北航制造技术实习报告习题答案1
数控基础导论
解兆宏教学内容：数控基础知识教材版本：北京航空航天大学《制造实习》教学方法：课堂讲授、学生编程练习
教学时间：讲授100分钟、练习60分钟
教具：外圆车刀、切断车刀、立铣刀各1把师范讲解挂图2张教学目的：了解数控的基本知识掌握手工编程的技能
引言：点名书P231至306实习报告P29、30、35简介数控组指导老师、机床、实习场地、教室一．教程第一天上午1。数控基础2。编程（学生车铣各编一图）下午讲机床的结构和操作第二天讲CAXA软件《平面作图》（学生画一个数铣图案；画一个数车图案）第三天讲CAXA《曲面、立体造型》二．评分按上级规定：每个同学两个分数技能：1．手编2。零件设计制作3。曲面造型表现：1．纪律2。安全3。考勤4。实习态度5。实习报告三.注意事项1．按规定穿工作服，女生戴帽子。2．同学一定不要迟到、早退。3．按时交作业。4．每个实习环节都要有竞争意识和创新意识讲课摘要一概述什么叫数控机床？即是采用数字信息技术控制的机床，是灵性极强的，高效的自动化机床。1946年2月美国发明计算机；49年开始研制数控机床；52年世界第一台三坐标数控铣诞生，到74年数控机床经历五代，数控技术臻于成熟，迅速普及。后来又在质量上、功能上得到不断发展，（例如加工中心、柔性制造系统FMS、计算机集成系统CIMS）。加工中心---在一台数控机床上可进行多工序加工，并能自换刀、零件自动装卸、切硝自动清除。柔性制造系统的作用：①多工位数控加工②自动输送和储存③自动检测④自动化管理目前使用的三台新数控铣床型号是XK6325B/6，其中X代表铣床，K代表数控，机床所控制的轴数为３，系统是KND100。旧数控铣床型号是J320---1系统是FANUC---3M。都是三坐标控制，可三坐标联动。XK6325B/6数控摇臂铣床共有六个部分组成：床身部分、铣头和变速部分、工作台部分、横进给部分、升降台部分、冷却，润滑及电气部分。数控车床八台，其中两台型号为CJK1630其中C代表车床，JK代表简式数控机床，16代表最大回转直径为410mm，为最大加工长度为750mm。系统是FANUC均为两坐标控制，可两坐标联动。两坐标数控机床加工平面曲线；三坐标数控机床加工立体曲面。加工中心分为以镗铣为主的“镗铣类加工中心”二台和以车为主的“车类加工中心”一台。其中一台镗铣类加工中心型号为VMC750系统采用美国VICKERS公司生产的ACRAMATIC2100E数控系统。VMC750铣加工中心组成部分有：主轴箱、刀库、立柱、工作台、滑板、床身、控制箱、电气柜。三坐标测量机的型号是0101DH/T-P目前我国数控机床使用的系统还有华中工学院的华中1号、德国的西门子CAD/CAM软件除了我们常用的caxa系列外，还有美国的Por/E、UG法国的CIA等两坐标数控机床加工平面曲线；三坐标数控机床加工立体曲面数控机床适合加工多品种、中小批量和形状复杂的零件加工。数控机床的加工过程：准备阶段；编程阶段；准备信息载体；加工阶段。二数控机床的组成：控制介质、控制机、伺服机构、测量机构、机床五部分伺服机构的作用：接收来自控制机的进给信号，驱动机床工作台，加工出合格的零件。数控车床与普通车床的主要区别是使用伺服电机控制实现两轴联动。三数控系统分类1．按运动方式分三类：⑴点位控制系统用于钻床和冲床⑵直线控制系统用于车床⑶连续控制系统用于铣床和加工中心2．按控制方式分三类：开环控制系统、闭环控制系统、半闭环控制系统。开环控制系统不带位置测量装置，不能将控制误差反馈的系统闭环控制系统测量装置检测出工作台的实际位移量，经反馈回路送回控制机去与指令值进行比较，用差值进行控制，直到差值消除。闭环控制系统能消除机床传动的间隙。半闭环控制系统---测量装置安装在伺服电机的端部，只检测系统的一部分。