接传播者数学教师,如何确定教育、教学研究的方向,选择适合自己特长的研究课题,就显得更为迫切.下面,笔者根据自己在这个方面的实践,谈几点看法,供大家参考.
一、加强教研意识,突出课题研究面对繁重的教学工作,不少教师认为再没有时间去从事教学研究,或错误地认为教学研究是教研部门的事情,与自己没有直接联系,普遍存在对教研工作持淡漠态度.殊不知,要贯彻落实九年义务教育的教学目
标,大面积提高教学质量,必须进行教学方法的改革,而教法的改革有赖于教研的开展,教研的开展又必须狠抓课题研究.只有确立良好的教研意识,突出课题研究,才能使教学、教研融为一体,才能实现从粗放的研究向精细的研究转化,才能获取阶段性研究成果和突破性进展.
基于上述认识,以探索课堂教学规律为目标,从大面积提高教学质量的需要出发,我们针对学生实际,通过调查研究,发现有碍于提高教学质量的问题,经过归类选择,将问题变为课题,进行周期长短不一的研究.其重点课题有:
1.如何培养学生思维能力的研究;2.数学课堂目标教学评价的研究;
3.学科教学中如何渗透变应试教育为素质教育的
练,培养学生思维能力》一文,发表在人民教育出版社
(初中版)1996年第主办的《教与学》5期上.
二、注重学科理论,研究基础课题
数学学科的发展,虽已有数千年的历史,其基础理论的发展已相当完善,但仍然存在着以下许多值得研究的课题.
(一)对初等数学命题进行研究
1.开展对已有命题进行变化、推广与引申方面的
研究.通常采用的方法有:
(1)互换原命题的条件和结论,研究其逆命题和否命题及逆否命题;
(2)保留条件,深化结论,研究可进一步得到的新结论;
(3)保留结论,减弱条件,研究命题是否成立或会产生什么新的结论;
(4)将命题的条件特殊化,研究命题的特殊情形;(5)将命题的条件一般化,研究命题的推广或引申.
例1如图1,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,M是BC的中点,DE⊥
.求证:DEAM,E是垂足
=2ab.(义务教育224a+b三年制初中教科书《几何》
图1
研究;
4.如何发挥学生智力因素的研究;
5.如何根据新教材特点,激发学生学习兴趣的研
BM=
第二册P.247)
上述问题中,点M是.能够改变点MBC的中点的位置吗?
若点M在BC上,且
n能求出BC,还m
DE的长吗?于是就形成
究.
上述研究课题目前均已启动,其中一个课题已取
得阶段性进展,其经验总结性论文《加强数学思维训
了以下问题:
(1)如图2,已知在矩形ABCD中,AB=a,BC
图2
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2=b,点M在BC上,且BM=.E.求DE的长
(2)如图3,已知:在矩
nBC,DE⊥AM,垂足为m
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.(1994年湖北省AB、AE、CD于F、G、H.求FH的长
孝感市中招试题)
(3)如图6,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC
形ABCD中,AB=a,BC
=b,点M在CB的延长线上,且BM=kBC,DE⊥直线AM,垂足为E.求DE的值.
2.结合课堂教学,开展对某些命题证法的改进
=8cm.⊙O是以BC为直
径的圆,点P在AD上运(不运动至动AD的两个端点),BP交⊙O于点Q,
连结CQ.求当
图3
CQ=
65时,
和方法更新方面的研究.
这方面可做的工作有:对一些传统的几何命题的证法进行简化,研究某些典型命题的多种证法以及对某些命题证法的共性的研究,等等,都是十分有价值的工作.例如上述例题在用相似三角形证明的过程中,我们可探究出多种添辅助线的方法以及相应的面积证法、对称性证法等多种方法.
(二)进行初等数学解题理论及实践的研究初等数学的解题研究是一个永不枯竭的课题.在理论方面,应通过对具体解题方法的系统总结、加工、提炼,形成具有指导意义的一般方法,并对这些方法进行理论概括,阐明一般方法的原理,探析各种方法之间的内在联系,构建解题理论.在实践方面,也需要对各类问题的现有解法进行比较、分析,总结其优劣,并寻求最简捷的解法.并且由此可建立这类问题的数学模(如图型1中,由面积公式,总成立AMDE=AD
.例如下列AB),从而总结出解决这类问题的一般方法
中招试题均可应用上述数学模型予以简捷求解.
(1)如图4,在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,且BE=2EC,DM⊥
求AE,垂足为M..(1993年sin∠MAD的值
BP图6
△BQC与△PAB的面积比和AP的长.(1993年浙江
省宁波市中招试题)
三、探析数学试题,研究竞赛数学
近年来,为落实新的教学大纲,实现应试教育向素质教育的转轨,很多中考试题及竞赛试题的命制都是源于课本高于课本的.这就需要我们对课本习题及各类试题有一个本质的认识与深入的研究.这方面可供研究的课题有以下几点:(一)开展对各类试题的研究工作
1.有关试题结构的研究.探讨各种主、客观题型合
理的数量及比例关系,试题的深度与广度的把握方法等.
2.试题题型的研究.本地区及全国各省市的中招试题题型的变化方向等,都有研究的必要.除了不断改进已有题型,还应探讨如何在旧题型的基础上构造新题型,以增强试题的新颖性、可行性及客观性.
3.对整个试卷的难度、区分度、效度和信度的研究.通过这方面的研究,以便及时掌握试卷命题的发展趋势及有关规律.
(二)研究竞赛数学的有关问题在数学竞赛这一领域中,存在着许多新的问题有待于我们去探索解决.笔者认为,目前应开展的研究课题有以下几个方面:
1.学习新的数学竞赛大纲,研究如何处理好普及与提高的关系;
2.进行对数学竞赛选手个性的追踪研究,从中探寻规律,积累经验;
3.研究数学竞赛选手的知识结构、能力结构及素质结构;
4.在普及和提高的基础上,研究选拔数学竞赛选手的有效标准;
5.进行如何优化数学竞赛选手的培训过程的研
图4
广东省中招试题)
(2)如图5,ABCD是矩形,AB=8,AD=7,E是一点,且BC上BE∶EC=6∶1.连结AE,并作AE的垂直平分线分别交
图5
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6.研究数学竞赛试题的特征、结构及隐含在其中
3(下)第提炼为数学思想.例如初中《代数》第一册40页
第二题,初中《代数》第二册第99页例题,均可运用整体思想而简捷巧妙地求出结果.这种观念上的认识与深化,有助于形成思维的深刻性、灵活性和批判性.
(三)进行数学方法的研究数学本身就是理论与
的解题规律.
四、学习数学思想,研究数学方法
数学思想与数学方法的研究虽然起步较晚,但近年来已成为中学数学教学研究中的一个热门话题.作为一种观念,要求将它渗透到数学教学与教研之中;作为数学解题思路的揭示和方法的选择,它起着调控和决策的作用;作为知识结构的连接,它又具有桥梁和枢纽的功能.因此,在教学中渗透并适时系统研究整理数学思想方法,研究数学思想方法在中学数学教学中的作用及其意义,是非常重要的,受到人们的普遍关注和高度重视.
(一)开展对数学思维类型的研究
《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》明确指出:“数学教学中,发展思维能力是培养能力的核心.”如今,愈来愈多的数学教育工作者开始把培养学生的数学思维能力摆在教学的突出位置,这是因为,数学思维能力是数学能力的核心.为了促进思维能力的
发展,就必须高度关注学生在数学学习过程中的思维活动,必须研究思维活动发展的规律,研究数学思维的有关类型,如:数学抽象思维、数学逻辑思维、数学直觉思维、数学形象思维等.此外,若从不同角度划分,还有辐合思维与发散思维,再现性思维与创造性思维,直观性动作思维与具体形象思维,抽象逻辑思维与辩证思维,等等.上述思维类型的功能、结构、内在联系以及在数学教学中所起的作用,都值得我们去认真研究与探讨.
(二)注重数学思想的研究
方法的辩证统一.数学方法
是以数学为工具进行科学研究的方法,它是数学思想的具体反映.数学教学过程中,学生的认知活动不仅是理解数学知识,更重要的是掌握数学思想方法.对数学方法而言,有宏观方法与微观方法之分,分析方法与操作方法之别,在解题中又细分出许多方法.虽然化归的方法可以包揽全部的方法,只是仅就化归而言,亦有宏观抽象化归与微观具体化归之区别.而解决数学问题的过程,就是发现条件和结论的关系,并寻找实现转化的方法,达到条件与结论和谐统一的过程.因此,对各种数学方法进行梳理,划出层次,给出结构,探讨这些方法的具体应用等,都是我们研究的课题.
五、开展教学实践,研究教学理论
教学的实践与理论研究是数学教育研究的主线.
这方面的研究课题很多,每个教师都不难找到适合自身特点的研究领域.但在具体实践和研究中必须注意以下几点:
1.开展教育实践与科研,必须以科学的教育理论作指导,善于捕捉时代的信息,把握时代的脉搏,掌握教育及教学改革的方向,面向未来.对原有知识和经验进行重新组合,更新观念,勇于实践创新,不断探索和总结出新的教育理论和方法.
2.加强现代教育、教学理论的学习,掌握立题实验
所谓数学思想,是指人们在研究数学的过程中,对
其内容、方法、结构、思维方式及其意义的基本看法和本质的认识,是人们认识数学的观念系统.目前在初中阶段提到的数学思想有:字母代数的思想,逻辑推理的思想,分解组合的思想,转化变换的思想,整体代换的思想,数形结合的思想,分类讨论的思想,集合对应的思想,数学模型的思想,公理化的思想,等等.这些思想的产生、内涵,其结构及适用范围都有待于我们去探究.它们之间的本质联系、非本质联系,内在联系、外在联系,必然联系、偶然联系,一般联系、特殊关系,以及它们之间的层次关系,都需要我们去认真分析总结.教学中,教师必须善于挖掘和抽象出问题的转化方式,并
的操作方法,不断增强科研能力和教育、教学研究的四个意识:“一流意识”“合作意识”“通才意识”“目标意识”.在用先进的教育理论指导进行微观实践的同时,认真做好教育、教学实践的阶段性经验总结,逐步形成具有自己特色的教育、教学研究风格.
3.拓宽教育、教学研究渠道,注意处理好课内与课外的关系,建立教育研究活动体系.选准子课题,形成科研课题的系列网络,即大课题必须以若干小课题为依托,才能得以充实和完善;而子课题又必须以大课题为指导.开始选择研究课题时,应扎扎实实有针对性地搞一些微观子课题的研究,并切实做好阶段性总结,以便积累经验,稳步推进.
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扩展阅读：初中数学教育研究
中文摘要
数学应用题是联系数学理论与数学实际的桥梁，在数学素质教育实施中越来越发挥重要的作用。数学应用题无论在教学实践还是在理论研究中都具有十分重要的意义。培养学生应用数学解决问题的能力，是数学教学的重要目的之一。
针对目前应用题教学难的事实，对—怎样提高初中生数学应用题解题水平‖进行了研究。本文的研究从以下三个方面着手：第一，通过问卷设计进行了学生学习数学应用题的兴趣、动机、方法的调查。第二，运用设计的测试卷，进行了学生解应用题中思维过程的调查。报告了学生解决数学应用问题中存在的解题障碍的现状。根据初中生解决数学应用问题的解题障碍分析，归纳出提高初中生数学应用题解题能力的策略。第三，在教学中，设计、实践—应用题解题策略训练‖的教学过程，通过对学生进行后测以及个案分析，证明应用题解题策略训练能够提高解题水平。
实验报告的数据证明，策略训练对解题水平提高具有实效性。根据初中生学习的特征，得出三条提高初中生数学应用题解题能力的策略。一、在应用题教学中要注意加强元认知调控；二、进行思维训练课干涉应用题解题；三、在教学中应用题教学中要注重语言转换和呈现方式的转换。研究表明解题策略训练一定会促进学生应用题水平的提高。帮助学生克服应用题解题的心理障碍，增强学生学习的自信心、自豪感。
关键词:元认知；解题策略；数学应用题Abstract
Mathematicsisthebridgebetweenmathematical)heoryandtherealmathematics,playamoreandmoreimportantroleinimplementingmathematicsqualityeducation.Mathematicsapplicationproblemhasveryimportantmeaningwhetherinpracticeorintheory.Cultivatingthestudents"abilityofapplyingmathematicstosolvetheproblem,isoneoftheimportantaimsofmathematicsteaching.
presenttheapplicationtopicteachinghardfacts,on"howtoimprovemiddleschoolstudents"mathematicsapplicationproblemsolvinglevel"isstudied.Thispaperstudiesfromthefollowingthreeaspects:first,throughthedesignofthequestionnairesurvey,motivation,interestinstudents"mathematicsapplicationproblem.Second,bythedesignofthetest,conductedasurveyofstudentsthinkingintheprocessofapplicationsolutions.Presentsituationofproblem-solvingdisorderreportedstudentssolvemathproblems.Accordingtotheanalysisofsolvingmathematicsapplicationproblemsolvingdisordersofjuniormiddleschoolstudents,theauthorsummedupthejuniorhighschoolstudentsmathematicsapplicationproblem-solvingabilitystrategy.Thirdtheauthorinteaching,design,practice"teachingproblemsolvingstrategytraining",throughtheanalysisofthestudents"posttestandcase,thatproblemsolvingstrategytrainingcanimproveproblemsolvinglevel.
