高中数学函数总结归纳

高中数学函数总结归纳

大成培训（函数总结归纳）

一：会求函数的定义域值域。二：知道函数奇偶性的相关性质。

三：会求函数的导数和用导数解决相关问题，会解含x3的方程！四：知道根的分部情况。注意分类讨论！本部分重点把握对参数分类讨论

【必做题】1求函数f(x)ax2bx1在区间t,t1(tR)上的值域2解关于x的不等式（1）ax2－(a+1)x+1>0（2）ax2－x+1>0常见函数压轴题分类：

一：形如x3形的（重点策略：掌握其函数基本图像，学会分类讨论）

1.已知二次函数yg(x)的导函数的图像与直线y2x平行,且yg(x)在x=－1处取得最小值m－1(m0).设函数f(x)g(x)x

(1)若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值(2)k(kR)如何取值时,函数yf(x)kx存在零点,并求出零点.x2已知函数f(x)x(kk1)x5x2，g(x)kxkx1，

其中kR．21世纪教育网

（I）设函数p(x)f(x)g(x)．若p(x)在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围；．．．

323已知函数f(x)x(1a)xa(a2)xb(a,bR)．

322221k121世纪教育网（I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值；（II）若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围．．．．4设函数f(x)x3axb(a0).

（Ⅰ）若曲线yf(x)在点(2,f(x))处与直线y8相切，求a,b的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间与极值点.5已知函数f(x)13axbxx3,其中a0

323（1）当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值?

1

（2）已知a0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.6.设函数f(x)13x(1a)x4ax24a，其中常数a>1

32(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。21世纪教育网7已知二次函数yg(x)的导函数的图像与直线y2x平行，且yg(x)在x1处取得极小值

m1(m0)．设f(x)g(x)x．

（1）若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m的值；（2）k(kR)如何取值时，函数yf(x)kx存在零点，并求出零点．

8设函数f(x)x392x6xa．

2（1）对于任意实数x，f(x)m恒成立，求m的最大值；

（2）若方程f(x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围．9设函数f(x)13xx(m3221)x,(xR,)其中m0

（Ⅰ）当m1时，曲线yf(x)在点（1，f（1））处的切线斜率（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；

（Ⅲ）已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1,x2，且x1x2。若对任意的x[x1,x2]，

f(x)f(1)恒成立，求m的取值范围。

3210已知函数f(x)x2bxcx2的图象在与x轴交点处的切线方程是y5x10。

（I）求函数f(x)的解析式；（II）设函数g(x)f(x)对应的自变量x的值.

11已知函数f(x)xbxcx的导函数的图象关于直线x=2对称.

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）若f(x)在xt处取得最小值，记此极小值为g(t)，求g(t)的定义域和值域。12已知函数f(x)x3ax1,a0

2

33213mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时

求若

f(x)的单调区间；

f(x)在x1处取得极值，直线y=my与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。

13已知函数f(x)x32bx2cx2的图象在与x轴交点处的切线方程是y5x10。（I）求函数f(x)的解析式；（II）设函数g(x)f(x)对应的自变量x的值.14已知关于x的函数f(x)＝

13x3＋bx＋cx＋bc,其导函数为f(x).令g(x)＝f(x),记函数g(x)在

2++

13mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时

区间[-1、1]上的最大值为M.

(Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-43，试确定b、c的值：

（Ⅱ）若b>1,证明对任意的c,都有M>2:(Ⅲ)若MK对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。15已知函数f(x)x33ax29a2xa3.

(1)设a1，求函数fx的极值；(2)若a14，且当x1,4a时，f(x)12a恒成立，试确定a的取值范围.

"16已知函数f(x)13xaxbx,且f"(1)0

32（I）试用含a的代数式表示b；

（Ⅱ）求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）令a1，设函数f(x)在x1,x2(x1x2)处取得极值，记点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2))，证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点；

217已知f(x)xbxc为偶函数，曲线yf(x)过点(2,5)，g(x)(xa)f(x)．

（Ⅰ）求曲线yg(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若当x1时函数yg(x)取得极值，确定yg(x)的单调区间．

二：直接求导分类讨论型（重点策略：细心求导，注意函数的定义域，有条理分类讨论）1f(x)xe(k0)

（Ⅰ）求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

3

kx

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

)单调递增，求k的取值范围.2已知函数（Ⅲ）若函数f(x)在区间(1,1内

f(x)x2xa(2lnx),(a0)，讨论f(x)的单调性.