四数控机床加工的特点：①适应性强②有较高的生产率③有较高的重复定位精度和稳定的加工质量④缩短生产准备时间，减轻劳动强度⑤利于生产管理现代化五名词解释1．脉冲当量---控制机每发出一个脉冲，机床运动部件相应的位移量叫脉冲当量。目前使用的数控车、铣床一个脉冲当量是0.001mm；加工中心则是0.0001mm。目前数控机床加工精度0.015/300mm2．插补---在一条线段的起点和终点之间进行数据密化计算过程。插补直线或曲线时不会影响加工精度，因为逼近的误差小于一个脉冲的当量。插补四个节拍：偏差判别→进给控制→新偏差判别→终点判别。3．刀具半径补偿是刀具中心自动从零件轮廓上偏离一个指定的刀具半径黑板画图讲解。4．尖角过度只要轮廓线上的斜率不连续就需要尖角过度（画图讲解）。5．绝对制编程G90:采用的是绝对坐标，坐标原点是唯一的，不变的。增量制编程G91:采用的是相对坐标，坐标原点是很多的，变化的（画图讲解）六．编程1．坐标系的建立数控机床的坐标轴和运动方向均已标准化。平行主轴中心线的刀具运动方向为z轴，远离方向为正，X轴为水平方向，垂直于Z轴并平行于工件的装夹面，轴用右手直角笛卡尔坐标系确定。Y对于铣床、镗床、钻床等主轴带动刀具旋转的轴是Z轴，X、Y则平行于工件装夹平面。对于车床、磨床和其它加工旋转体的机床，主轴带动工件旋转，Z轴与主轴旋转中心重合，平行于床身导轨，X轴与Z轴垂直，横卧于床身导轨。数控车是X、Z两坐标控制的机床，X坐标用零件的直径表示，所以永远是正值；Z坐标与机床主轴（零件轴线）重合，刀具向右移动为正方向，反之为负方向。不同的数控系统，编程代码和操作指令也不完全相同。编程坐标系是编程时假定工件不动，刀具相对于工件运动，用标准坐标系X、Y、Z进行编程。数控机床编程时每程序段尺寸字的坐标值为刀具要移动的终点坐标，如果尺寸字不变在程序的下一段可以省落，R不能省。G代码表示准备功能；M代码表示辅助功能。2．工件坐标系原点的确定在编制加工程序时一般习惯是把编程坐标系设在轴线右端（数控车）、对称中心（数控铣）位置上。具体解释如下：数控车工件坐标系原点确定在零件的轴线和右端面的交点上。数控铣工件坐标原点的确定以坐标便于运算为原则。一般有对称中心的，对称中心就是原点；有对称轴的，原点应定在对称轴上；有直线有曲线的，原点的确定要照顾曲线；有的图纸要照顾设计基准。数控机床开机运行程序之前应首先让机床回零点，然后才能执行下面操作。操作机床时出现紧急情况后可采取中断机床执行程序的方法应按下急停键防止事故发生。3．起刀点的确定数控车的起刀点确定在上述坐标系中X100Z100的点上。数控铣的起刀点一般确定在零件图任意一条直线延长线20毫米的点上。若多条直线，尽量选平行X轴或Y轴的直线；若没直线，则选在任意一条圆弧的切线上。4．编程的基本格式O____；N__G__X__Y__Z__R__F__H__S__T__M__；O____表示程序号，后面是任意四位数；N__表示程序段号，后面是任意14位数；G__表示准备功能，后面是2位数，例如G00表示快速移动；G01表示直线移动G02表示顺圆移动；G03表示逆圆移动；G41表示左刀补；G42表示右刀补；G54G59建立工件坐标系等数十种。X__Y__Z__表示坐标字；R__表示圆弧半径F__表示进给量（刀移动的速度）；H__刀具半径补偿的代号；S__主轴旋转的速度；T__刀具代号M---辅助功能，用于开关控制。例如M03表示主轴右转；M05表示主轴停；M30表示程序结束。数控铣编程的规律和要点是刀具每次移动写终点坐标。上一句的终点是下一句的起点（第一句应写初始起点的坐标）。大于3π/2小于2π的弧是优弧，应编一段，整圆编两段。Z方向的自动控制是铣刀套筒的伸缩。编程方法编制数控车加工程序时，程序段中尺寸字Ｘ值永远为正值，代表直径。编程注意事项：1.R不能省略。2.上一句有R，本句没R，要加G01。