暑假补课期间高二年级生物教学计划
暑假补课期间高二年级生物教学计划
高一年级生物备课组邵天会
暑假期间预计上完高中生物必修二的第六章和第七章，如有必修三教材，则继续上必修三的第一章，如没有，刚复习必修二全册的内容，具体到天的计划如下：201*-7-11201*-7-12讲期末统考试卷
第六章第一节杂交育种与诱变育种新课201*-7-13201*-7-14201*-7-15201*-7-16201*-7-17201*-7-18201*-7-19201*-7-20201*-7-21201*-7-22201*-7-23201*-7-24201*-7-25201*-7-26201*-7-27201*-7-28201*-7-29201*-7-30201*-7-31
201*-8-1201*-8-9201*-8-10201*-8-11201*-8-12第六章第一节杂交育种与诱变育种第六章第二节基因工程及应用第六章第二节基因工程及应用第六章第一节第二节周考周考周考题目处理
第七章第一节现代生物进化理论的由来第七章第一节现代生物进化理论的由来第七章第二节一种群基因频率的改变与生物进化第七章第二节一种群基因频率的改变与生物进化周考周考周考试题处理
第七章第二节二隔离与物种的形成第七章第二节二隔离与物种的形成第七章第二节三共同进化与生物多样性的形成第七章第二节三共同进化与生物多样性的形成周考
周考
讲解周考考试试卷
第七章第一二三节第七章第一二三节第七章单元检测题课时练新课课时练习题处理新课课时练新课课时练新课课时练新课课时练习题讲解习题讲解训练
201*-8-13第七章单元检测题讲解201*-8-14周考201*-8-15周考201*-8-16周考题目处理
201*-8-17必修三第一章第一节细胞生活的环境新课201*-8-18必修三第一章第一节细胞生活的环境课时练201*-8-19必修三第一章第二节内环境稳态的重要性新课201*-8-20必修三第一章第二节内环境稳态的重要性课时练201*-8-21周考201*-8-22周考201*-8-23周考题目处理
201*-8-24必修三第一章第一二节习题讲解201*-8-25必修三第二章第一节通过神经系统的调节新课201*-8-26必修三第二章第一节通过神经系统的调节课时练201*-8-27必修三第二章第二节通过激素的调节新课201*-8-28周考201*-8-29周考
以上计划若遇特殊情况，可往后顺延，希望本组老师能尽量按本计划实施教学，以确保教学的进度和质量。
扩展阅读：暑期高一补课计划课时安排教案
课题: 1．1．1正弦定理
授课类型：新授课
●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。●教学过程Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。A思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？CBⅡ.讲授新课
[探索研究](图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数
abcsinA，sinB，又sinC1,cccabc则cbcsinAsinBsinCabc从而在直角三角形ABC中，CaBsinAsinBsinC的定义，有
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinBbsinA,则同理可得从而
asinAbsinB，CcsinCbsinB，baAcB
sinAsinBsinC(图1．1-3)
1abc
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作jAC，C由向量的加法可得ABACCB
则jABj(ACCB)AB∴jABjACjCBj
0jABcos90A0jCBcos900C
∴csinAasinC，即
acsinAsinCbc同理，过点C作jBC，可得sinBsinC从而
sinAsinBsinC类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
abcasinAbsinBcsinC
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA，bksinB，cksinC；（2）
asinAsinBsinC从而知正弦定理的基本作用为：
bc等价于
asinAbsinB，
csinCbsinB，
asinAcsinC
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如absinA；sinB②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAsinB。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。[例题分析]
例1．在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，
abC1800(AB)
1800(32.0081.80)
66.20；
根据正弦定理，
asinB42.9sin81.80b80.1(cm)；
sinAsin32.00根据正弦定理，
asinC42.9sin66.20c74.1(cm).
sinAsin32.00评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
bsinA28sin400sinB0.8999.
