高中数学必修1、4知识点归纳

高中数学必修1、4知识点归纳

必修1数学知识点第一章、集合与函数概念

1.1.1、集合

1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个

集合相等。3、常见集合：正整数集合：N*或N，整数集合：Z，有理数集合：Q，实数集合：R.

fx1fx2=…

1.3.2、奇偶性

1、一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个

x，都有fxfx，那么就称函数fx为

偶函数.偶函数图象关于y轴对称.

2、一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个

都有fxfx，那么就称函数fx为x，

奇函数.奇函数图象关于原点对称.第二章、基本初等函数（Ⅰ） 2.1.1、指数与指数幂的运算

1、一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根。

其中n1,nN.2、当n为奇数时，aa；

当n为偶数时，a3、我们规定：

nnn4、集合的表示方法：列举法、描述法.

1.1.2、集合间的基本关系

1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任

意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作AB.

2、如果集合AB，但存在元素xB，且xA，

则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.

.并规定：3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：

空集合是任何集合的子集.

nn4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子

集.

1.1.3、集合间的基本运算

1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成

的集合，称为集合A与B的并集.记作：AB.2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素

组成的集合，称为A与B的交集.记作：AB.3、全集、补集？CUA{x|xU,且xU} 1.2.1、函数的概念

1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应

关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数fx和它对应，那么就称f:AB为集合A到集合B的一个函数，记作：yfx,xA.

2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值

域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. 1.2.2、函数的表示法

1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 1.3.1、单调性与最大（小）值

1、注意函数单调性证明的一般格式：

解：任取x1,x2a,b且x1x2，则：

a.

⑴amma

*na0,m,nN⑵an,m1；

1ann0；

4、运算性质：⑴aaasrsrsa0,r,sQ；

⑵ararsa0,r,sQ；

rr⑶ababa0,b0,rQ.

r 2.1.2、指数函数及其性质1、记住图象：yaxa0,a1

2.2.1、对数与对数运算

-1-

1、axNlogaNx；

2、alogaNa.

3、loga10，logaa1.

4、当a0,a1,M0,N0时：

⑴logaMNlogaMlogaN；

⑵logMalogNlogaMaN；

⑶logaMnnlogaM.

5、换底公式：loglogcbablogca

a0,a1,c0,c1,b0.

6、logab1log

baa0,a1,b0,b1. 2..2.2、对数函数及其性质1、记住图象：ylogaxa0,a1

2.3、幂函数

1、几种幂函数的图象：

（指大图高，指小图低）

第三章、函数的应用

3.1.1、方程的根与函数的零点1、方程fx0有实根

函数yfx的图象与x轴有交点

函数yfx有零点.

2、性质：如果函数yfx在区间a,b上的图象

是连续不断的一条曲线，并且有fafb0，

那么，函数yfx在区间a,b内有零点，即存在ca,b，使得fc0，这个c也就是方

程fx0的根.

3.1.2、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法.

3.2.1、几类不同增长的函数模型 3.2.2、函数模型的应用举例

1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.

必修4数学知识点第一章、三角函数

1.1.1、任意角

1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角终边相同的角的集合：

2k,kZ.

1.1.2、弧度制

1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度

的角.2、lr.

3、弧长公式：lnR180R.

4、扇形面积公式：SnR236012lR.

1.2.1、任意角的三角函数

1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点

Px,y，那么：

-2-

siny,cosx,tanyx.

2、设点Ax0,y0为角终边上任意一点，那么：（设

rxy2020sincos,2cossin.2

）

x0rsiny0r，cos，tany0x0.

5、诱导公式六：

sincos,23、sin，cos，tan在四个象限的符号和三角

函数线的画法.4、诱导公式一：

sin2ksin,cos2kcos,（其中：kZ）tan2ktan.5、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270°的三角函数值.643sincostan 1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：sin2cos21.2、商数关系：tansincos.

1.3、三角函数的诱导公式1、诱导公式二：

sinsin,coscos,

tantan.2、诱导公式三：

sinsin,coscos,

tantan.3、诱导公式四：

sinsin,coscos,

tantan.4、诱导公式五：

cossin.2 1.4.1、正弦、余弦函数的图象1、记住正弦、余弦函数图象：

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：

定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

3、会用五点法作图.

1.4.2、正弦、余弦函数的性质

1、周期函数定义：对于函数fx，如果存在一个非

零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有fxTfx，那么函数fx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：

2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、

值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 1.5、函数yAsinx的图象

1、能够讲出函数ysinx的图象和函数

yAsinxb的图象之间的平移伸缩变

0时,a的方向与a的方向相反.

换关系.2、对于函数：

yAsinxbA0,0有：振幅A，

2、平面向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba. 2.3.1、平面向量基本定理

1、平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两

个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数1,2，使a1e12e2. 2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、axiyjx,y. 2.3.3、平面向量的坐标运算1、设ax1,y1,bx2,y2，则：⑴abx1x2,y1y2，

⑵abx1x2,y1y2，⑶ax1,y1，⑷a//bx1y2x2y1.2、设Ax1,y1,Bx2,y2，则：ABx2x1,y2y1. 2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，则⑴线段AB中点坐标为

周期Tf1T22，初相，相位x，频率

.

1.6、三角函数模型的简单应用1、要求熟悉课本例题.