数控铣零件图：数控铣程序单：O____；N10G54G90Z2N20M03N30G00X3Y-19.774N40G01Z-2F500N50X61.65Y10.876N60G03X55.325Y9.957R-11N70G02X12.775Y15.388R40N80G03X3Y-19.774R-20N90G01Z2M05N100G00X0Y0N110M30数控车零件图：数控车程序单：N10T11；N20G00X27Z0；N30G01X0F0.08N40G00Z1N50X23N60G01Z0F0.1N70X25Z-1F0.08N80Z-20N90X35Z-30N100Z-50N110X45N120Z-60N130G03X45Z-80R30N140G01Z-100N150G00X100Z100N160T22N170GX47Z-104N180G01X0F0.05N190X100Z-10024题：数控车零件图：（起刀点Ｘ100Ｚ100）N10T11；N80X30Z-21:N20G00X22Z0；N90Z-54N30G01X0F0.05:N100G00X100Z100；N40X18F0.08；N110T22:N50X20Z-1；N120X32Z-54:N60Z-20；N130G01X0F0.05:N70X28：N140G00X100Z100；25题：数控铣图形及程序:汉字不抄N10G54Z2；设定坐标系N20M03；铣刀右转N30G00G90X-50Y-50；快速由原点到起刀点绝对制N40G01Z-2F100；直线慢速下刀（由Z2到Z-2）N50Y-30F500；到X-50Y-30N60G02X-40Y-20R10；顺圆R10终点是X-40Y-20N70G01X20；线走刀X20Y-20N80G03X40Y0R20；逆圆R20终点是X40Y0N90X-6.915Y39.398R40；逆圆R40终点是X-6.915Y39.398N100G01X-40Y20；直线走刀X-40Y20N110Y-20；直线走刀X-40Y-20N120Z2M05；抬刀停转N130G00X0Y0；快速回原点N140M30；结束以上均为最简化。如果问，两句能不能合并，应回答：不能。因为两段的坐标不同。用caxa数控车、制造工程师软件画加工零件图形时应分别注意什么问题？数控车：①最细直径6mm；②槽宽不小于3mm数控铣：①不重线；②等距线不小于1mm图形交互式自动编程步骤及所碰到的问题应用→轨迹生成→平面轮廓→拾取曲线→生成代码→传输→加工。主要是图形有错，修改后方能生成程序。画球体时，需用“旋转增料”，不能用“拉伸增料”。答疑（同学应锻炼独立解决问题的能力）1．画数控车的矩形四个角点的坐标实什么？答：（0，0）（-60，0）（-60，10）（0，10）。2．画数控铣的图怎样开始？答：（1）拾取“整圆”图标（2）拾取“原点”（3）输入半径16（4）拾取“显示全部”（5）画任意图形3．画数车图形注意什么？（1）答：右边可以是尖的，也可以是圆的，但左边必须至少￠6mm（2）除右边第一点，曲线上其余各点距中心线3mm（3）槽的平面。宽3mm⑷向下凹的尖角要用R1.5的弧过渡。4．画数铣图形注意什么？答：（1）不能画重线（2）等距线距离1mm5．写字有哪些严格规定？答：⑴字体：汉字、西文均为”A”打头，后面带“MS”的，选第三种（2）字数：汉字四个或西文六个6．怎样平移？（1）拾取“平移”图标（2）整理菜单为：两点、移动、非答：正交（3）拾取图形（4）右键确定（5）拾取基点7．怎样镜像？（1）拾取“镜像”图标（2）拾取镜像轴首点、未点（如没有，答：可画一条）（3）拾取图形（4）右键确定8．我的图形已存，为什么打不开？答：⑴网络忙。⑵路径不对。正确路径是：先打开CAXA软件，在拾取左上角“文件”-打开-网络邻居-整个网络-MicrosoftWindowsNetwork-Mshome-数车（铣）-文件名-打开。