Experimentalreportdatashows,withtheeffectivenessofstrategytrainingontheproblem-solvinglevel.Accordingtothecharacteristicsofjuniorhighschoolstudents"study,summedupthethreejuniorhighschoolstudentsmathematicsapplicationproblem-solvingabilitystrategy.One,intheapplicationtopicteachingshouldpayattentiontostrengtheningthemetacognitiveregulation;two,thinkingtrainingcourseinterferenceproblemsolving;three,applicationtopicteachingshouldpayattentiontothelanguagetransformationandpresentationintheteaching.Theauthorbelievesthatthestrategytrainingwillpromotethelevelofthestudentsimprovedapplicationproblems.Tohelpstudentsovercomethepsychologicalobstaclesinsolvingapplicationproblems,enhancestudentsself-confidence,senseofpride.
Keywords:Meta-cognition,Problemsolvingstrategies,Mathwordproblems第一章绪论1.1问题的提出
1．数学应用题在中学数学中的地位
数学知识的学习，可以帮助学生提升理性分析能力与逻辑思维的数学修养。没有数学这门学科作为基石，我们将缺失认识世界的能力和基本工具。
初中数学课程标准提到：—数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具,能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础‖[1]。数学学科来自于实践又广泛应用于是实践，在提高国民素质中起着重要作用，数学应用教育，更是培养学生创新能力和和实践能力不可缺少的。1980年4月美国数学教师协会在《关于行动的议程》中指出—必须把问题解决作为中学数学的核心‖—学习数学的主要目的在于解决实际生产生活中的问题，是把学到的知识运用到新的和不熟悉的情景中去的过程[2]数学应用题无论在教学实践还是在理论研究中都具有十分重要的意义‖。
2．掌握好应用题是数学教学—课标‖的要求
数学可以培养、提升人的推理能力、抽象能力，并且在想像力和创造力的养成方面有特殊的作用。数学的内容、思想、方法和语言组成了人类文化和文明的主要部分，对于社会的发展有着重要的意义。义务教育阶段的数学课程充分体现了教学的基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现[3]：
—--人人学有价值的数学；--人人都能获得必需的数学；
--不同的人在数学上得到不同的发展‖。
"数与代数""空间与图形""统计与概率""实践与综合应用"四个领域的学习，符合《初中数学课程标准》的要求。是课程学习的主要内容，加强学生的数学学习能力和增加数学活动，是发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力的有效方法。尤其是"实践与综合应用"不仅提高学生综合运用已有的知识，还可以丰富学生对于学习方法、解题策略经验积累。学生在学习的过程中，通过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，使学生解决问题的能力得以发展，加深对"数与代数""空间与图形""统计与概率"内容的理解，体会各部分内容之间的联系。
本文研究的问题是：当前初中生解决数学应用题的能力欠缺，导致了成绩难以提高，数学解题的思维受到阻碍。针对这一问题的解决，笔者在教学中，经过探索、实验、制定了初中生数学应用题解题水平的研究，并想通过研究报告，得出有效性方法改善学习应用题的现状。
1.2研究的目的
我们学数学的重要目的之一就是运用数学知识解决现实中的实际问题。从学生解答应用题的能力的培养上来看，其基本内容是使学生能够运用所学数学知识解决实际问题。应用题反映了周围环境中常见的数量关系，需要用不同的数学知识把实际生活和一些简单的科学知识联系起来，从而使学生既了解数学的实际应用，又初步培养了运用所学的数学知识解决实际问题的能力。此外，应用题教学有利于培养学生学数学的兴趣，有利于促进学生对数学的热爱，数学就存在于我们每个人的身边，数学应用有利于发展学生的逻辑思维能力，分析问题的能力。所以，对于数学应用题的研究，是科学发展的需要，也是优化教学途径要求的。
我国1978年的教学大纲就已提出:—培养学生运用数学知识分析和解决问题的能力‖这一目标。在201*年，教育部实行课程改革，并颁布《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》(简称《课标》)。《课标》对解决问题的总体目标是:—初步学会由现实生活问题出发，将问题现实问题转化为数学问题，通过解数学问题再转回到现实生活问题，从而做到现实生活问题数学知识现实生活问题的转换，最终达到现实与数学的成功结合与转换。学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。初步形成评价与反思的意识。[4]‖为什么如此重视数学的应用呢?数学知识是人类从社会实践活动发展形成的，数学发展的目的之一是要服务于现实需要。因此，由生活实际问题数学实际应用问题，这种模式说明了，人们对数学的认识很大程度上是通过社会实践活动而产生，并在社会实践活动中使这种认识得到升华。
无论课程怎样改革，数学应用题在教学中有着不可替代的重要地位。在教师的课堂教学工作中碰到问题与困难是难免的。那么，如何攻克—应用题‖这一难题?有怎样的策略可以解决呢？要怎样做才能使得学生们热爱学习初中数学应用题呢?为了让学生用数学知识解决生产、生活中遇到的的实际问题，从而培养学生们解决问题的能力又怎样好的方法呢？数学教材的设计在这一方面，除了关注学生在数学知识和能力方面得以提高之外，还关注传承数学文化方面的工作。比如，结合方程或者不等式的内容解应用题时，要对方程或者不等式的内容进一步挖掘其文化内涵，使学生受到数学文化的熏陶。
本研究结合笔者在克拉玛依市第七中学的教学情况，针对目前应用题教学难的问题，通过查阅国内外文献等相关资料，提出了怎样提高初中生数学应用题解题水平的策略。笔者在实验研究之前，制定了解题策略训练的时间计划表、策略训练14课时的导学案、策略训练所需要的试卷3份（用于前、中、后三个实验时间段对策略训练有效性进行测试）。实验报告的数据显示，策略训练对解题水平提高具有实效性。解题策略训练即可以促进应用题水平的提高，同时也提高学生的数学应用意识，并为初中生的数学学习打下扎实的基础。
1.3研究的意义1．经过搜集、整理近6年疆内外部分中考试卷发现，应用题渐渐形成以我们的生产、生活等实际问题为发展方向，这种命题风格也是应用题在未来的发展趋势所在。应用题作为解决实际问题的重要工具，成为数学教学的目的之一。培养用理论知识解决现实应用问题的能力，不仅会提高学生分析问题的阶梯能力，还会使学生思维得到良好的锻炼。在初中数学课堂教学中，应用题不仅起到提高学生数学水平的作用，也能够通过出题思路和丰富多彩的题目内容，提高学生对数学的学习兴趣，更能够将数学知识与现实生活紧密的联系起来，提高学生分析并解决实际问题的能力，缩短了学生与数学之间的距离，让数学从课堂走出来，进入到学生的生活，使数学这种基本工具，在解决实际问题拥有绝对的优势地位。
其次，应用题将多个知识点整合在一起，让学生在解题的过程中加强对以往所学的知识的利用，得出最合理的解题思路、方法。同时加深了多个数学知识点之间的联系，使学生能够熟练的对知识点（如公式、定理、规律、解题模式识别等）的综合运用。以此为基础，灵活地出题、解题中使学生处于在思考的过程，使得学生学会了需要掌握的知识，更学会了正确的学习方法。在解决数学应用题的过程中，有利于发散学生的思维，培养学生的创造能力、创新精神，而且，可以让学生感受到数学的趣味性。
总之，在初中数学课堂教学中，要使得学生逻辑思维能力和分析问题的技巧有所提高，要使得学生自主解决问题的能力得到培养提升，要使得学生形成从不同角度认识问题的习惯，有赖于在教材中、教学中加大对应用题的重视力度，
2．笔者写本论文的思想是，在教学中不断对学生加强元认知意识的渗透，从两个方面去做：一是教师提高元认知意识；二是注重对学生进行元认知意识的培养。实验方法上，依据梅耶(Mayer)的解应用题思维过程的四阶段理论并结合波利亚解题表思想。借鉴模式识别策略等前人的研究基础，具体操作上首先是通过实验进行设计《应用题解题思维策略的训练》共计14课时，再在教学中实验、实践。在训练结束并得到结论之后，笔者将运用强化过的解题策略知识，并在遵循遗忘曲线的基础上，在以后的教学中以每天一练（8到10分钟不同类型的应用题）一学期，并适当给予学生物质或精神上的奖励，增强学生自信心、自豪感。使得笔者所带的班级学生迅速适应，并能掌握初中八年级阶段的基本应用题题型及解题的思维模式，在帮助学生克服应用题心理障碍方面取得较好的效果。同时不断的设计更多的丰富多采的实际问题，加强引导学生从身边的问题研究，主动搜集—现实的、有意义的、富于挑战的‖问题作为学习材料，并且更多的进行数学活动和互相交流，在主动学习、探究学习的过程中获得知识，培养能力。第二章文献综述
2.1数学应用题解题策略在国内外的研究现状
经过查阅期刊、教学论文、教学杂志等方式，进行搜集、整理。可将关于—数学应用题解题策略在国内外的研究‖现状，梳理如下：
1．问题的表征策略
国外研究：著名的数学数学家波利亚在《怎样解题》[5]一书中，通过—怎样解题表‖，说明了解题的四个阶段，即—弄清问题‖—制定计划‖—实现计划‖和—回顾‖。四个阶段主要是：弄清问题，解题要了解未知数是什么、已知数是什么、已知条件是什么、利用各种不同的表征方式等等；制定计划，利用重新叙述题目的方式、回到定义或者参考之前类似的题目的解法等方法制定计划，不仅要实现求解计划，而且要检验每一个步骤；回顾，检验论证并找出别的方法。波利亚希望通过普遍性和一般性的问题帮助教师进行解题的数学，并让学生把问题变成自己的思维习惯，从而成为一个独立的解题者。Hayes[6]则提出了六阶段策略:辨明问题、表征问题、计划解答过程、执行计划、评价计划、评价解题过程。
国内研究：在国内，教师在应用题的教学上投入了很多时间和精力，但收效不明显。应用题在思维过程中具有抽象性，要经过以下几个步骤：即阅读问题、分析问题、假设问题、计算、和检查计算的结果，看是否符合题意。关于数学应用题的分类及教学功能[7]，汪国华等人按照数学应用题本质不同并将其分为全真应用题、仿真应用题、伪真应用题。一、全真应用题指来自学生能直接接触到的没有经过人为改造的各类数学问题。它的特征是不经过任何人为加工改造。二、仿真应用题指的是来自实际生活或着是具备实际背景，但却是学生很难甚至不可能直接接触到的或经过改造与精心设计的一类数学问题。三、伪真应用题是指不是来自学生的实际生活且不具备实际应用背景的一类数学问题，带有人为设计的色彩。汪国华认为这三类应用题具有不同的教学功能，第一，全真应用题用来作为培养学生的数学应用意识最佳;第二，仿真应用题在培养学生的数学应用意识方面不太明显，但用来培养学生的数学应用能力比较适合;第三，伪真应用题可以用来训练学生的解题技巧。作者主张抑制伪数学应用题的教学，提倡采用全真应用题和仿真应用题进行应用题教学是当务之急。认知模式解应用题[8]，施铁如认为对—问题辨认的正确与否‖，对—使用的方法合适与否‖具有指引、导向的作用，并决定了—解题结果的正确与否‖。在辨认的过程只有去除无关的语义信息，抓住关键的量的关系，抓住关键的结构，才会认准所要解决问题的模式。通过变式训练可以达到对这种辨认能力的提高。