a20因为00＜B＜1800，所以B640，或B1160.⑴当B640时，
C1800(AB)1800(400640)760，
asinC20sin760c30(cm).0sinAsin40⑵当B1160时，
C1800(AB)1800(4001160)240，
asinC20sin240c13(cm).
sinAsin400评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
Ⅲ.课堂练习
第5页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c（答案：1：2：3）
Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：
asinAsinBsinC或aksinA，bksinB，cksinC(k0)（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。Ⅴ.课后作业
第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。●板书设计●授后记
3bcabckk0；
sinAsinBsinC
课题: 1.1.2余弦定理
授课类型：新授课
●教学目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。●教学重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；●教学难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。●教学过程Ⅰ.课题导入
C如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和C，求边cba
AcB
(图1．1-4)
Ⅱ.讲授新课[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A
如图1．1-5，设CBa，CAb，ABc，那么cab，则bc
cccabababb2abCaB2a2ab2ab2从而c2a2b22abcosC(图1．1-5)
同理可证a2b2c22bccosA
b2a2c22accosB
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即a2b2c22bccosA
b2a2c22accosB
c2a2b22abcosC
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
b2c2a2cosA2bca2c2b2cosB2acb2a2c2cosC2ba[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若ABC中，C=900，则cosC0，这时c2a","p":{"h
（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）解：由余弦定理的推论得：
b2c2a2cosA
2bc
87.82161.72134.62287.8161.70.5543,A56020；c2a2b2cosB
2ca
134.62161.7287.822134.6161.70.8398,B32053；
C1800(AB)1800(5602032053)Ⅲ.课堂练习
第8页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]在ABC中，若a2b2c2bc，求角A（答案：A=1200）
Ⅳ.课时小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。Ⅴ.课后作业
①课后阅读：课本第9页[探究与发现]
②课时作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。●板书设计●授后记
课题: 1．1．3解三角形的进一步讨论
授课类型：新授课
●教学目标知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。●教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。●教学难点
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情景]
思考：在ABC中，已知a22cm，b25cm，A1330，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。Ⅱ.讲授新课[探索研究]
b,A，讨论三角形解的情况例1．在ABC中，已知a,分析：先由sinB则C1800(AB)从而cbsinA可进一步求出B；aasinCA1．当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。2．当A为锐角时，
如果a≥b，那么只有一解；
如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若absinA，则有两解；（2）若absinA，则只有一解；（3）若absinA，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinAab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。[随堂练习1]
（1）在ABC中，已知a80，b100，A450，试判断此三角形的解的情况。（2）在ABC中，若a1，c1，C400，则符合题意的b的值有_____个。2（3）在ABC中，axcm，b2cm，B450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）2x22）
例2．在ABC中，已知a7，b5，c3，判断ABC的类型。分析：由余弦定理可知
a2b2c2A是直角ABC是直角三角形a2b2c2A是钝角ABC是钝角三角形a2b2c2A是锐角ABC是锐角三角形（注意：A是锐角ABC是锐角三角形）
解：725232，即a2b2c2，∴ABC是钝角三角形。
[随堂练习2]
（1）在ABC中，已知sinA:sinB:sinC1:2:3，判断ABC的类型。（2）已知ABC满足条件acosAbcosB，判断ABC的类型。
（答案：（1）ABC是钝角三角形；（2）ABC是等腰或直角三角形）例3．在ABC中，A600，b1，面积为
abc3，求的值
sinAsinBsinC2111分析：可利用三角形面积定理SabsinCacsinBbcsinA以及正弦定理
222asinAbsinBcsinCabc
sinAsinBsinC3得c2，2解：由SbcsinA12则a2b2c22bccosA=3，即a3，
从而
abca2
sinAsinBsinCsinAⅢ.课堂练习
（1）在ABC中，若a55，b16，且此三角形的面积S2203，求角C（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积S（答案：（1）600或1200；（2）450）
Ⅳ.课时小结
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
8a2b2c24，求角C
（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。
Ⅴ.课后作业
（1）在ABC中，已知b4，c10，B300，试判断此三角形的解的情况。（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。（3）在ABC中，A600，a1，bc2，判断ABC的形状。
（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程5x27x60的根，求这个三角形的面积。●板书设计●授后记
9课题: 2.2解三角形应用举例
第一课时
授课类型：新授课
●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力●教学重点
实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解●教学难点