3已知函数（Ⅰ）讨论

的单调性；

在区间{1，

ex，a＞0，21世纪教育网

（Ⅱ）设a=3，求4设函数f(x)

}上值域。期中e=2.71828是自然对数的底数。

x（1）求函数f(x)的单调区间；21世纪教育网（2）若k0，求不等式f"(x)k(1x)f(x)0的解集．

5设f(x)ex(ax2x1)，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。求a的值，并讨论f（x）的单调性；6已知函数f(x)=

122x－ax+(a－1)lnx，a1。讨论函数f(x)的单调性；

7已知函数f(x)ln(ax1)1x1x,x0，其中a0

若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；21世纪教育网求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若f(x)的最小值为1，求a的取值范围。8已知函数f(x)(xax2a3a)e(xR),其中aR

（1）当a0时，求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率；（2）当a2322x时，求函数f(x)的单调区间与极值。

x9已知a0,且a1函数f(x)loga(1a)。（I）求函数f(x)的定义域，并判断f(x)的单调性；（II）当ae（e为自然对数的底数）时，设h(x)(1e实数m的取值范围以及函数h(x)的极值。

4

f(x))(xm1)，若函数h(x)的极值存在，求

10设函数f(x)ax2bxk(k0)在x0处取得极值，且曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线x2y10．

ex（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）若函数g(x)x2f(x)，讨论g(x)的单调性．11已知函数f(x)=In(1+x)-x+x(k≥0)。

2(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)的单调区间。

12设函数f(x)lnxln(2x)ax(a0)．（1）当a1时，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)在(0,1]上的最大值为

12，求a的值．

三含绝对值型的（策略：首先就分类讨论或者两边平方去掉绝对值，化为分段函数再讨论处理）

1已知函数f(x)x21,g(x)a|x1|．

（1）若关于x的方程|f(x)|g(x)只有一个实数解，求实数a的取值范围；

（2）若当xR时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；（3）求函数h(x)|f(x)|g(x)在区间[2,2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．．．．．．．．．．．．．．2设a为实数，函数f(x)2x(xa)|xa|.(1)若f(0)1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)f(x),x(a,)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)1的解集.．．．．

23已知函数f(x)xa|lnx1|,g(x)x|xa|22ln2,a0.

2（Ⅰ）当a1时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值；（Ⅱ）若f(x)32a,x[1,)恒成立,求a的取值范围；

（Ⅲ）对任意x1[1,),总存在惟一的．．．x2[2,),使得f(x1)g(x2)成立,求a的取值范围.

|x|4.已知函数f（1）若axa2axa0,a1，

1，且关于x的方程fxm有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；

（2）设函数gxfx,x2,，gx满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关.试求a的取值范围．

5

四抽象函数（破题策略：坚信自己，勇敢去做，其实题目一般较简单，关键是理解题意）

1对于函数y＝f(x)，x∈(0，)，如果a，b，c是一个三角形的三边长，那么f(a)，f(b)，f(c)也是一个三角形的三边长，则称函数f(x)为“保三角形函数”．

对于函数y＝g(x)，x∈[0，)，如果a，b，c是任意的非负实数，都有g(a)，g(b)，g(c)是一个三角形的三边长，则称函数g(x)为“恒三角形函数”．（1）判断三个函数“f1(x)＝x，f2(x)＝2x，f3(x)＝3x2(定义域均为x∈(0，))”中，那些是“保三角形函数”？请说明理由；（2）若函数g(x)＝

xkx1xx122，x∈[0，)是“恒三角形函数”，试求实数k的取值范围；

（3）如果函数h(x)是定义在(0，)上的周期函数，且值域也为(0，)，试证明：h(x)既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”．

2若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：f(x)kxb和．已知h(x)x，(x)2elnx（其g(x)kxb，则称直线l:ykxb为f(x)和g(x)的“隔离直线”

中e为自然对数的底数）．

(Ⅰ)求F(x)h(x)(x)的极值；

(Ⅱ)函数h(x)和(x)是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

26

扩展阅读：高中数学三角函数知识点总结实用版[1]