2．模式的识别策略
国外研究：—模式识别过程就是感觉信息与长时记忆中的项目有着最佳匹配的过程‖。在认知心理学领域已经提出了模板说、原型说和特征说等知觉模式识别理论模型[9]。塞蒙曾提出，—通过专门训练被试如何去再认的能力，有可能促进他解决课题。[10]‖在数学应用题解题中，对应用题进行归类、模式识别实验发现，当学生在头脑中具有应用题问题的许多模式，如工程问题、概率问题、路程问题、盈利问题、浓度问题等，那么这种模式的识别，在数学应用题解题的表征过程中有着至关重要的作用。
国内研究：我国研究者施铁如认为[11]—学生要正确解题，总是要认出某种熟悉的东西（即模式）‖、—问题解决的实质就是模式的识别‖；施铁如通过对初一年级两组学生的对比研究发现，在解数学应用题中，能否识别应用题的类型是认知模式主要表现形式，能否正确辨认问题的模式决定了被试能否顺利解决问题。在初中数学应用题的日常教学中进行识别类型的训练，有利于学生解题技能的形成、解题技巧的提高，进行模式识别策略训练要通过—选择有多种变式的习题加以练习‖来实现。
3．认知结构及图式策略
国外研究：—认知图式‖是瑞士心理学家皮亚杰提出的认知发展理论的一个核心概念[12]。皮亚杰用图式来对认知结构进行描述。西门.菲沙大学教育学院基兰.伊根教授[13]，对学校学习的数学知识定义了两个概念，即方法性知识和结构性知识。并通过研究指出：在解答应用题时，学生容易建立方法性的认知图式，而难于构建结构性的认知图式。
国内研究：对于解答应用题的认知加工和认知图式研究，刘广珠[14]就学生解决分数应用题的情形进行了实验，结果发现，学生解决分数应用题分为：算式表征、计算策略和内部认知图式。依据实验结果，还得出良好的认知结构在解应用题中体现在三个方面：第一方面，在新的学习任务中，适当的建立能起固定作用的认知结构是学生必须的；第二方面，当用已有知识同化新知识的时候，对于新旧观念的练习与区别要能清楚的分开；第三方面，已有的能起固定作用的观念在学习者认知结构中始终是不变的。
4．样例教学与图式形成策略国外研究：澳大利亚心理学家John.Swelter[15]认为，学生能够成功的解决应用题，主要是学生具有自动化的、相互联系的知识基础，也就是图式的基础。关于如何促进学生掌握图式，Swelter指出传统的先由教师讲个例题，然后由学生做大量的习题的教学模式是效果较差的，学生的注意力集中在已知条件、未知条件、当前问题的状态上，正因为如此他提出样例学习法，即用解答好的例题，来帮助学生形成图式。
国内研究：朱新明和SimonC[16]的教学实验证明，通过使用细致设计和排序的数学样例,使按传统方法需要三年才能学完的数学课程,通过样例学习的方式,在两年内学完,而且没有表现出学习上有什么缺陷。20世纪80年代以来，样例学习引起了研究者的广泛关注，且在实践中了报告了较好的效果。
5．元认知分析策略
元认知这一术语最早由美国心理学家于弗拉维尔1979年正式提出。元认知是指个体对自己认知过程的自我觉察、自我评价、自我调节。元认知训练有助于开发学生智力，调动学生的主动性、自觉性，提高学生解决问题的能力。
国外研究：Alan和Hennie的实验表明，元认知训练能提高学生的思维技巧[17]。Vimi和Philip的一项实验表明，学生的元认知能力越强，成绩越好[18]。为此，研究者们对元认知训练进行了许多研究，它至少有四种训练方式，下而结合一些典型的实验来加以说明:(1)他人提问训练法;[19](2);语化训练方法[20](3)自我提问训练法;[21](4)先行组织者运用法[22]。
国内研究：张庆林等人[2324]对小学生表征应用题的元认知分析进行了实验研究，结果表明，学生在应用题的结构表征和语句表征上，元认知监控能力较低，但文字表征的监控能力高于结构表征的监控能力。从优、中、差生的比较说明，成绩越好，元认知监控和元认知控制的得分也越高，即元认知监控是优生经常使用的认知策略。
6．数学应用题解题思维训练策略
怎样培养和训练学生的思维能力？这个问题一直是国内外教育者最关心的重要问题。根据各种资料可以总结为两种培养、训练方式：一种是直接培养方式，即开设思维课；另一种是间接培养方式，即把发展学生思维能力贯穿于各科的知识传授过程中。开设思维课程，通过笔者搜集资料发现，直接培养的方式，具有一定的实效性，短期内有效果，但要大面积促进学生学习，提高学业成绩，还有赖于将思维训练长期化。以达到更好的效果。第一种，例如：德波诺的《柯尔特思维教程》[25]最为著名，它由六个部分组成，每个部分又分为十课，共六十课。《柯尔特思维教程》的每一部分都有一个明确的思维技能训练目的，并且每一课都是通过一个专门设计的课题，让学生分组练习，掌握一种具体、可操作的思维工具。在这六个部分中，—第一个部分是全部课程的基础，其它五个部分可以按作者提出的顺序教，也可以根据不同的教学目标，经教师重组后，组合教练。科文顿的创新性思维教程等也是这类课程。
另一种是结合应用题教学，开展有关解题思维策略的训练。现代认知心理学家通常将解题的思维过程分成阶段，并且提出各阶段的思维策略。例如，梅耶(Mayer)的解应用题思维过程的四阶段理论，如：梅耶[26]理论中指出，解答应用题的思维过程可以分为四个阶段:表征问题、问题综合、制定和调整解答计划、执行解答计划；Mayer将应用题的解决过程分为四个基本过程，即转化过程、了解过程、计划过程、执行过程。
2.2国内外应用题解题策略研究的不足
虽然国内外对数学应用题在解题方法、策略上的研究取得了众多的结论，并且在研究的数据上日趋精密，但根据笔者通过对资料的整理发现，应用题解题策略的研究都是仅仅针对某一方面进行的不够系统的研究。是什么造成的呢？是由于研究缺乏系统性造成的，从两方面分析：一方面不同时期、不同层次水平的研究者选取的被试者、题目类型、研究手段不相同；另一方面，研究者由于工作的种种因素，使得研究缺乏系统性，没有持久性。国外诸多的研究者对—应用题教学‖的研究不仅表现在一般解法和策略上，同时也非常注重对解题过程的研究。由于收集文献所限，还不了解国外对初中应用题教学的近期研究情况
第三章相关概念界定和理论依据3.1数学应用题1．数学应用题的概念
应用题是指：—用简单或复杂的语言和文字描述相关事实，阐述某些数量之间的联系，并通过审设列解验答六步骤求解除某些未知量的题目。应用题都有已知条件和所求问题。数学的应用题具备以下三个要求：1)条件之间、条件和问题之间不能相互矛盾；2)给出的条件必须充分，一定要能从已知条件求出未知的量；3)已知条件之间没有任何的联系，不能互相制约和互相推出彼此。[27]从数学问题出现的形式来看，应用题有狭义和广义之分。我们将在题目中明显地表现出来，比如用命题的形式加以表述，包括证明类问题、求解类问题等的这一类数学问题称之为狭义的数学问题。在数量关系和空间形式中出现的困难和矛盾称之为广义的数学问题。
从数学问题得出题方式及意图来看，将数学问题分为纯数学问题和实际问题。先从两者的意义来谈谈：一、纯数学问题是有关数学对象和方法的，脱离了实际背景，由简明而又抽象的数学语言来表述；二、实际问题是人们在实际生活中所遇到的问题。在现实生活中，我们会遇到概率、工程、路程、利润、促销等一系列的实际问题，它们看似复杂，当我们对其进行简化后可以转化为纯数学问题来求解，那么它就叫做数学应用题。那么数学应用题与纯数学问题有那些联系、区别呢？从两个角度谈谈：一、数学应用题与纯数学问题同时来源于实际生活，同属于数学问题，都需要运用数学理论、数学思想和数学方法来解决；二、纯数学问题的抽象脱离了实际背景，彻底由数学语言和符号来表示，使学生比较直观的理解题目。数学应用题只是把实际问题的复杂背景和复杂条件进行简化，并且以一种具有数学意义的实际文字来表述，易于理解。
2．数学应用题的分类
初中数学应用题常见题型主要涉及有:概率应用题、方程应用题、不等式应用题、函数类应用题（初中包括了一次函数、反比例函数、二次函数）、统计应用题、几何应用题等。通过笔者整理，查阅中考试题，发现近年来的应用题，以上各种题型都有出现。
3.2研究的相关理论基础1．元认知理论
弗拉维尔及其他研究者提出关于元认知的研究。通俗的说就是关于认知的认知，以人的认知操作的各方面作为研究的对象，对人的认知操作具有监视、控制、调节的作用，人对自己认知活动的自我意识和自我调节是元认知的实质。
在教学的实践中，对于学生智力的开发，学生思维能力和问题解决能力的培养，起着重要的作用，处于较高地位。统摄作用在人的思维活动中占据着重要的位置。思维活动的核心就是统摄作用，它体现了元认知的主体地位，是判断一个人发展成熟与否的标准。[28]元认知包括元认知知识、元认知体验和元认知监控三个组成部分，它们是相互联系、密不可分的，它们之间的关系探讨如下：[29]元认知知识主要包括:有关认知主体方面的知识，有关认知材料、认知任务方面的知识，有关认知策略方面的知识。认知的知识就是元认知的实质，就是人们对于什么因素影响人的一种认知活动过程以及结果。
元认知体验就是在认知的过程中的一种认知体验或情感体验。例如甲同学在考前准备比较充分，在情绪上表现为：稳定和轻松，而考试中出现了某道难度较大的题，无法解决时，甲同学可通过自我心里的调节，保持良好的心态，从容面对，不影响其他题目的解答。元认知的体验对知识表现为两方面：一方面是知的体验，另一方面是不知的体验；在内容上一方面可简单化，另一方面也可复杂化，在经历时间上，一方面时间可长，另一方面也可短，可能发生在认知活动持续期间，也可能发生在认知活动以前或以后。
在数学应用题的解题过程中，学习的主体学生，进行对问题认知活动时，元认知的监控功能，可以在学生的潜意识里指挥着学生，对解题过程中分析题目、制定计划、选择解题方法等方面进行积极的、自觉的监控和调节。学生一旦对自己的认知过程中，进行了及时的反馈、及时的修正、及时的调整。就会构思出有高度、有水平的解决方案。
综上，元认知对数学应用题解题能力有着不可忽视的作用，数学问题的解决的过程是创造性思维的过程，要使得学习的主体形成正确的解题思维方式，倚赖于发挥数学元认知方面的的统摄性作用、调节性作用和监控性作用[30]。
(1)数学元认知知识的统摄作用
数学元认知结构中的元认知知识主要由两部分组成：一是指程序性知识、情境性知识、评价性知识在内的数学经验性知识；二是指数学核心思想、数学思维模式、策略性知识在内的数学前提性知识。其统摄作用表现为以下几点:
第一点，程序性知识具有控制作用
程序性知识是指如何运用数学技能的知识，在这里数学技能分为外部操作技能与内部心智技能。而这种程序性知识，对解题活动起着控制作用。
第二点，情境性知识具有引导和支持作用情境性知识，就是条件性知识，即:在什么条件和背景下运用该数学方法或数学知识的知识。情境性知识一方面表现为引领解题方向，另一方面表现为活化思维活动。在它的引导和支持下，解题者能自觉地用组合式、构造法去发现问题中的隐蔽关系，突破思维障碍。
第三点，数学核心思想具有调控作用
数学核心思想是指，对数学本质的认识的基本数学思想和数学观念。在这里，—符号化与变元表示思想、集合思想、公理化思想、结构思想‖是基本的数学思想。数学观念是基本数学思想内化的表现，—化归意识、推理意识、整体意识和抽象意识等‖是数学的观念。在数学问题解决中，如果有数学核心思想来调控数学方法，则可以超越特定的环境、可以变化情景以适应模式、可以变化模式以适应情景。
第四点，数学思维模式具有规范作用
数学思维模式是对解题思维过程所作的程序化概括，依据波利亚—从例题到模式‖的分析，数学思维模式的形成要经过原型、分化、类比、抽象、检验、概括等过程。数学思维是一种用数学方法解决问题的思维习惯，首先一点：任何人都不是天生就具有这种良好的思维习惯，都是靠后天努力的。要想形成这种良好的数学思维，就必须有良好的学习习惯，同时数学是要靠积累的，只有平时大量练习，巩固，总结，才会逐渐形成对题目的直觉（题感），这种感觉往往是迅速解题的根源。对于新题，有的人很快通过分析并解出来，有的人却很难解出来就是这个原因，尽管所学知识相同。当然这种思维形成时间的长短要依据各种因素：平时注重积累，个人的智力水平，巩固总结是否常态化等等
第五点，策略性知识具有启发作用