根据题意建立数学模型，画出示意图●教学过程Ⅰ.课题导入1、[复习旧知]
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、[设置情境]
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。Ⅱ.讲授新课
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
[例题讲解]
(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=51，ACB=75。求A、B两点的距离(精确到0.1m)
启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。解：根据正弦定理，得
AB=ACsinACBsinABCAB=ACsinACB
sinABC=55sinACB
sinABC=
55sin75
sin(1805175)=55sin75
sin54≈65.7(m)
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？老师指导学生画图，建立数学模型。解略：2akm
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，
ACD=，CDB=，BDA=，在ADC和BDC中，应用正弦定理得
AC=BC=
asin()=asin()
sin[180()]sin()asinasin=sin[180()]sin()计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离AB=AC2BC22ACBCcos
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，
BDA=60
略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些
过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。Ⅲ.课堂练习
课本第14页练习第1、2题Ⅳ.课时小结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解Ⅴ.课后作业
课本第22页第1、2、3题●板书设计●授后记
课题: 2.2解三角形应用举例
第二课时
授课类型：新授课
●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题
过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导讨论归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间
情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力
●教学重点
结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题●教学难点
能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件●教学过程Ⅰ.课题导入
提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题Ⅱ.讲授新课[范例讲解]
例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。
分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。
解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD=a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得
AC=
asinsin()
AB=AE+h=ACsin+h
=asinsin+hsin()例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=5440，在塔底C处测得A处的俯角=501。已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD(精确到1m)
师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？生：需求出BD边。师：那如何求BD边呢？
生：可首先求出AB边，再根据BAD=求得。
解:在ABC中,BCA=90+,ABC=90-,BAC=-,BAD=.根据正弦定理,
BCAB=
sin()sin(90)BCsin(90)BCcos所以AB==
sin()sin()解RtABD中,得BD=ABsinBAD=将测量数据代入上式,得
BCcossin
sin()27.3cos501sin5440BD=
sin(5440501)27.3cos501sin5440=
sin439
≈177(m)
CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)
答:山的高度约为150米.
例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.
师：欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？生：在BCD中
师：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？生：BC边
解:在ABC中,A=15,C=25-15=10,根据正弦定理,
BCAB=,sinAsinCABsinA5sin15BC==sin10sinC≈7.4524(km)
CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m)
答:山的高度约为1047米
Ⅲ.课堂练习：课本第17页练习第1、2、3题Ⅳ.课时小结：利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。Ⅴ.课后作业：1，课本第23页练习第6、7、8题
为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m？
203(m)3●板书设计●授后记
答案：20+
课题: 2.2解三角形应用举例
第三课时
授课类型：新授课
●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。
情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。●教学重点
能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系●教学难点
灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。
Ⅱ.讲授新课[范例讲解]
例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01nmile)
学生看图思考并讲述解题思路
教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。
解：在ABC中，ABC=180-75+32=137，根据余弦定理，
AC=AB2BC22ABBCcosABC=67.5254.02267.554.0cos137≈113.15根据正弦定理,
BC=ACsinCABsinABCACsinCAB=BCsinABC
54.0sin137=
113.15≈0.3255,所以CAB=19.0,75-CAB=56.0
答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15nmile
例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。
师：请大家根据题意画出方位图。生：上台板演方位图（上图）
教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，AC=BC=30，AD=DC=103，