如果还打不开，可能软件用错了，重画。9．实体造型规律是什么？答：（1）把复杂零件分成多个简单的块（像搭积木）（2）选平面-绘草图-画封闭图-退草图-拉伸增（除）料。10．画“轴承座”难点是什么？答：难点是画“侧板”，画封闭图时，少画了一条底线，要在“草图”状态下补上（绝大多数同学问题出在此）。11．如何剪裁四种方法：答：①剪裁②拉伸③打断删除④曲线过渡（选用“尖角”过渡）详细操作自己试。12．如何缩放？答：①拾取“缩放”图标②选择“移动”③改写比例④拾取“基点”⑤拾取元素，右键。13．如何旋转？答：①拾取“平面旋转”图标②填写份数、度数③拾取中心④拾取元素，右键14．如何圆阵列？答：①点“阵列”图标②填写“份数”③圆阵④拾取图，右确⑤拾取中心关于数控铣图形的检查：15．如何生成刀具轨迹？答：拾取应用→轨迹生成→平面轮廓→填写参数表（参看说明一）→确定→拾取任意一条曲线（参看说明二）→查看每一条曲线是否能生成刀具轨迹（参看说明三）。16．如何填写参数表？答：①底层高度-0.1②每层下降0.1③走刀方式“单向”④轮廓补偿”ON”17．如何拾取曲线：答：①闭曲线（需点五次鼠标:三下左键，两下右键）②开曲线（需点六次鼠标:左左右左右右）拾取任意一条曲线，按两下左键，如果不出‘双向箭头’说明是开曲线，需要再按一下右键，再按一下左键，再按两下右键18．如何查看每一条曲线是否生成刀具轨迹：答：如果曲线变绿，并且有竖直的下、抬刀红线，即可。19．常见的问题有哪些？答：①8字形②重线③图形叠加④特小圆弧⑤特小角度需修改后，重新拾取“应用”……20．如果每一条曲线都生成刀具轨迹，再怎么办？答：保存。
扩展阅读：北航电磁场与电磁波课程习题答案1
2-1已知三矢量i2iA2ixiyizBixizCixyz求：AB
AC(AB)C
A与B,B与C,C与A之间夹角的余弦A与C为一对邻边的平行四边
形的面积
解：iiA2ixyzBixizi2iCixyz(1)AB3ixiy2i3i(2)AC3ixyz2(3)(AB)C11(4)cos(A^B)1011102212636AB|A||B|
(^C)cosBBC3
6|B||C|(^A)cosCCA5
6|C||A|ix（5）|AC|det21iy11iz1211
2-2对于任意的三个矢量A,B,C,证明：A(BC)B(AC)C(AB)
A(BC)B(CA)C(AB)
解：对本题可采用两种方法计算：直接计算和适当选取坐标系。使其一轴与一矢量平行的方法，下面我们分别介绍这两个方法。⒈直接计算法：
A(BC)B(AC)C(AB)
ixiybycyizbzczixaxbyczbzcyiyaybzcxbxczizazbxcybycx左=(ixaxiyayizaz)bxcx
axbxcxaybycyazczcxaxcybyaycz2bxaxbycyaybzbzbxbz(1)cxazczB(CA)
azA(BC)B(CA)
axbxcxaybycyazczcxaxcybyaycz2cxbxcyaybybzbxbz(1)axazazC(AB)bzczA(BC)B(AC)C(AB)A(BC)B(CA)C(AB)
2．在不失一般性情况下，对于任意给定的A，B，C，选取坐标系，使X轴与C平行，
aiaiaXOY面过B,C,则有AixxyyzzbibBixxyyCixcx
bib，因为这样并不具有一般性）（注意，这里不能说取Cixcx，Bixxyy于是有：
左A(BC)ix(ixaxiyayizaz)bxcxiyby0iz00
(ixaxiyayizaz)(izbycx)iyaxbycxixaybycx右B(AC)C(AB)(ixbxiyby)[(ixaxiyayizaz)(ixcx)](ixcx)[(ixaxiyayizaz)(ixbxiyby)]