策略性知识是如何使问题解决效果更好的知识，解题策略的作用就在于缩短解决问题的时间，提高解决问题的效率，影响问题解决的主要因素有以下三个方面:一是问题情境因素;二是学习者个人特征;三是认知策略。策略性知识的掌握需要经历三个阶段：一是了解表征阶段，在这个阶段，策略性知识以陈述性的形式被学生学习，学生首先需要理解有关概念、规则、事实和解决数学问题的步骤等，并纳入到个体的知识结构中。二是知识转化阶段。这一阶段通过多次应用已学过的知识，使策略的陈述形式向策略的程序形式转化。三是策略熟练应用阶段。策略性知识完全支配人的学习活动，可以达到自动化的水平。这说明，—策略‖在开始阶段也具有外在的形态，经由内化过程而形成个体的策略性知识结构。这就是策略性知识具有的启发作用。(2）数学元认知体验的调节作用
数学应用题解决中的元认知体验，主要包括伴随主体活动的自觉意识或情感验，其调节作用主要反映在以下方面:
第一方面，我们在数学问题的解决过程中，经常感觉到的一种元认知体验就是怀疑感，就是一种提出疑问的情绪体验，这种认知体验是许多问题的突破和数学新思想的诞生的源头，激活数学认知结构，选择合适的解题策略。这就是元认知体验中的激活策略。
第二方面，数学问题解决的元认知知识体验贯穿在问题解决过程的每个阶段，对每一阶段都要求主体事前有计划，事后有评价，通过自我教育丰富自己的数学元认知知识，促进其智力的发展。这就需要我们在解题中改组数学元认知知识。
第三方面，研究表明，从问题的提出到问题的解决，其间会有许多失误与失败，这些挫折、困难、失误与失败会在解题者心理上表现出相应的元认知体验。这一点说明数学问题的解决是一个创造性思维过程。它可以促使主体对原有的构想和目标进行修正或重新确立，制订切实可行的解题计划和目标结构。
(3)数学元认知的监控作用
数学元认知的监控作用是通过数学元认知的知识和体验的相互作用来实现。在解题中，解题者的显性与隐性思维的思维相互使用是围绕目标而进行的，记忆的探索、假设的提出也是围绕着目标而展开的，因此数学问题解决的心理活动总是由学习主体的元认知意识控制着，被解题的目标支配着。元认知监控主要有三个方面的作用和功能。在解题过程中，这三个方面的知识是相互影响的，共同促进学生的成功解题。
第一方面，定向作用
定向就是当学生能够对问题解决中的思维方向进行监控，也就是对课题的性质与难度、待证命题的正确性、思维指向的恰当与否作出估计与评价。解决问题之前，必须先理解它、解释它，通过对它进行定向，来理解题意，要做到这几点。首先要从整体着手，再把问题分解为多个部分，最后把各个部分的属性联系起来，这个过程就是分析综合过程。
第二方面，控制作用
控制即对问题解决进程进行监控。对思维进程不断地进行自我激励，自我评价。思维进程的控制表现为对正确的思维活动要给予激励；对思维活动中的错误要及时觉察、纠正和弥补。如：对问题的整个过程进行综合分析，进一步认识题目基本结构、属性和特征；通过综合，完整地、全面地认识题目中的联系和规则，整体把握条件和目标的关系。考虑已知条件、未知条件，假设结论，
必要时可以对问题重新进行描述，使其变成学习者熟悉的问题，从而更接近目标，在解题时尽可能—绘制一张图‖、尽可能—列一个表格‖、—引入适当的符号‖、—回到定义去‖，正是这种调节作用，才使思维活动成为一种有整体观念、有目的、有控制的组织活动。
第三方面，调节作用
调节就是指对思维活动进行监控的方法。当学生遇到数学实际问题时，该怎样着手、怎样计划、怎样思考、如何筛选模式、怎样整合已知条件、怎样预测解题等制定做题规划。因为解题思路的产生往往从直觉开始，题目信息对学习者的刺激促使其使用已有知识、经验再现，并使其对解题思路作大胆的设想、猜测。这一点要求学生在学习过程中，要善于对问题中的每一个信息点做出准确的判断和分析，调动已有的知识、解题模式储备，选择恰当的解决问题的策略，控制自己的思维方向。波利亚解题表中，波利亚是围绕—怎样解题‖、—怎样学会解题‖来开展数学研究的，这表明其对—问题解决‖启发式、诱导式的突出强调。在解题训练中，笔者带动和学生一起用波利亚解题表的思考方式、提问方式接近问题的答案。[31]
第四章初中生解决数学应用题的现状研究
培养学生分析问题和解决问题的重要手段就是应用题教学。运用所学数学知识解决实际问题的基本内容和重要途径就是培养学生解答应用题的能力。从近几年的中考题也可以看出，考试中的应用题在取材上相较于以前更加广泛，题目的背景也更加贴近学生的实际生活，这些变化给我们的教师在应用题教学上又提出了更高的要求.这就要求教育者首先清楚学生解决应用题的现状。因此，笔者设计了系列调查问卷来研究这个问题。具体如下：
4.1调查的目的、对象、方法1．调查目的
由于各种因素的影响，目前我们的学生在应用题解题能力上却存在着很多的问题，这些问题的存在不但影响着学生的考试成绩，更影响着学生数学综合应用能力的提高。为了考察、分析、探索当前初中生在数学应用题方面的学习动机、学习兴趣、学习方法，笔者设计了本套调查问卷。并以教学现状的自我评价和学生学习方法的不足作为着手点进行研究。对学习中存在问题的因素分析加以整理、提取，进一步探索中学数学应用题的学习策略。
2．调查对象
普通中学(克拉玛依市第七中学)初中八年级学生共计450名和数学教师24名。3．调查方法(1）问卷法
本文的问卷采用两种形式：第一种形式采用封闭式问卷，调查学生数学应用题的学习动机、学习兴趣、学习方法。学生必须从所提供的选项中选出一项；问卷的第二部分采用测试卷的形式进行测试，可以深入了解学生在解题中的思维状况和解题能力。
(2)访谈法[32]
本文在研究中，通过问卷和测试卷反映的情况，选择出有典型代表的个别学生进行访谈，进而了解学生在解应用题方面存在哪些问题。
4.2调查过程1．编制问卷[33]
笔者在确定研究主题后，通过查阅书籍、期刊、上网等方式搜集资料，并对国内外相关研究资料和成果进行梳理。为编制调查问卷做好了充分的准备工作。问卷中涉及了初中生数学学习动机、数学应用题学习动机、兴趣、方法四个方面的问卷，以便于更好地了解学生的学习心理及兴趣等。问卷中的测试题都是学生可以用已有知识来解答。前测和后侧的测试题，是以八年级以及八年级以前所掌握的知识点来命题的。在题目的选择上，笔者是两个角度来考虑的：一个角度是题目要能反映出笔者想要测试内容的目的性；另一个角度考虑的主要是想让被试者经历从易到难的一个过程，不让学生或者少让学生在测试时产生抵触情绪而不认真，导致测试卷失去有效性、真实性。
2．实施过程
第一部分针对学习数学的动机以及应用题的兴趣、动机、方法四个方面通过问卷调查进行了解。从多个角度了解学生的真实想法。对数学教师采用问卷调查及访谈，问卷中一部分题目与学生相仿，以便比较；一部分题目侧重了解应用题教学情况。第二部分为—数学应用测试题‖，共5题，主要选取工程题、行程题、浓度题、函数题。设计有简单题、中等难度题和难题。为了了解在解答数学应用题过程中的思维方式，本研究要求被试者按照阅读、分析、假设、计算、检查5个步骤去解答应用题，并在解答完后，报告自己的思维过程。
对第二部分预测成绩的计分方法：
每读完一道题，需要对题目的难度和自己的解答先做预测。A：容易，可以解决B：难，不能解决
每做完一道题，需要对正确性进行预测。A）完全正确B）错误的
评分标准：根据学生的选择和实际的解答情况进行评定。若预测和实际结果完全相符，记2分，若预测和实际结果完全不相符，记1分。
4.3调查结果与分析
4.3.1—数学应用题‖学习动机和学习兴趣的分析
根据以上的调查，客观地反映出初中生在本阶段具有的特征和存在的问题。下文就从—中学生数学思维特征‖和—问卷调查数据分析‖两个方面来探讨：
(1)中学生的数学思维的特征分析
正处于急速生长发育期的中学生，由于年龄特征决定他们具有思维的敏锐性、不成熟性、可训练性。1）敏锐性第一、记忆力强
少年进入初中后伴随着大脑皮层飞速发育，学生思维发育的高峰时期到来了，记忆力也特别强。大量的信息的记忆仅需要他们较短的时间，并可以持久保持。即使暂时失去了对某些信息的记忆，在很快的时间里很容易恢复，甚至成为永久记忆。这对教师的教学有很大的好处，对学生思维的形成也极为有益。
第二、反应速度快在数学应用题中，思维敏捷这方面表现为学生从外界提取信息，并处理信息的速度快，学生对基础知识和能力建构的本领，也在此决定了。
第三、思维的角度新
在教师的教学中，经常在对问题进行分析、讨论时，能够发现学生往往与教师以不同的角度分析问题时，取得较好的效果。中学生在考虑问题时，受到所谓—经验‖模式影响小，体现在中学生的思维具有发散性。这是由中学生的年龄和心理特征决定的，能考虑到老师没考虑到的细节，他们的思维是发散的，也就能够发现很多别人没有发现的东西，因此老师要因势利导、循循善诱，学生才能不断的积累经验、才能提升自己的思维层次，不固化思想。
2）思维的不成熟性
中学生年龄小、阅历不丰富且知识面狭窄，心理机制发育还不完善决定了他们思维的不成熟性。比如在遇到问题时，审题出现误解时，不能及时发现且没有较强的检查意识。当然，这一点可通过多做题、多积累经验来缓解这一现象。
第一、思维的发散性
思维的发散性，从实验及问卷调查的分析可发现，学生思维具有无目的性。无目的的思维即思维混乱，遇到问题不知道怎么解决，只有学生通过大量的思考、分析才能得出正确的解决问题的方法。
第二、思维层次不高
在教学中，教师发现对于公式、定理学生都能记住，也可反复演练一些难度不大的课堂练习，可是一旦碰到难度大，综合性强的题目时，学生感到很茫然以至于找不到着手点，这说明学生的思维层次不高，这一点将成为教师在教学中以及学生在学习中要解决的问题。
第三、思维的片面和不系统性
在教学中，知识点环环相扣。横向知识与纵向知识交织成一个系统性强的知识体系。在教与学的过程，教材将知识体系分成不同的章节、不同的学习时间段进行分步学习。
也导致了学生对所学知识不能从全局进行把握，失去了系统性、全面性。学生对所学知识的不系统性、不全面，使得学生在解题时对已学知识的熟练程度不同以及知识盲点也止一个。
3）数学思维的可训练性数学思维是与事物的模型和具体形象相互联系、相互影响的。学生的认识结构、已有的经验和非智力因素对数学思维状况的影响是交互作用的。所以，数学思维必须依赖于数学教学来实现。
第一、学生的认识结构
认识结构说的是学生对数学知识的认识，包括对概念、规律、定理、公式等的记忆状况和学生大脑对数学知识的组织状况。学生在学习过程中及思考过程中，会灵活运用这些知识是数学教学是否达标的考核点。只有老师在教学中，把握全局，从整体出发进行教学，使学生掌握各种知识点和各中数学思想方法。
第二、已有的经验
数学问题解决包括大量的判断和分析活动，它要求常用的题方法、解题模式的运用能由被动变为主动，调动已有的知识、解题模式储备，选择恰当的解决问题的策略。数学问题解决也要求学生的实践经验随着知识面拓广不断丰富，思维状况更加合理、敏捷。
第三、非智力因素
非智力因素因素与先天条件有关，但也需要后天的训练、培养、教育。这指的是注意力，意志、态度、动机、情绪等。这些非智力因素，影响表现为学生学习应用题的积极性上。学习积极的学生，在学习中表现为认真、主动、顽强、投入的心理状态；不积极的学生在学习中常常表现为思考不积极、不善于动脑筋。思维有惰性，注意力不集中。
所以，要使中学生的数学思维得到深化，唯一的途径就是学习数学知识要有完整性。
通过实践的不断加强发现，教师在教学中的主导地位显得尤为重要。教师科学的引导，使学生的数学思维得到不断的发展和提高。
（2）问卷调查的结果数据分析
通过调查问卷，对数据进行收集、整理、描述。得出：近85%的中学生对—数学在解决日常间题时有用‖持肯定态度.对中学阶段学习—数学应用题‖的目的，65%的中学生认为是—今后工作、生活中需要‖，可以—增加知识面，提高解题能力‖。可见对—数学应用题‖的教学目的，仍有再认识的必要.对—解数学应用题的兴趣‖，仅有72%的初中生表示很有兴趣，38%的初中生表示不感兴趣。对—解其它数学题的兴趣‖，70%的初中生均表示感兴趣或比较感兴趣，说明学生对解数学—常规题‖与—应用题‖的兴趣程度有明显差异，应引起注意。调查中根据学生列举的对解1)对—数学应用题‖有兴趣或无兴趣的原因，可归纳如下:第一、应用题比较接近生活，对我是一种挑战。第二、数学应用题能锻炼人的思维和分析推理能力。
第三、应用题涉及面广，拓宽大脑的思考能力和判断能力，开发智力，实用性强。第四、数学使实际问题变得明确简单。
第五、对应用题接触太少，能力差，一做题就遇到困难，无法进入解题状态。第六、语文水平低，不愿读下去，勉强读完也读不懂.