ADC=180-4，103=
sin230。
sin(1804)因为sin4=2sin2cos2
cos2=
3,得2=302=15，
在RtADE中，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE=x，AE=h在RtACE中,(103+x)2+h2=302在RtADE中,x2+h2=(103)2两式相减，得x=53,h=15
在RtACE中,tan2=2=30,=15
h103x=
33答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得
BAC=，CAD=2，
AC=BC=30m,AD=CD=103m在RtACE中，sin2=在RtADE中，sin4=
x---------①304103,---------②
②①得cos2=
3,2=30,=15，AE=ADsin60=152答：所求角为15，建筑物高度为15m
例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型
分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x,AB=14x,AC=9,
ACB=75+45=120
(14x)2=92+(10x)2-2910xcos120化简得32x2-30x-27=0，即x=
39,或x=-(舍去)216所以BC=10x=15,AB=14x=21,
BCsin1201*353又因为sinBAC===AB21421BAC=3813,或BAC=14147（钝角不合题意，舍去），3813+45=8313
答：巡逻艇应该沿北偏东8313方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的
应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解Ⅲ.课堂练习
课本第18页练习Ⅳ.课时小结
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。Ⅴ.课后作业
1、课本第23页练习第9、10、11题
2、我舰在敌岛A南偏西50相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西10的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）●板书设计●授后记
课题: 2.2解三角形应用举例
授课类型：新授课
●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题,掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验●教学重点
推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目●教学难点
利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]
师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在
ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha、hb、hc，那么它们如何用已知边和角表
示？
生：ha=bsinC=csinB
hb=csinA=asinChc=asinB=bsinaA
1ah,应用以上求出的高的公式如ha=bsinC代入，21可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？
211生：同理可得，S=bcsinA,S=acsinB
22师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解Ⅱ.讲授新课[范例讲解]
师：根据以前学过的三角形面积公式S=
例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;
（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。解：（1）应用S=S=
1acsinB，得2114.823.5sin148.5≈90.9(cm2)2b=c
sinCsinBsinB(2)根据正弦定理，
c=bsinC
S=11bcsinA=b2sinCsinA22sinBA=180-(B+C)=180-(62.7+65.8)=51.5
sin65.8sin51.512S=3.16≈4.0(cm2)2sin62.7(3)根据余弦定理的推论，得
c2a2b2cosB=
2ca38.7241.4227.32=
238.741.4≈0.7697
sinB=1cos2B≈10.76972≈0.6384应用S=S≈
1acsinB，得2141.438.70.6384≈511.4(cm2)2例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）？
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
c2a2b2cosB=
2ca1272682882=≈0.7532
212768sinB=10.753220.6578
1acsinB21S≈681270.6578≈2840.38(m2)
2应用S=
答：这个区域的面积是2840.38m2。例3、在ABC中，求证：
a2b2sin2Asin2B;（1）
c2sin2C（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设
a=b=c=k
sinAsinBsinC显然k0，所以
a2b2k2sin2Ak2sin2B左边=c2k2sin2Csin2Asin2B==右边2sinC（2）根据余弦定理的推论，
b2c2a2a2b2c2c2a2b2右边=2(bc+ca+ab)
2bc2ca2ab
=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)
=a2+b2+c2=左边
变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=63,求a及ABC的面积S提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。答案：a=6,S=93;a=12,S=183
变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，（1）acosA=bcosB（2）sinC=
sinAsinB
cosAcosB提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”（1）师：大家尝试分别用两个定理进行证明。
生1：（余弦定理）得
b2c2a2c2a2b2a=b
2bc2cac2(a2b2)a4b4=(a2b2)(a2b2)a2b2或c2a2b2
根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
生2：（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,
sin2A=sin2B,2A=2B,A=B
根据边的关系易得是等腰三角形
师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？
生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180，A+B=90
(2)（解略）直角三角形
Ⅲ.课堂练习
课本第21页练习第1、2题Ⅳ.课时小结
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。Ⅴ.课后作业
课本第23页练习第12、14、15题●板书设计●授后记
⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，，第n项，.
例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.