(ixbxiyby)axcxixcx(axbxayby)ixaxbxcxiyaxbycxixaxbxcxixaybycxiyaxbycxixaybycx左右
左A(BC)ix(ixaxiyayizaz)bxaxiyby0iz00
(ixaxiyayizaz)(izbycx)azbycz中B(CB)ixiy0ayiz0az
(ixbxiyby)cxax
(ixbxiyby)(iyazcxizaycx)azbycx右C(AB)ixiyaybyizaz0
(ixcx)axbx
(ixcx)[ixazbyiyazbxiz(axbyaybx)]azbycx2-3已知B和A都是常量。求X，使
XBA
解：在不失一般性的情况下，可设AiXAXiYAYiZAZBiXBXiYBYiZBZ
其中AX，AY，AZ，BX，BY，BZ均为常数。
显然，要使XBA能成立，必须，有A⊥B，此时才能有解。
另外，由矢量的有关知识可知，只要A⊥B，那么，可以找到任意多的X,使X⊥A，且XAB。更具体的说，可通过调整X与A矢量之间的夹角，来调整X的值。所以，若
有解，解也不是唯一的。这表明，使用矢量做除法，是没有意义的。2-4已知两个矢量场
2xizixyAixyz3yixzi2yBixyz求：矢量场FAB
并证明在空间各点，Fx,y,z的场矢量都与A的场矢量垂直。
解：依题意
2xizixyi3yixzi2yFABixyzxyzixiyzxzizxy2y=2x3y
yzx22ixy3y4iz2x23y=ixyz根据矢量垂直的定义，若F与A垂直必有FA0
yzx22ixy3y4iz2x3yi2xizixy故FAixyzxyz=yzx22xxy3y4zz2x3yxy
220
所以，在空间各点，F总是与A垂直。
A3i4i5i2-5已知xyz，求A在柱坐标和球坐标中的表达式。
解：①若A位于原点，即如图2-5-1（孟春，补出图）所示，则有A3ix4iy5iz
在柱坐标系中
ArCAirC=
4i5iicosisin3ixyzxy=3cos+4sin=335445
=5(图2-5-1)
AAi4i5iicosisin=3ixyzxy=0
5AzAizi)A5(irCz其中irirCCtg143
在球坐标系中：ArSAirS4i5iisincosisinsinicos=3ixyzxYz其中tg1434
ArS52
(3i4i5i)(icoscosicossinisin)AAiXYZxyz00AAiA52irS其中irirSS4,tg143
②若A位于X0,Y0,Z0出,即如图2-5-2所示,由柱坐标与直角坐标间的变换关系
(孟春，补出图)坐标单位向量为此点X0,Y0,Z0的坐标单位向量
icosisinixrCisinicosiyrCiizz4i5得:Aix3iyz3cosi4sini4cos3siniz5rC其中siny0xy2020cosx0xy2020
3x04y04x03y05AirCiiZ2222x0y0x0y01其中:ir,i均为tgC,y0x0处的ir,i,即:
C,irCirCtg1y0x0
iitg1y0x0
同理球坐标系中
isincosicoscosisinixrSisinsinicossinicosiyrSicosisinizrS4i5iA3ixyzirS3sincos4sinsin5cosi4cos3sin1cos4cossin5sini3cos其中sin(x0y0)2xyz20202022cosz0xyz202020
siny0xy2020cosx0xy2020
223x04y05z03x0z04y0z05x0y04x03y0AiiirS2222222222x0y0z0x0y0z0x0y0x0y0,i均为tg其中irS,i1x0y0z022tg1y0x0,i,即处的irS,iirSirStg122x0y0,tgz01y0x0