第七、学过的概念、公式、方法到解应用题时用不上，找不到数学关系式。第八、厌恶计算的机械操作和繁琐步骤，欣赏数学的纯理论，抽象推理论证。4.3.2初中生解决数学应用题的障碍分析
从事中学数学教学实践以来，笔者看到一些相当努力的学生，在数学学习上花了许多时间与精力，却因为所谓的—慌张‖，把自己本来应该能做对的题目做错。遇到较复杂的题目就束手无策，缺乏想象力、缺乏变通能力，只会做自己熟悉的题，对题型的变式不善于解决。学习兴趣屡屡受挫。依据心理学的原理[34]可归结为以下几个方面:
（1）生活经验不足，是造成初中生解应用题难的原因之一；缺乏批判性思维。评价意识薄弱，遇到问题没有主见，不善于提出问题和发表不同的看法，更无评判自己提出的假设或解题方法是否合理的意识。
（2）阅读文字以及理解文字能力不足，造成初中生解应用题难。对已知条件、隐含条件的理解不够深刻，对数学方法认识肤浅，不能深入地钻研与思考问题。许多学生对教材的重点难点不甚清楚，对概念以及题目的理解不全面、不深刻，不善于挖掘概念之何的联系与区别。有的学生在对习题所给的已知条件和结论还没准确把握的情况下就匆忙下笔。
（3）对应用问题的分析方法和技巧有所欠缺。造成思维不够深刻、不够灵活。不少学生经常受思维定势束缚，没有养成从不同角度观察、分析问题的习惯，不能根据客观条件的变化，及时调整思维方向。
（4）解题中自我监控能力低，学习的主动积极性不高。有些学生认为听课即学习，听老师教授的课程以及完成老师布置的作业就能学会知识，完成任务就行了，至于对知识的是否掌握，作业是否正确，压根不管。反馈活动由老师一手包办，一切学习活动都已被安排好，学生缺少回顾和反思的机会。思维不开阔，缺乏敏捷性，不能多角度地思考问题，不善于发现数学问题中的已知和未知，找不出解决问题的多种方法，更谈不上把它推广到类似的问题上去。
（5）传统的教学模式中也暴露出几个问题：1）教师注重知识的传授和题目的解答，不够重视思维能力的培养；2）教学教材内容的单一也导致应用题训练力度不够大。数学问题意识比较薄弱。许多学生缺失提问的愿望，缺乏提出问题的策略，不善用自己的语言或相应的图形，提出有价值的数学问题。
总之，思维缺乏创造性，不能独立地发现问题、分析问题和解决问题，不善于联想及打破常规去思考问题，探索不出新命题等。致使学生在遇到问题时，无法提出问题和发表不同的看法，缺乏评判自己提出的假设或解题方法是否正确的意识。
第五章提高初中生解数学应用题水平的实验设计5.1实验目的、对象1．实验目的
学生的思维能力的培养，是教育工作者所关心的问题。怎样训练和培养学生的思维能力，可以总结为两种训练、培养方式:一种是直接培养，即开设思维课;另一种是间接培养，即把发展学生思维能力贯穿于各科教学的知识传授过程中。在总结国内外研究的基础，并在教学中实践波利亚解题表，笔者与同组另一名老师，提出了解决向题的三个阶段思维策略:第一表征问题、第二解答问题、第三思路总结。此基础上进一步编写了《应用题解题思维策略训练》。
本实验尝试运用该系列教程，设立实验班和对比班。采用对比研究的方法，对八年级学生进行教学试验，结合学科教学，探讨进行思维策略训练是否具有有效性，得出合理的、有效的结论。以提高学生解决实际应用问题的能力。
2．实验对象
普通中学(克拉玛依市第七中学)八年级学生共计400名和数学教师24名。被试选取克拉玛依市第七中学初二年级学生，根据学校老师对有关情况的介绍而选出各方面条件相近、成绩相当的两个班作为实验组和普通组(各由一名老师主讲)，共82名学生，男生44名，女生38名。实验开始前先对两组被试实施前测，根据前测成绩高低及任课老师对有关情况的反映将实验组划分为不同层次的学生:优等生17名(占42.5%)，中等生16名(占40.0%)，差等生9名(占22.5%);也将对比组划分为三种层次:优等生18名(占42.9%)，中等生15名(占35.7%)，差等生9名(占21.4%)。
5.2实验过程设计1．编制问卷
通过查阅书籍、期刊、上网等方式搜集资料。问卷第一部分5道应用题封闭式问卷（作为前测），第二部分5道应用题封闭式问卷（作为后测）。前测和后侧的测试题，是以八年级以及八年级以前所掌握的知识点来命题的。在题目的选择上，笔者是两个角度来考虑的：第一：题目要能反映出笔者想要测试内容的目的性；另一个角度考虑的主要是想让被试者经历从易到难的一个过程，不让学生或者少让学生在测试时产生抵触情绪而不认真，导致测试卷失去有效性、真实性。
2．实施过程
在教学中，笔者共运用自编十四课时《应用题解题思维策略训练》[35]对初二年级学生进行教学实验，共七条策略:对比组在相同时间内以不同次序讲授同样习题，不讲策略。实验组接受思维策略训练，由一名老师根据所编《训练》上课。对比组则由另一名老师运用传统教学方法在和实验组使用相同时间内讲授和实验组相同的习题，不讲思维策略，其他条件均与实验组相同。实验安排在初二年级第二学期期中考试之后进行，整个实验持续15天，共14课时，每课时45分钟。实验前、后各安排一次测验，由不参加实验的数学老师出题，鉴于区分度的考虑，后测题略难于前测题。评分时为充分体现思维训练效果，防止出现评分信度问题，不给步骤分，各题不是零分便是满分。
5.3调查结果分析
1．实验组与普通组前、后测成绩比较列表如下：表1-1
组别人数前测平均数前测方差后测平均数后测方差实验组4059.5721.24362908.20对比组4256.191033.1157.62936.25表1-2
学生层次人数N%前测平均数前测方差后测平均数后测方差优生1优生217(37.5)18（38.1）87.0687.70850.841092.8588.2487.78785.181002.37中生1中生216（40）15（35.7）5046.66190.25179.5852.548572.125412.85差生1差生27（17.5）9(21.4)11.118.892440.252336.1615.5513.332226.221845.12从表1-1、表1-2的数据显示：实验组与普通组的实验数据表明，
（1）优、中、差三个水平学生的两两比较，在解题策略训练之前，进行的测试成绩差异不显著。（2）从解题策略训练之后的测试成绩看，实验组与对比组之间，优、中、差学生层次水平之间均存在特别明显的差异。这充分证明思维策略训练对不同层次学生均有效果。
（3）对中、差生来说，解题策略训练效果特别显著。实验的效果从表中可以看出，在短时间内对八年级学生进行应用题解题思维策略的训练是能够提高学生的解题能力的，训练效果是明显的，策略是可行的。
从表2的数据可知：
（1）优生1的实验效应不及中、差生显著，主要原因是：
1）、优等生具备了良好的思维策略；解题过程中，表现的冷静、自信，善于突破定向思维，进行大胆猜测、创设有利于解题的情景；
2）、优等生在实验前，对于科学的思维方法已经有了一定的基础，促使学生在解题时更准确、更具有目的性的解决问题。
3）、优等生的头脑中已经保存了很多的图式模式，在解题时能迅速地筛选出各种所需要的模式来，促成解题的成功。这样不仅省时间，而且能提高准确率；
（2）中生1的实验效应显著，原因是在实验前中等生本身具有良好的数学基础知识，比如概念、规律、定理、公式的掌握，仅仅是在学习方法上、在思维策略上掌握的不够牢固。经过思维训练后，中等生能够较好地掌握所传授的策略，对于自然提高解题能力起了决定性作用。
（3）差生1的实验效应同样显著，并有力的证明了，对差生进行策略训练不仅有助于学生加深、巩固概念、理解定理、牢记公式等的运用，又教会学生怎样分析问题、怎样解题，通过思维训练，使差生从不会解题到学会解题，从不会思考问题到学会思考问题。2．实验研究中的个案分析
本研究是通过进行思维训练，并检验前后的测试成绩，进行数据采集、计算、对比来完成的。为了使笔者所得的结论更具有客观性，同时进一步讨论八年级学生的解应用题策略，笔者从实验对象的三个层次里随意抽取三名同学，让被试者进行口语报告，便于了解学生的思维过程。过程是这样进行的：前测之前，三名被试同时解同一道方程应用题。后测之前也让三名被试同时解同一道路程问题。
（1）前测个案分析被试者甲：
测试1：某文具公司销售A、B两种笔记本，去年共卖出12200本。今年A种笔记本的销售量比去年多6%，B种笔记本销售量比去年减少5%。两种笔记本的总销量增加50本。问去年两种笔记本各卖了多少本?出声的读题目。
1、要求A、B两种笔记本去年各卖了多少。可以用方程来解。2、己知去年卖的总数和A(今年)卖的(量)比去年多的百分数，B(今年)卖的(量)比去年少的百分数，而且知道总销量(的增加量)。哦，这里有一个相等关系。3、题目中增加的50本是A增加的量与B减少的量的差，可以设去年A卖出的笔记本为x(本)，那么今年增多的量就是6%x，B去年卖的笔记本为12200－x，去年的减少量就是〔1220－0x)乘以5%,50本是今年增多的(量)。4、可以列出等式：6%x－5%(12200－x)=50通过计算可得x=6000,则x是去年A卖出的笔记本，B就是12200－6000=6200本。5、我再看看对不对，总数……（考虑中），没错了。明确要解决的问题，将其转化为数学问题。分析条件与结论，提出中间问题，并注意到解决问题的关键。分析解决中间问题的条件，并试图为等量关系寻找—相等‖这一条件。轻松列出方程，计算。检验结果是否正确。
分析：优生甲在解题过程中表现出的审题的策略符合我们的训练内容。首先，甲在最短的时间分析出解题的目的，处理题目中已知条件与所求目标，以及所学过的知识之间的联系掌控的非常娴熟，并且能够深刻的理解题目；其次，甲对已知条件和所求结论之间的量的关系能够分析透彻，对已学数学知识的运用合理，对已知条件与中间条件建立正确的推导最终解决问题。从整个解题过程来看，甲生对解题过程有一种总体的掌控。每一步都显得细致、精准。做的挺棒的。
被试者乙：测试1：某文具公司销售A、B两种笔记本，去年共卖出12200本。今年A种笔记本的销售量比去年多6%，B种笔记本销售量比去年减少5%。两种笔记本的总销量增加50本。问去年两种笔记本各卖了多少本?出声的读题目