高中数学第四章-三角函数

1.①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：

|k360,kZ

▲y2sinx1cosxcosx②终边在x轴上的角的集合：|k180,kZ③终边在y轴上的角的集合：|k18090,kZ④终边在坐标轴上的角的集合：|k90,kZ⑤终边在y=x轴上的角的集合：|k18045,kZ⑥终边在yx轴上的角的集合：|k18045,kZ

3sinx4cosxcosx1sinx2sinx3x4SIN\\COS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：360k⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：360k180⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180k⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：360k902.角度与弧度的互换关系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

、弧度与角度互换公式：1rad＝180°≈57.30°=57°18．1°＝≈0.01745（rad）

1803、弧长公式：l2||r.扇形面积公式：s扇形lr||r

12124、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则siny；rya的终边P（x,y)ryxcos；tanxr；cotx；secr；.cscr.yxyox5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切OyyPTMAx

16.几个重要结论:(1)y6、三角函数线

正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT.

高三数学总复习三角函数

(2)y|sinx|>|cosx|sinx>cosxOx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|xcosx>sinx|sinx|>|cosx|(3)若o

7.三角函数的定义域：三角函数f(x)sinxf(x)cosxf(x)tanxf(x)cotxf(x)secxf(x)cscx定义域x|xRx|xR1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZ1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZcoscoscotsin8、同角三角函数的基本关系式：sintan

cos1tancot1cscsin1sec

sin2cos21sec2tan21csc2cot21

9、诱导公式：

把k的三角函数化为的三角函数，概括为：2“奇变偶不变，符号看象限”

三角函数的公式：（一）基本关系

公式组一公式组二公式组三sinxsin(2kx)sinxsin(x)sinxsinxcscx=1tanx=sin2x+cos2x=1cosxcos(2kx)cosxcos(x)cosxcosx2

x=cosxsecx=11+tanx=sec2xtan(2kx)tanxtan(x)tanxsinxcot(2kx)cotxcot(x)coxttanxcotx=11+cot2x=csc2x公式组四公式组五公式组六sin(x)sinxsin2(x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos2(x)cosxcos(x)cosx

tan(x)tanxtan2(x)tanxtan(x)tanxcot(x)cotxcot2(x)coxtcot(x)coxt（二）角与角之间的互换

公式组一公式组二

22sincoscos()coscossinsinsin2sco2ssi2n2co2s112sincos()coscossinsinco2sin()sincoscossintan22tan1tan2

sin()sincoscossinsin21cos2tan()tantan1coscos

1tantan22高三数学总复习三角函数tan()tantantan1cossin1cos1tantan21cos1cossin公式组三公式组四公式组五11sinsincos()sin2tan222sin1cossinsinsin11tan2sin()cos2221coscoscoscos122tan()cot1tan122sinsincoscoscos211tan2cos()sin2sinsin2sincos2221sinsin2cossintan()cot2tan2222tancoscos2coscos11tan222sin()cos22coscos2sinsin2262,,tan15cot7523,.tan75cot1523sin15cos75sincos4sin75cos1562

4

10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：定义域值域周期性奇偶性单调性ysinxycosxR[1,1]ytanx1x|xR且xk,kZ2ycotxx|xR且xk,kZRyAsinx（A、＞0）RR[1,1]RA,A当0,非奇非偶当0,奇函数2k2k2(A),12(A)2奇函数22偶函数[2k1,2k]奇函数k,k22奇函数[22k,；k,k1上为减函数（kZ）22k]上为增函数；[2k,232k]2上为增函数[2k,2k1]上为减函数（kZ）上为增函数（kZ）上为增函数；2k上为减函数（kZ）2(A),32k2(A)上为减函数高三数学总复习三角函数（kZ）注意：①ysinx与ysinx的单调性正好相反；ycosx与ycosx的单调性也同样相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上递增（减），则yf(x)在[a,b]上递减（增）.

▲②ysinx与ycosx的周期是.

x)或ycos(x)（0）的周期T③ysin(2y.

Oxxytan的周期为2（TT2，如图，翻折无效）.