ii1tg22x0y0,tgz01y0x0
iitg122x0y0,tgz01y0x0
2-6已知E=ixiyiz,ix2iy4iz,2ixiyiz,
求：E，E，E
解：E，E，E分别为E在，，上的投影。
EEi，EEi，EEi，，，的单位矢量为：
i121ix2iy4iz
1iii2ixyz6iz1
ix2iy211432ix3iyiz
i1142ix3iyiz
EEi2121
E26Ei3
14EEi
72-7球坐标中点的表示为(rs,,),已知P1(5,
,),P2(4,,)。6436求：P1，P2之间的距离及P1P2的单位矢量。
解：为求得P1P2两点间的距离，应先将P1P2换成直角坐标
524524P1：x1rssincos532y1rssinsin
z1rscos
同理P2：x23y2P1P2两点间的距离为d3z22
(x2x1)(y2y1)(z2z1)
222=41P1P2的单位矢量为
1522562103
(xx)i(yy)i(zz)P1P2=ix21y21z21P1P2=ix(3i52(352)i(253))iyz442
411512＋562－103[ix(352553)iy(3)iz(2)]442P1P2=
P1P2d
2-8已知标量场
f(r)arcsinzxy
22（1）求它的等值面方程并指出等值面的几何形状
（2）求出过点（6，8，5）等值面方程并画出该等值面的图形。（3）指出标量场f(r)的实数定义域
解：（1）等值面方程为：令:arcsinzxy22c(c是常数)
即有：
2zxy2c其中(0c1)
或zcx2y2
可见，等值面是一族不含顶点（x=0,y=0）的圆锥面。（2）过(6,3,5)的等值面方程为：
将x=6，y=3，z=5代入等值面方程中，可求得
c12
1所以，等值面方程为tg所示。（3）
xy222(x2y20)其图形为不含原点的锥面。如图2-2
实数定义域为
0，
zxy221
或：
434rs0
2-9已知标量场
222f(r)x2y2z
（1）画出过点（1，1，1）的等值面
（2）求出这个等值面在该点的发线方向。
（3）求出f(r)在该点沿Aixiyiz方向的导数解：（1）等值面方程为：x2y2z0
cf(1,1,1)1x2y2z2222221
为椭圆双曲面。其图形见图2-9。
（2）由梯度性质可知，梯度的方向与等值面垂直所以f的方向即为法线方向
f2xix4yiy4ziz
f(1,1,1)2ix4iy4iz
inff(1,1,1)13ix23iy23iz
（3）根据方向导数的计算式，可知
dfdAofA即为f(r)在A方向的方向导数
A1o(ixiyiz)A3AdfdA(1,1,1)
o(fA)(1,1,1)1033
2-10广义正交坐标系中证明（2-41）式解：
(UV)VUUV（VU）
设广义坐标系的坐标变量为u1,u2,u3,坐标单位矢量为i1,i2,i3,长度系数为h1,h2,h3,则有：UU(u1,u2,u3)VV(u1,u2,u3)
(UV)[U(u1,u2,u3)V(u1,u2,u3)]i1UVh1u1Vu2i2UVh2u2i3UVh3u3UVu3)i11h1(VUu1UVu1)i21h2(VUu2U)i31h3(VUu3
（i11Uh1u1i21Uh2u2i31Uh3u3)V（i11Vh1u1i21Vh2u2i31Vh3u3)U(U)V(V)U
(UV)(U)V(U)U
将上式中U,V对调，则有
(VU)(V)U(U)V(U)V(V)U
(VU)(U)V(V)U(VU)
12-11已知(r)3rsrs，求(r)在（x=1,y=0,z=1）点处的值。指出(r)与z轴的
夹角。
解：的梯度为：
3irir[(2)1]
srssrs在（1，0，1）处，rsxyz2222