1、这一题要列方程解。先设A去年卖的笔记本数量为x本，那么今年卖的笔记本数量就是(l+6%)x本，B去年卖了多少呢……，噢，是12200－x（思考中…），总销量增加50本，总销量是指什么?（思考中…），B卖的比去年少5%，什么和什么相等呢？（思考中…）50本是怎么来的?应该是今年的(销售量)与去年的(销售量)之差，那还得知道B今年卖的(数量)要分开来算。B今年卖的是(12201－x)(1－5%)，A和B的今年卖的总量就是(1+6%)x+(12200－x)(1－5%)，50本就是今年A和B卖的(总数)跟去年(甲、乙鞋销售总量)的差，应该没错……2、可以列出等式：6%x5－%(12200－x)=50通过计算可得x=6000,则x是去年A卖出的笔记本，B就是12200－6000=6200本。分析已知条件，寻找建立等式的条件，分步骤完成。列式并计算
分析：被试乙相比被试甲的解题过程，可以看到二者虽然都知道解一元一次方程的关键是要找到一个等量关系，但分析过程却大不同。被试乙能发现50本笔记本是甲笔记本与乙笔记本增加的销售量和。但是对于已知条件中其他信息的获取，缺乏敏捷性、条理性。做题稍显忙乱。被试乙在分析已知条件时，方法是将每一个已知条件与所求问题比照着，一层一层地尝试解题。尽管被试乙最终也列出了正确的方程，得出正确结果，但整个过程显示出解题的不灵活性，比较僵化。缺乏检验结果是否正确意识。整个过程还不错，问题算解决了。
被试者丙：
测试1：某文具公司销售A、B两种笔记本，去年共卖出12200本。今年A种笔记本的销售量比去年多6%，B种笔记本销售量比去年减少5%。两种笔记本的总销量增加50本。问去年两种笔记本各卖了多少本?出声的读题目
告诉我们去年卖出的笔记本数，今年A笔记本卖出的比去年多6%，B笔记本卖出的比去年减少5%，两种笔记本的总销量增加了50本，要求去年A、B两种笔记本各卖多少本。2、这一题好复杂啊，那么多数字!如果设去年A卖x本（思考中…）今年A卖出的比去年多6%，B卖出的笔记本量比去年少5%，x(1+6%)是今年卖的笔记本（思考中…）去年共卖出12200本，今年A卖出的量比去年多了这6%，B卖出的比去年少了这5%。两种笔记本的总销量增加了50本。50本在这里有什么用?增加了50了本（思考中…）A为x，那么B就是12200－x，A比去年多6%，B比去年少5%".…可以这样列式子，6%x+5%(12200－x)=50，我来算算看，怎么x是负的?是不是算错了?(重复运算)，不能这样列式……今年A笔记本卖出的比去年多6%，B笔记本卖出的比去年减少5%".…这道题太难了，我做不出来。简单重复描述题目的条件。反复题目的条件，能够把具体的已知条件进行利用，把数字进行组合，得出一些错误的式子，自己意识到，最终放弃解题。
分析：被试丙的解题过程相比前两者，具有随意性、无目的性、尝试性的特点。反复题目的条件，却不能够意识到题目中的一些等量关系，只是尝试着根据已知条件将数字进行搭配组合。缺乏做题的目的和方法，不自信也导致了做题太盲目。
（2）、后测个案分析被试甲：
甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时出发相向而行，4小时后，甲车行了全程的60%，乙车还差10km到达两地的中点．已知甲车每小时比乙车多行15km，A、B两地相距多少千米？出声的读题目
1、要求得A、B两地相距多少千米？要用方程来解。甲车行了全程的60%，乙车还差10km到达两地的中点，即乙车行了还差10千米到达全程的50%。这里有个等量关系。在4小时内，甲比乙多行4×15=60（千米）．那么，可以设A、B两地相距x千米，则50%x减去10千米，再加上75千米，等于60%x，4、列出方程可得50%x－10+4×15=60%x，通过计算得x=5005、我再看看，结果…，对的明确要解决的问题。抓住题目中关键的词。找出等量关系。分析题目中的条件，明确题目中要建立等量关系的数量关系。列方程、计算、回答问题。检查计算结果，是否符合题目。
分析：甲的解题目的性是很明确的，审题策略特别好。从分析已知条件和问题的关系，能够迅速在题目中找到关键的句子，建立等量关系。甲能将整个解题过程的每一个步骤完整无误的想清楚，运用方程解决数学应用问题得心应手。
被试乙：
甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时出发相向而行，4小时后，甲车行了全程的60%，乙车还差10km到达两地的中点．已知甲车每小时比乙车多行15km，A、B两地相距多少千米？出声的读题目1、这道题要方程来解。要求A、B两地相距多少千米？怎样找等量关系呢（考虑中…），题目中告诉甲车每小时比乙车多行15km，也就是，4个小时里，甲比乙多行4×15=60（千米）．那么，甲车行了全程的60%，乙车还差10km才能到达两地的中点。这里可以建立等量关系。2、如果设A、B两地相距x千米，则50%x表示两地中点的路程，再减去10千米，再加上60千米，就是4小时后，乙车走的路程。就是50%x－10+60。方程应该这样列，我看看（考虑中…），哦，甲共走的路程等于60%x。对，是这样。这两者相等，没错。3、50%x－10+60=60%x解得x=500.再看看考虑中…，结果是对的。分析题目中的已知条件，明确要求的问题，找关键句子，建立等量关系。找出正确的数量关系为列方程做下一步准备。正确的列出方程，并解答。
分析：被试乙相比于前测，在解题过程中，自信心明显提高、在做题的逻辑性上有所进步。在解题中，能够迅速地捕捉到题目中的关键句子，并且对所要求解的问题，积极、正确的设未知量，不足之处在于，在分析的过程中，缺乏一些统观全题的意识，在分析中问题中有一点不够果断。做题的整个过程思路比较流畅，总体还是挺好的。被施乙在阅读方面的能力有所欠缺，需要在日后的学习中加强。
被试丙
甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时出发相向而行，4小时后，甲车行了全程的60%，乙车还差10km到达两地的中点．已知甲车每小时比乙车多行15km，A、B两地相距多少千米？出声的读题目
甲乙两车是相向而行的。要求A、B两地相距多少千米？甲车行了全程的60%的时候，乙车还差10km到达两地的中点．什么意思？需要找等量关系（考虑中…），如果设甲、乙两地距离为X千米，4小时候后，两车走的路程是什么呢？要找出甲的路程，恩（考虑中…）甲走了60%x的路程。乙走的路程是，哦，数字很复杂呀，甲比乙每小时多走15千米。跟题目有什么关系呢？想想，那就是4小时多4×15=60（千米）。现在怎么列方程呢？好像式子还不够，（考虑中…）乙车还差10km到达两地的中点，中点路程是全部路程的一半，那是0.5x。还差10，是减去还是加上呢10，应该是相差10才到。应该0.5x－10才行。还要再加上比甲少走的75，这样就对了。乙一共的路程是0.5x+753、列方程是50%x－10+60=60%x，这样应该对了，计算的结果是x=500结果对不对呀，我就做到这里了。能够清楚，题目中的已知和问题。并能重复，关键的句子。不断的将已知条件和所要求的问题进行对比，寻找构建方程的等量关系。并对复杂的数据进行组合。试图得出要求的方程。列出方程，进行计算。分析：被试丙相比前测，在面对数学应用题时，不那么慌张。能够按照老师的要求的—审题策略‖清楚分析题目中的已知和问题。能够根据自己所知道的一些列方程解应用题的知识提出这一假设的(设元策略：对大部分的方程应用题都根据问题来假设未知数)。被试丙能正确重复，关键的句子。这也是在训练中加强培养审题策略而形成的一种思维模式。由于缺乏做题的全局性，对关键语句的梳理显得比较乱，不能兼顾整道题的布局。所以在做题中，不断的将已知条件和所要求的问题进行对比，寻找构建方程的等量关系，并能对复杂的数据进行组合。试图得出要求的方程。这相当于未经数学应用题解题策略之前，已经进步很大了。
第六章提高初中生数学应用题解题水平的策略6.1在应用题教学中要加强元认知调控1．提高教师自身的元认知水平
对于学生数学元认知能力的培养、提高，成为实施成功的数学教学的必然途径教师在教学中处于教与学的主导地位，如果教师不及时提高数学元认知水平，必将导致学生学数学时出现更多困难。所以提高教师的数学元认知水平是非常迫切的。当提高教师数学元认知能力之后，教学就会呈现重教轻学、重知识的传授。因为只重结果而轻知识发现、发生过程的教学，会使教学只停留在感知、记忆、模仿的低级阶段。只有教师具有较高的数学元认知水平，在教学中，才会心中有数、才能针对学生的实际情况创设良好的问题情境。
2．在数学教学中加强学生元认知能力的培养
在数学教学中如何培养学生数学元认知能力，笔者通过教学实践分析总结发现有以下几方面的途径：（1）使学生能自觉地调整和优化学习心理
在数学学习中，遇到解题困难时，容易打击做题者的积极性，从而影响解题的兴趣。适当的调整心态、积极的改进学习心理，可以使学生加强学习信心、改善自身的学习机制。在培养学生元认知能力的过程中，要从培养数学学习学习心理、培养数学行为抓起。
教师在教学中要把握以下几个环节:
1）在教学中，最重要的就是师生之间的沟通。所谓—工欲善其事，必先利其器‖，你想让你的语言—粘‖住学生、你想让你的学生对你的课倍感兴趣吗？回答当然是肯定的，要做到这一点，就要求教师要发挥教学的艺术，以教师独特的教学魅力感染学生，以教师高尚的人格影响学生。从某种意义上讲，教师就是知识的传播者，如果能用活泼的语言风格、丰富的肢体语言去打动学生的心，学生就愿意和老师亲近，才能使学生产生轻松愉快的情感、使学生从喜欢老师到喜欢数学课、使产生积极的数学学习行为，在平时的教学中，就必须发挥老师良好教学修养。