第二章、平面向量

2.1.1、向量的物理背景与概念

1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量. 2.1.2、向量的几何表示

1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三

个要素：起点、方向、长度.2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称

模），记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.

3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行. 2.1.3、相等向量与共线向量

1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形法则和平行四边形法则.2、ab≤ab.

2.2.2、向量减法运算及其几何意义

1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量. 2.2.3、向量数乘运算及其几何意义

1、规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运

算叫做向量的数乘.记作：a，它的长度和方向规定如下：⑴aa,

x1x22,y1y22，

3⑵△ABC的重心坐标为

x1x2x33,y1y2y3.

2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、ababcos.

2、a在b方向上的投影为：acos.3、aa.

22⑵当0时,a的方向与a的方向相同；当

4、a

-4-

a2.5、abab0.

2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、设ax1,y1,bx2,y2，则：

⑴abx1x2y1y2⑵ax221y1

⑶abx1x2y1y202、设Ax1,y1,Bx2,y2，则：

ABx222x1y2y1.

2.5.1、平面几何中的向量方法 2.5.2、向量在物理中的应用举例

第三章、三角恒等变换

3.1.1、两角差的余弦公式

1、coscoscossinsin2、记住15°的三角函数值：sincostan2126462423 3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、coscoscossinsin2、sinsincoscossin3、sinsincoscossin4、tantantan1tantan.5、tantantan1tantan.

3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin22sincos，变形：sincos12sin2.

2、cos2cos2sin2

2cos2112sin2，

变形1：cos21cos22，

变形2：sin21cos22.

3、tan22tan.1tan2 3.2、简单的三角恒等变换注意切化弦、平方降次.

扩展阅读：高一数学必修4知识点总结

高一数学必修4知识点

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

第一象限角的集合为k360k36090,k第二象限角的集合为k36090k360180,k第三象限角的集合为k360180k360270,k第四象限角的集合为k360270k360360,k终边在x轴上的角的集合为k180,k终边在y轴上的角的集合为k18090,k终边在坐标轴上的角的集合为k90,k3、与角终边相同的角的集合为k360,k4、已知是第几象限角，确定

nnn所在象限的方法：先把各象限均分n等

*份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为

终边所落在的区域．

lr5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是1807、弧度制与角度制的换算公式：2360，1，157.3．180．

8、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，C2rl，S12lr12r．

29、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是x,y，它与原点的距离是rrxy022，则sinyr，cosxr，tanyxx0．

10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：sin，cos，tan．12、同角三角函数的基本关系：1sincos1

22yPTsin1cos,cos1sin2222；2sincostan

OvMAxsinsintancos,cos．

tan13、三角函数的诱导公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

5sincos2cos2，cossin2．

6sin，cossin2．

口诀：奇变偶不变，符号看象限．

14、函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数

ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩

短）到原来的

1倍（纵坐标不变），得到函数ysinx的图象；再将函数

ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），

得到函数ysinx的图象．

函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的得到函数

ysinx的图象；再将函数ysinx1倍（纵坐标不变），

的图象上所有点向左（右）平移

个单位

长度，得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点

的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数ysinx的图象．

函数ysinx0,0的性质：

①振幅：；②周期：．

2；③频率：f12；④相位：x；⑤初相：

函数ysinx，当xx1时，取得最小值为ymin；当xx2时，取得最大值为ymax，则12ymaxymin，12ymaxymin，

2x2x1x1x2．

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函ycosx

性质

数ysinxytanx

图象

定义域值域

RR

xxk,k

2R1,1

当x2k21,1

k当x2kk时，

ymax1；当x2k

最值

时，ymax1；当

x2k

既无最大值也无最小值

2

1．

k时，ymin1．

k时，ymin2周

期性奇奇函数偶性单

调在2k,2k

22性

2

偶函数奇函数

在2k,2kk上是

增函

-3-在k2,k数；在

k上是增函数；在2k,2k

32k,2k22k上是增函数．

k上是减函数．

k上是减函数．

对称中心k,0k对

对称轴称

性xkk

2对称中心

对称中心

k,0k

2k,0k2对称轴xkk

无对称轴

16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．

零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷运算性质：①交换律：abba；②结合律：abcabc；③

a00aa．

⑸坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2．

Ca

18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2．设、两点的坐标分别为x1,y1，x2,y2，则x1x2y,1y2

b．

abCC

19、向量数乘运算：

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．

①aa；

②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0．

⑵运算律：①aa；②aaa；③abab．

⑶坐标运算：设ax,y，则ax,yx,y．

20、向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．

设ax1,y1，bx2,y2，其中b0，则当且仅当x1y2x2y10时，向量a、bb0共线．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2．（不共线的向量e1、e2作为

这一平面内所有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是x1,y1，x2,y2，xx2y1y2当12时，点的坐标是1,．

1123、平面向量的数量积：

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a和b都是非零向量，则①abab0．②当a与b同向时，abab；22当a与b反向时，abab；aaaa或aaa．③abab．

⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑷坐标运算：设两个非零向量ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y2．

若ax,y，则a222xy，或axy．

22设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y20．

设a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a与b的夹角，则

abcosabx1x2y1y2xy2121xy2222．

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；

⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan1tantantantan1tantan（tantantan1tantan）；

⑹tan（tantantan1tantan）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sincos．⑵

2cos2cossin2cos112sin1cos222222（cos2cos212，

sin）．

⑶tan22tan1tan2．

26、sincossin，其中tan22．

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