11所以|(1,0,1)ir|(1,0,1)()()ir|(1,0,1)
s22s1与z轴的夹角为：|(1,0,1)izirs|(1,0,1)iz
212cos|(1,0,1)24
而iz
2cos(aiz)|(1,0,1)iziz|(1,0,1)22
所以夹角为
34。
(x2y2)3i，2-12已知平面矢量场F(r)ixy求沿下列路径由P1(1,2)到P2(2,4)的路径积分值；
1）由P1到P2的直线，
2）（1，2）（2，2）（2，4）的折线；解：路径积分为：22Fds(xy)dx3dy
CC对路径1，有y=2x，所以dy=2dx代入上式中，有
C1Fds21(x4x)dx6dx22533P2。
Fds，
对于路径2，FdsC2P0P1FdsP0在P1P0段，y=2,dy=0,在P0P2段，x=2,dx=0
CaFdsP0P1(xy)dx3dy222P2P0(xy)dx3dy2221(x4)dx2423dy37312.33
2-13计算rds，其中rC2xyz22，c为（孟春，补出图）
解：1）（0，0，0）（1，0，0）（1，2，0）的折线
2）（0，0，0）（1，2，0）的直线。
可以把积分分为两段进行。第一段：y=0,z=0,x为01；第二段：x=1,z=0,y为02；
11）C[(xyz)]ds2222210xdx220(1y)dy213(y13y)|2205
（2）（0，0，0）（1，2，0）的直线方程为：y=2x,z=0
1[(xyz)2]dsc2222110(x4x)(1y)2dx
222=5x2122dx=
01553
2-14计算
zrs
解：zrscos
zrscos
22-15计算
0irsd
isincosisinsinicos解：irsxyz20dirs20sincosisinsinicos)d(ixyz20(ixsinsiniysincosizcos)|iz2cos2-16证明()r1111i()i，2r2rrrr
其中，r222(xx)(yy)(zz)，和分别表示对（x,y,z）和(x,y,z)的
坐标矢量运算。
r(xx)(yy)(zz)
2221r[1(xx)(yy)(zz)1222]
=(ixiyiz)xyz(xx)(yy)(zz)222
=[ix(xx)iy(yy)iz(zz)]1222(xx)(yy)(zz)3
=[ix(xx)iy(yy)iz(zz)]rr31(xx)(yy)(zz)2223
=1rirr2
1(xx)(yy)(zz)222
ii)(ixyzxyz1(xx)(yy)(zz)1(xx)(yy)(zz)
rr3222
(xx)i(yy)i(zz)][ixyz1i2rr2223
2-17已知静电场强度E(r)等于竟电位(r)的负梯度。即E(r)(r)，对于下
列电位场，求他们的电场强度。
xych①(r)V0sin
aa2②(r)V0(xyz)
2③(r)V0rssin2cos
④(r)V0rccosrc⑤(r)V0ln()
a解：E
⑴(r)V0sin
xachya(V)
yxEixV0cosxchiysinshy
aaaaaacosxchyisinxshy)(V/M)V0(ixyaaaaa2⑵(r)V0(xyz)(V)E
2xyix2i)(V/M)V0(ixyz⑶(r)V0rs2sin2cos(V)
EV0[ir2rssin2cosirs2cos2cosis1rssin(rssin2sin)]
22rsin2cosV0[ii2rscos2cosi2rscossin]rsssin2cos2rsV0[iicos2cosicossin](V/M)rs⑷(r)V0rccos(V)
isinVcosiisinViEV0cosirC0rC0x(V/M)
r（5）(r)V0ln(C)(V)
aaV11EV0irCV0irC0irCarCrCrC(V/M)