2）当同学在解应用题，感到困难时。教师要针对学生遇到的具体情况，多进行帮助、激励，激发学生学习数学的兴趣。教师应多对学生进行启发诱导，设计必要的铺垫，让学生在经过自己的努力思考来克服困难的过程中体验怎样探究，而不能有老师代替学生思考，另外注意不要过早的给出答案。应鼓励探究多种不同的分析问题和解决问题的方法，使探究过程活跃起来。教师积极鼓励学生大胆提问、大胆讨论、大胆发表自己的见解，有利于培养学生的自信心。营造这样的学习氛围，不仅使得学生一定会精神饱满、心情愉快、注意力集中，而且一直处于跃跃欲试的状态之中，这对激发学生积极思维有很好的作用。
3）在平时的教学中，教师对学生学习成果的及时反馈，可使学生获得成功的情感体验。在教学中，克拉玛依市第七中学的数学教学的反馈方式，就是课前制定10分钟数学测验卷，让学生真真切切的了解自己学习中每个阶段对知识点的掌握情况，并依据对知识点的掌握程度及时调整学习状态。在这个过程中，通过适当的物质奖励和精神奖励使学生产生愉悦感、自豪感。并刺激了他们的良性竞争意识。
（2）有针对性、系统地传授数学元认知知识
元认知知识的传授，依赖于教师，只有教师具有有较高的元认知水平，在教学中才能带动学生一起潜移默化掌握元认知。教师可通过以下几个方面收集、整理、研究有关数学学习的元认知知识。
1）数学是一门有完整的学科体系的科学，数学界前人已经积累了大量的关于，数学学科的思维方法、学习方法等的元认知知识。在教师的教学中，要善于归纳、总结，并加以运用。
2）是教师本人在数学教学过程中中对元认知知识的积累；
3）是教师从学生学习中积累元认知知识。在教学中，我们要传授给学生的数学元认知知识有以下几个方面:
第一方面、数学教材、数学知识的结构特点、思维特点、方法特点方面。
第二方面、有关数学学习任务方面的知识，主要是学生在不同学年，学习不同的教学内容时所要达到的认知目标。例如在讲授《一次函数》一章之前，我们应先告诉学生函数在初中数学中所处的地位以及一次函数的学习对后继知识的引导、启发作用，与其他章节之间的区别和联系，学习一次函数时有哪些注意事项，思维特点有什么不同。
第三方面、有关数学学习策略方面的知识，主要指学生思维方法、学习方法、学习步骤、行为步骤等内容；比如，在学习用一元一次方程解应用题时，教师如果能够依据学生的思维特点、记忆特点，采用比较直观地画示意图、画表格对已知问题中的量进行表征，然后使学生依据应用题模式识别进行思考，从而找到适合自己的解题策略。这样才能提高学生在数学问题解决中的有效性。
3．师控与自控相结合
在学生的学习过程中，评价学习进程、评价学习策略、评价学习有效性，并根据学习情况的改变，不断地调整和修正自己的策略。学习结束时要及时对所得结果进行反思，反思学习、反思思维的过程。
培养学生的元认知的过程。要求我们教育工作者，在课堂教学中把教师的主导—师控‖和学生的自我监控一一—自控‖有机地结合起来。既要对知识传授的数量、难度等方面进行控制，又要对学生学习态度、学习方法进行指导、控制。所以两者相辅相成，缺一不可。即：自控要以师控为指导，自控在师控指导下进行发展。
6.2进行思维训练课干涉应用题解题
在思维训练课里，主要传授了以下几种实用的解应用题的策略1．审题策略
数学应用题有着复杂的背景以及实际意义，应用题的出现形势，是一些冗长的文字表述。那么要想捕捉到题目的考察点，就要求学生在审题时—去粗取精‖，把具有代表性词句筛选出来，比如数学问题中量之间的关系。这是审题的第一步，是数学模型建立的基础。这一过程中，不仅是对学生阅读理解的能力的考察，而且也是对学生阅读过程的监督。
数学应用题审题实际是对问题表征的一个过程。在读题、审题的过程中，把应用题问题用语言表述成为符号或图形语言，并用自己的语言来理解材料。当遇到文字冗长、数据较多、对象复杂的题目时，就需要我们从中整理和挖掘有用的信息材料，实现文字语言、与数学语言的转换。
(1)让学生读题讲题，将问题进行表征问题的表征，可采用波利亚解题表，进行问题的层层推进，审题包括两个步骤:1)对问题的表层理解。也就是解题者逐字逐句的读懂描述问题，分清已知条件和问题就是解决问题的好的开始。2)对问题的深层理解是建立在表层理解的基础上，把问题的每种陈述综合成条件和目标统一的心理表征。
(2)仔细阅读，抓关键字、词
很多学生对数学应用题有厌烦、恐惧心理，遇到文字较多的题就回避，题目意思看个大概，导致审题不细。初中生对题目中出现的术语、问题中各个量之间是怎样的关系理解要精准，要善于抓住关键字、关键性句子，才便于对题目进行深层次的理解。现就教材中常出现的一些关键词进行举例。常见的关键词有以下几类，一类表示和、差、倍、分的关系，如—一共‖、—多‖、—少‘，、—提前‖、—超过‖等等;另一类表示运算关系的，如—A比B大多少‖、—C比D的3倍少1‖等等;还有些—关键词‖表面上相似而实际意义不同的，如—几个月后‖与—第几月‖、—是几倍‖与—增加几倍‖、—至多‖—至少‖—不超过‖—不少于‖等等字眼，一定要分辨清楚。结合教材，列举如下：
例题1：在英语口语比赛中，比赛试题中共有20道题，每道题都给出4个选项，其中只有一个答案正确，要求学生把正确答案选出来，每道题选对得10分，不选或选错倒扣5分，如果一个学生在本次比赛中得分不低于90分，那么他至少选对了______道题。
分析：用不等式解应用题时，要注意对未知数的限制条件。要能够抓住题中的关键词。设选对了x道题，则不选或选错题为(20-x)道，则有
10x一5（20一x）＞90解出：x＞
本题目中,x应该是正数而且不能超过总题数20.所以至少答对13道x=13，即他至少选对了13道题。
例题2：电动摩托车销售部，第一个月以5500元/辆的价格售出60辆自行车，第二个月起降价，以5000元/辆的价格将这批电动摩托车全部售出，销售总量超过55万元，则这批电动摩托车最少有多少辆？
分析：设这批电动摩托车有x辆，第二个月还有（x-60）辆，我们知道，第一个月销售的摩托车数量+第二个月销售的摩托车数量＞55万元，就是本题建立不等式的关键句子。
由于第一个月以5500元/辆的价格售出60辆，则第一个月销售量=5500×60
设这批电动摩托车有x辆，第二个月还有（x-60）辆，∴第二个月销售量=5000×（x-60），∵销售总量超过50万元，
∴5500×60+5000×（x-60）＞550000．解得：x＞104则x≥105(3)数量的分类
在平时的解题过程中，首要的一步就是读题，善于从中筛选所需的数据。并将其分析、归类，最终将关键语言提供的数量类型，转化为数量关系，从而弄清量与量之间的关系。对于审题时能够成功的对数量进行分类，是需要长期培养的，教学中应予以关注。
2．分析策略
(1)分析数量关系是解题的关键，一般有两种方法:综合法和分析法。综合法的思路是—从己知到可知‖。即从已知条件出发，借助其性质和相关定理，经过逐步逻辑推理，达到需求问题。分析法的思路是—从未知到已知‖。即从问题出发，根据数量关系找出解决问题所需要的条件，把未知的条件作为中间问题，找出解决中间问题的条件，逐步推导直到所需条件能从题目中找到为止。
例如：车间有14名工人生产螺丝和螺母，每人每天平均生产600个螺丝或900个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套，为求x，可列方程
解：设x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为14-x名。每天生产螺栓600x个，生产螺母900×（14-x）；根据—恰好每天生产的螺栓和螺母按1：2配套‖，得出方程：2×600x=900（14-x）解得：x=6结果符合题意(2)列方程中最重要的是怎样在题目中正确找出能够表示问题全部含义的等量关系。我们把—等量关系‖分为两类:
1）一类表示各种量之间内在规律固有的等量关系。这类关系对应的问题中的量在一般情况下处于稳定状态，属于—静态‖问题。例如:应用题中的等量关系：
a）行程问题：路程=速度×时间b）相遇问题：全程=甲路程+乙路程
c）追及问题：全程=速度快者的路程速度慢者的路程
d)流水问题（航行问题）：顺流速度=轮船在静水中的速度+水流速度逆流速度=轮船在静水中的速度水流速度飞机顺风速=飞机速度+风速飞机逆风速=飞机速度风速
e）工程问题：工作总量=工作效率×工作时间f）当工作总量没有明确表示时，常把工作总量看作1；g）几个人合作一件工程的工作量=各人工作量的和
h）增长率问题：平均增长率问题：，其中b表示变化后的量，a表示变化前的量，n表示变化的次数。
i）商品利润问题：售价进价=利润g）浓度问题基本关系:溶液=溶剂+溶质，2）另一类是题目中给出的条件等量关系，
表示各种量之间内在规律固有的等量关系。这类关系对应的问题中的量在一般是变化的，属于—动态‖问题。例如:
a）调配类应用题的特点是:调配前的数量关系，调配后又有一种新的数量关系。b）等积类应用题的基本关系式:变形前的体积(容积)=变形后的体积(容积)。
c）浓度问题:稀释前的数量关系与稀释后的数量关系，加浓前的数量关系与加浓后的数量关系。在中学教学中，这类问题非常多，列举如下：例如1：现有含糖15%的糖水400克，实验员要求将糖水浓度变为12%，某同学错误加进了110克水，要使浓度重新变为12%，该同学该怎么办？
分析：依据题意：400克含糖15%的糖水中水的质量=400（115%）=340克，糖的质量=400×15%=60克，
加了110克水后，总质量为510克，但是糖的质量未变．要想使糖水浓度变成12%，则糖水的质量应该等于=克，
如果要加入糖使浓度重新变为12%，可设加入x克糖，那么由题意可得出：解得即为所求。
例如2：某汽车配件厂有工人300人，生产甲种配件，平均每人每年可创造利润m万元（m为大于零的常数），为减员增效，决定从中调配x人去生产新开发的乙种配件，根据预算，调配后继续生产甲种配件的工人平均每人每年创造利润可增加20%，生产乙种配件的工人平均每人每年可创造利润1.54m万元．（1）调配后，此汽车配件厂生产甲、乙两种配件的年利润分别为多少？（用含m，x的代数式表示）.