2x)的对称轴方程是xk④ysin(2(cs（kZ），对称中心（k,0）；yox)的

对称轴方程是xk（kZ），对称中心（k1,0）；yant(2（x)的对称中心

k.,0）2ycos2x原点对称ycos(2x)cos2x

tan1,k⑤当tan

2tan1,k(kZ)；tan

2(kZ).

⑥ycosx与ysinx2k是同一函数,而y(x)是偶函数，则

21y(x)sin(xk)cos(x).

2⑦函数ytanx在R上为增函数.（×）[只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，

ytanx为增函数，同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f(x)f(x)，奇函数：f(x)f(x)）

1奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：ytanx是奇函数，ytan(x)是非奇非偶.（定

3义域不关于原点对称）

奇函数特有性质：若0x的定义域，则f(x)一定有f(0)0.（0x的定义域，则无此性质）

▲⑨ysinx不是周期函数；ysinx为周期函数（T）；y▲yx1/2x高三数学总复习三角函数

y=cos|x|图象y=|cos2x+1/2|图象；ycosx为周期函数（T）；ycosx是周期函数（如图）

ycos2x1的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

2yf(x)5f(xk),kR.

⑩yacosbsina2b2sin()cos11、三角函数图象的作法：１）、几何法：

b有a2b2y.a２）、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.

３）、利用图象变换作三角函数图象．

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．

函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T2，频率f1||，相位x;初相||T2（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0时以上公式可去绝对值符号），

由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）

由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的|1|倍，得到y＝sinωx的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx

替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）

由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

4、反三角函数：函数y＝sinx，的反函数叫做反正弦函数，记作x2，2y＝arcsinx，它的定义域是［－1，

1］，值域是－，．

22函数y＝cosx，（x∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］．

函数y＝tanx，记作的反函数叫做反正切函数，x2，222y＝arctanx，它的定义域是（－

∞，＋∞），值域是，．

高三数学总复习三角函数函数y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．

II.竞赛知识要点

一、反三角函数.

1.反三角函数：反正弦函数yarcsinx是奇函数，故arcsin(x)arcsinx，x1,1（一定要注明定义域，若x,，没有x与y一一对应，故ysinx无反函数）注：sin(arcsinx)x，x1,1，arcsinx,.

22反余弦函数yarccosx非奇非偶，但有arccos(x)arccos(x)2k，x1,1.注：①cos(arccosx)x，x1,1，arccosx0,.

②ycosx是偶函数，yarccosx非奇非偶，而ysinx和yarcsinx为奇函数.反正切函数：yarctanx，定义域(,)，值域（arctan(x)arctanx，x(,).

22,），ynatcrax是奇函数，

注：tan(arctanx)x，x(,).

反余切函数：yarccotx，定义域(,)，值域（arotc，yc,）

22x是非奇非偶.

arccot(x)arccot(x)2k，x(,).注：①cot(arccotx)x，x(,).

1x)互为奇函数，yarctanx同理为奇而yarccosx与yarccotx②yarcsinx与yarcsin(非奇非偶但满足arccos(x)arccosx2k,x[1,1]arccotxarccot(x)2k,x[1,1].

正弦、余弦、正切、余切函数的解集：

a的取值范围解集a的取值范围解集①sinxa的解集②cosxa的解集

a＞1=1x|x2karcsai,nkZ＜1x|xk1karcsina,kZ

aa＞1

a=1x|x2karccosa,kZ

aa＜1x|xkarccosa,kZ

③tanxa的解集：x|xkarctana,kZ③coxta的解集：x|xkarccoat,kZ二、三角恒等式.

sin2n1组一ncoscos2cos4...cos2n12sin

组二

sin33sin4sin3cos34cos33cossin2sin2sinsincos2cos2k1ncos2kcos2cos4cos8cos2nsin2sinn2n

高三数学总复习三角函数cos(xkd)cosxcos(xd)cos(xnd)k0nsin((n1)d)cos(xnd)

sindk0nsin(xkd)sinxsin(xd)sin(xnd)sin((n1)d)sin(xnd)

sindtan()tantantantantantan

1tantantantantantan组三三角函数不等式

sinx＜x＜tanx,x(0,2)f(x)sinx在(0,)上是减函数x若ABC，则x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosC

高三数学总复习三角函数

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