2-18对于良态电场Er可以用r0Er来求出它的电荷分布，试用此方法求出
上题中各电场的电荷分布。
（1）0E
sinxshy(V/M)EV0icosxchyixyaaaaaV000Easinxchysinxchy0aaaaaa0(C/M)
22E（2）V0ix2xyiyxiz(V/M)
0EV002y20V0y(C/m3)
sin2cosicos2cosicossin（3）E2rSV0irS(V/M)
0E1rS2sin2cossinrScos2cosrSsincos1120V02rrsinrsinrSSSScoscos320V03sin2cossin2sincossinsincos20V03sin2coscos6sinsin2coscoscossincoscos20V03sin2coscos6sincoscoscossinsin20V03sin2cos3sin2cos0(C/M3)
（4）EV0ix(V/M),0E0V000(C/M)
(rCV0rC)0(C/m3V（5）E0irCrC1(V/M),0E0V0rCrC)(rC0)
（第18题后面到第20题到那里去了？）P67页
2-21由积分形式的电场高斯定律（1-32）式及散度的定义式（2-47）式导出电场高斯定律的微分形式（2-30）式。
解：积分形式的电场高斯定律为：
Eda=dv
sv其中s为任意曲面，v为s所围的体积。将上式两端同除体积V，可得：
Edadvs=v
VV对上式，令s向V内任一点P收缩，而使V趋于零，取极限。则有：Edadvs0vlimPlimV0(P)V0(P)VV由散
P点的散度，既Ep
由于P点是V内任意一点，因此，该式对V内各点都成立。因此下标P可略去，即：
E这就是微分形式的电场高斯定律。
2-22在直角坐标中证明（2-117）-（2-122）六式。
解：（1）(fA)fAfA
AfiAf左=(ixAXfiyyzzixiyyfAyizzfAz=
xfAx
=ix(fAzyfAyz)iy(fAxzfAzx)iz(fAyxfAxy)
AyAzff=ix(AZfAyf)
yyzzAyAxAxAZffffiy(AxfAZf)iz(AyfAxf)zzxxxxyy=
ff(fAfA)i(fAfA)i（AA)ixzyyxzzyxyzzxxyAAAxAzfix(z)iy(x)iz(yzzxxyAyAy)
=fAfA右（以下部分皆未输入，为第五章部分内容，这是哪个笨
蛋干的好事？）
根据场的叠加原理，我们可以把系统分成两部分：
rsa,(rs)2(rs)0rsb,2(rs)3(rs)0(1)rs,3(rs)0prs0,1(rs)cos240rsra,(r)(r)V0s1s2srb,(r)(r)V0s2s3s(2)r,(r)03ssr0,(r)01ss根据边界条件（1），我们可以把1的试探解写成：
B1(rs)(A1rs1)cos2rsrs0时，1(rs)p40rs2cos
B1p40
rsa时，10
(A1aB1a2)cos0
A1B1a2r40a1rs23
2p400(0rsa3)cos0rsaarsbrsb(V)
由边界条件（2），选定3的试探解为：
B2(rs)(A2)(C2D2ln(tg)(F2G2)
rs2由于系统与,无关，则D2G20考虑到边界条件(2)
M(常数）MBA22rs200rsaarsbrsbA20
2(V)
rs0,当rsb时V0V0bV0rs3V0BrsbBV0b0rsaarsbrsb(V)212rs1p()cosV0324ars0V0bV0rs300rsarsbrsb(V)
528.用代入法证明rs0P2(cos)满足拉普拉斯方程。13)解：查表可知：P2(cos2球坐标系中的拉氏方程为：
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