（2）如果调配后，生产甲种配件的年利润不小于调配前年利润的0.8，生产乙种配件的年利润大于调配前年利润的一半，应如何设计调配方案？哪种方案全年总利润最大？
分析：（1）生产甲种配件的人数为300-x，平均每人每年创造的利润为m（1+20%）
元，所以调配后企业生产甲种配件的年利润为（300-x）（1+20%）m万元；生产乙种配件人数为x，平均每人每年创造的利润为1.54m，所以生产乙种配件的年利润为1.54mx万元；
分析：（2）生产甲种配件的年利润不小于调配前年利润的0.8，
即，大于等于0.8×300m。生产乙种配件的年利润大于调配前年利润的一半，即，大于300m，依据题意，列不等式组（300-x）(1+20%)m≥0.8×300m1.54mx＞0.5×300m解得:97.4＜x≤100，∵x为正整数，
∴x可取98，99，100．∴共有三种调配方案：
①202人生产甲种配件，98人生产乙种配件；②201人生产甲种配件，99人生产乙种配件；③200人生产甲种配件，100人生产乙种配件3．设元策略
在应用题解题中，尽管算式法和方程法是常用的两种方法，但在做题中提倡学生使用方程法。方程是刻画现实世界中含有未知数的问题的数学模型。其过程就是—分析数量关系、合理设未知数、通过寻求已知量与未知量之间的关系，建立等式即列方程，然后解方程和检验。（检验包括两个方面：一方面解得结果正确与否；另一方面结果是否符合题意）。
（1）解数学应用题一般步骤：第一步；找相等关系；第二步；设未知数；
第三步；根据题意列方程（组）或者列不等式（组）；第四步；解方程（组）或解不等式（组）；
第五步；检验及答。（注意这里：不仅检验包括判断是否是方程（组）的解，而且还要判断解是否符合题意）。
在中学教学中，我们主要研究用方程解决应用题。用方程的方法解应用题，即体现了数学的科学性和应用性，又体现数学科学中蕴涵的文化。在列方程（组）或者不等式（组）解应用题时，未知数x的设定是否直接关系到所列方程是否简便。设元是解应用题的开始，选择题目中那个量作为未知数来设元，决定了列方程的难易程度。解应用题一般包括两种设元的方法:直接设元的方法和间接设元的方法。
l）直接设元法：即题目里问题问什么，我们就设什么为未知数。例题1：甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒钟跑6米，甲的速度是乙的倍．
（1）如果甲、乙在跑道上相距40米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？（2）如果甲在乙前面40米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？解：（1）设经过x秒甲、乙两人第一次相遇，则：6×x+6x=40040，解得x=24．
答：经过24秒甲、乙两人第一次相遇。（2）设经过y秒甲、乙两人第一次相遇，则6×y=6y+40040，解得：y=120．
答：经过120秒甲、乙两人第一次相遇
2）间接设元法：所谓间接设元法指，不直接设所求的问题中的未知数，而是设题中的与所求有关联的未知量，求得未知数的值。最后利用未知量与问题要求量的联系得出答案。
例题1：甲队、乙队、丙堆合作一项工程，计划需要190个工人，由于各队人数不等，按照4：6：9派遣刚好，问甲队、乙队、丙队三个队各应派出多少人?
分析:设甲队应派4x人，乙队应派6x人，丙队应派9x人。依题意列方程:4x+6x+9x=190
在初中数学应用题的教学中，有很大一部分应用题，设元时既可采用直接设元法，也可采用间接设元法。这要求学生运用已有经验从中选出最好的解法，只有通过长期的练习，才能逐渐在解题中增强对设元的技巧的掌握。
4．几种特殊的策略
除了上述几种常用的解题策略以外，还有几种特殊是策略:（1）画示意图寻找等量关系赫加蒂（Hegarty）的图式一图像表征论认为运用图式表征能够成功解决数学问题。将列方程所必须的条件明朗化、清晰化必须依靠示意图，从而图式成了思维的载体，使视觉直接参与到解题过程中。苏霍梅林斯基所言:—教会学生把应用题画出来，其用意就在于保证由具体思维向抽象思维过渡‖。如果学生能掌握如何画图和建立图式表征，他们的成绩将会明显提高。图解分析法在解数学应用题中，具有很强的直观性和明确的目的性，在数学教学的运用中具有普遍性。如工程问题、速度问题、调配问题等，多采用画图进行分析，通过对问题中的已知条件及问题进行图解，帮助学生深刻理解题意，从而根据题目内容，正确的设出未知数，准确列出方程，精确地得出未知数的解。列举如下:
例题1：有一些质地均匀、大小一样的红、白两种颜色的粉笔，分装在甲、乙两个粉笔盒里中，甲盒装有1根红粉笔和1根白粉笔，乙盒装有2根红粉笔和1根白粉笔，现在要从每个盒中随机摸出1根粉笔。
（1）请你用画树状图表示所有等可能的结果；
（2）有人说：—摸出两根红粉笔‘和摸出一红粉笔一白粉笔‘这两个事件发生的概率相等．‖你同这种意说法吗？为什么？
分析：（1）根据题意，可以将各种可能性，画出如下的树形图:乙盒红白红1红2白白红1红2甲盒
（2）不同意这种说法．由（1）知，P（两红）=2/6=1/3P（一红一白）=3/6=1/2∴P（两红）＜P（一红一白）
在这道题里，通过直观、简洁的画图，解决了复杂的概率问题。（2）列表法寻找等量关系
遇到较复杂的问题，条件中的数量关系错综复杂难以理清头绪，这时我们可采用列表的方法。将条件中的所涉及的量填进去，包括已知的和未知的。这对解题者寻找解题思路有一定的启发作用[36]。
例题[37]1：甲、乙两地间路程为150千米，一人骑自行车从甲地出发，每小时走15千米，2小时后，另一人骑摩托车从乙地出发，速度是自行车速度的3倍。两人相向而行，问经过多少时间两人相遇？分析：题中有三类相关联的量：时间、速度、路程，两个可比对象：骑摩托车的人和骑自行车的人，将它们放在一个表中分析如下：
时间速度路程
骑自行车的人未知数15未知数骑摩托车的人未知数15×3未知数
时间速度路程骑自行车的人未知15未知骑摩托车的人未知15×3未知由此出现了骑自行车的人的时间、速度、路程，骑摩托车的人的时间、速度、路程，其中已知的只是两人的速度,两人各自行走的时间和路程均未知，但是，根据题意可知两人所用的时间相差2小时，两人的所行的路程之和为150千米。分析至此我们发现，这道应用题中
包含了以下几个方面的信息：
（1）个可比对象：骑摩托车的人和骑自行车的人；（2）每个对象相联系的三类相关量：时间、速度、路程；
（3）三类相关量中，对两个可比较的对象而言，仅有一类量（两个）已知，但是另外同类两个未知量间的比较关系是已知的。
设骑摩托车的人出发后经过x小时两人相遇，则骑摩托车的人行了45x千米，骑自行车的人行了15（x+2）千米，根据题意，可列方程
15（x+2）+45x=150
例题2甲乙两个水池共存水100吨.若甲池的水放出5吨，乙池注入水10吨，则甲池的水是乙池的2倍。求原来两个水池各有多少吨水。
分析：两个可比对象是甲池和乙池；三类相关量及其关系是：原来的存水量+增减量=后来的存水量；已知的一类量是增减量，两条关于未知量的关系是：原来的存水量之和为100吨，后来甲池的水是乙池的2倍；
解法一：原来的存水量之和为100吨‖设未知数，则根据—后来甲池的水是乙池的2倍‖列出的方程是：x-5=2[(100-x)+10]
具体分析如下表：原存水量增减量后存水量甲池x-5x-5
乙池100-x+10(100-x)+10
解法二：后来甲池的水是乙池的2倍‖设未知数，则根据—原来的存水量之和为100吨‖列出的方程是：（2x+5）+（x-10）=100。具体分析见下表：
原存水量增减量后存水量甲池2x+5-52x乙池x-10+10x
如此进行，一样的分析思路，表中未知数位置有四个，直接在表中设未知数的方法有四种，相应的方程就有四种。
例题[38]3：某工厂与A地、B地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地。已知公路运价为1.5元/（吨?千米），铁路运价为1.2元/（吨?千米），如果都采用公路运输，则共需支出公路运输费15000元，如果都采用铁路运输，则共需支出铁路运输费97200元。试计算：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
工厂铁路120km公路10km铁路110km公路20kmAB
分析：这批产品的销售款与产品的数量有关系，而原料费与原料数量有关系。设产品重x吨，原料重y吨，由于图中的数据比较多，为了便于分析需要列表
如下：
产品重x吨原料重y吨合计公路运输费/元铁路运输费/元价值/元
结合表格中的数据，根据等量关系：1）公路运费15000元；2）铁路运输97200．3）根据—利润=总售价-总进价-运输费用‖进行计算。
题目中所求的值，需要先求出来产品重量和原料重量。根据上表中的关系，列方程组解得这个方程组，得
所以最终要求的结果为1887800元。
这道题解题中的一些条件是用示意图给出的，这种表达形式比较简明，很实用。通过分析这个问题，可以培养学生从图表中获取信息的能力，通过列表可以对有关数量进行整理，从而便于发现等量关系
教育的终极目标是培养具有创造力的人。本实验中运用的思维策略是紧密联系数学教学提出的，在教学实践中具有可操作性，其在教学中表现出的系统性、集中性的优点。笔者依据数学学科教学进行思维策略的训练，如果能够长期渗透与教学之中，对于智力水平和创造力水平的提高是必然的。
6.3在应用题教学中要注重语言转换和呈现方式的转换
在数学应用题教学中。[39]教师的发音清楚、流畅、抑扬顿挫、高低起伏处理的恰当，能给学生以美的享受。因为语音能刺激听觉神经的兴奋,学生可以通过调节听觉神经，使自己保持一种愉悦、专注的状态。听课人除了受到自己情绪影响之外，听课人的情绪也往往受到教学内容和教师情绪的影响。这一点就要求教师在教学过程中随时注意这种情况,并适当调节自己的语音以达到好的教学效果。
在数学应用题教学中，情态语很重要，老师一个亲切的微笑，一个关注的眼神，调整与学生之间的距离，都能有效的调节学生的情绪，激起学生的热情，从而提高课堂效率。作为教师恰当的运用这一点可以在课堂内达到—此时无声胜有声‖。
在数学应用题教学中，语言风格上,教师一方面要注意语言表达一定要具有知识性、严谨性、启发性。另一方面要注意语言文明。老师粗暴的批评、讽刺挖苦、否定学生会挫败学生的信心和志气。只有真诚的肯定可以让学生享受成长的快乐、学习的快乐，同时也获得足够的自信。
在数学应用题教学中，语言描述上，要具有形象性、直观性强的特点。这一点可以感染学生的良好情绪,产生轻松愉快的心理情绪，提高听课效率。在通往知识殿堂的路上，学生对知识的接受要达到精湛的效果,教师孜孜不倦的教与学生高效快乐的学是重要的保证。因此教学语言必须富有启发性和激励性,发挥出点拨光明,开启智慧的功能。
第七章研究小结与展望7.1研究小结:一、结合学科领域对学生进行思维策略的训练是有效的、可行的。
二、本实验所采用的思维策略对不同层次学生的训练效果均显著，对中、差生的训练效果特别显著。三、学生在参与调查问卷和思维训练的态度比较积极。另外，本实验亦有不足之处；
在教师方面表现为：1）由于社会的不断发展教师驾驭能力有待进步;2）初中数学教材的教学脱离实际；
在学生方面表现为：1）学生基础知识不扎实，利用初中数学应用题元认知掌控自己对知识掌握的的能力弱、建模意识不强；2）受到学习兴趣、动机等因素造成了学生解题的心理障碍。由于条件所限，思维训练时间较短，没能测定实验的长期效应。这有待于在今后的实验中加以改进。
7.2研究的展望
本文是初中数学应用题解题策略的实验研究，过程依据初中生对数学应用题的认知、学习、掌握的规律展开：
一、元认知的知识在理论上丰富和发展了教育学、心理学的有关理论;在实践上，对于培养学生思维能力和问题解决能力、开发学生智力、解决—教会学生如何学习‖、对推动新的数学课程标准的施行具有十分重要的意义。
二、本实验用于训练学生提高应用题解题思维策略训练的时间仅15个课时，而中学生能够自我认知、自我监控、自我计划、自我评价、自我反馈和自我调节，并且积极、自觉的解决有意义的数学应用题，要变成一种自觉行为或能力，是要经过反复练习才能逐步形成，最终达到不需要意志努力和意识监控的自动化行为模式定型也是需要长时间训练才能达到。
三、本实验仅针对克拉玛依市第七中学八年级学生进行。八年级学生对数学应用题知识达到了一定的积累，所以实验结果较明显，而对于其他年级的实验，尤其是其他中学来说，实验结果还有待于进一步证实。
四、本研究仅对学生进行了提高应用题解题思维策略训练，并运用波利亚解题表在教学中实践波利亚解题思想解数学应用题。所以学生在应用题的基本题型方面得分有所提高，但随着社会高速的发展，不断出现新的类型的应用题，实际解决应用题能力还有待提高。要整体提高初中学生数学应用题解题的能力，还需要探究更有效地课堂教学模式，不断提高学生解题自我监控能力和增强数学应用题解题的策略意识[40]。在一定程度上要依赖广大教育工作者的示范作用，所以对于广大教育者来说，各方面的提高还有待以后的研究。
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