⒊数列的一般形式：a1,a2,a3,,an,，或简记为an，其中an是数列的第n项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“
1”是这个数列的第“3”项，等等3下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：
1111项1
2345↓↓↓↓↓
序号12345
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：an1来表示其对应关系n即：只要依次用1，2，3代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系
⒋数列的通项公式：如果数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，它的通项公式
n11(1)n1|.可以是an，也可以是an|cos22⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集{1，2，3，，n}）为定义域的函数anf(n)，
*当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、f(2)、f(3)、f(4)，f(n)，6．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是无穷数列2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)3,5,9,17,33,；(2)
426810,,,,,；315356399(3)0,1,0,1,0,1,；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,；
2n1(1)n解：(1)an＝2n＋1；(2)an＝；(3)an＝；
(2n1)(2n1)2(4)将数列变形为1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,,
1(1)n∴an＝n＋；
21、通项公式法
如果数列an的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如数列
的通项公式为
；；；的通项公式为
的通项公式为
2、图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项
为纵坐标，即以
为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列
为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横
坐标为正整数，所以这些点都在
轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可
以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．3、递推公式法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：14＝1+3第2层钢管数为5；即：25＝2+3第3层钢管数为6；即：36＝3+3第4层钢管数为7；即：47＝4+3
第5层钢管数为8；即：58＝5+3第6层钢管数为9；即：69＝6+3第7层钢管数为10；即：710＝7+3
若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且ann3(1≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即a14；a2541a11；a3651a21依此类推：anan11（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。递推公式：如果已知数列an的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an1（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89递推公式为：a13,a25,anan1an2(3n8)
数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用示第一项，用4、列表法
．简记为
[范例讲解]
．表示第一项，，用
表示第项，依次写出成为
表a11例3设数列an满足写出这个数列的前五项。1a1(n1).nan1解：分析：题中已给出an的第1项即a11，递推公式：an11an1
解：据题意可知：a11,a21[补充例题]
158112,a52,a31，a41a335a1a23例4已知a12，an12an写出前5项，并猜想an．
法一：a12a22222a322223，观察可得an2n法二：由an12an∴an2an1即
an2an1∴
anan1an2a22n1an1an2an3a1∴ana12n12n
[补充练习]
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1)a1＝0,an1＝an＋(2n－1)(n∈N)；(2)a1＝1,an1＝
2an
(n∈N)；
an2
(3)a1＝3,an1＝3an－2(n∈N).
解：(1)a1＝0,a2＝1,a3＝4,a4＝9,a5＝16,∴an＝(n－1);(2)a1＝1,a2＝
21212222,a3＝,a4＝,a5＝,∴an＝;352436n1012(3)a1＝3＝1+23,a2＝7＝1+23,a3＝19＝1+23,
a4＝55＝1+233,a5＝163＝1+234,∴an＝1＋23n1;
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，
这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{an},若an－an1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d为公差。
2．等差数列的通项公式：ana1(n1)d【或anam(nm)d】
等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列an的首项是a1，公
差是d，则据其定义可得：
a2a1d即：a2a1d
a3a2d即：a3a2da12da4a3d即：a4a3da13d
由此归纳等差数列的通项公式可得：ana1(n1)d
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an。由上述关系还可得：ama1(m1)d即：a1am(m1)d
则：ana1(n1)d=am(m1)d(n1)dam(nm)d即等差数列的第二通项公式anam(nm)d∴d=
aman
mn[范例讲解]
例1⑴求等差数列8，5，2的第20项
⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？
解：⑴由a18,d58253n=20，得a208(201)(3)49⑵由a15,d9(5)4得数列通项公式为：an54(n1)由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得40154(n1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项
例3已知数列{an}的通项公式anpnq，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看anan1（n≥2）是不是一个与n无关的常数。
解：当n≥2时,（取数列an中的任意相邻两项an1与an（n≥2））
anan1(pnq)[p(n1)q]pnq(pnpq)p为常数
∴{an}是等差数列，首项a1pq，公差为p。
注：①若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，
②若p≠0,则{an}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数
y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.
③数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)，称其为第3
通项公式。
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。
[补充练习]
1.（1）求等差数列3，7，11，的第4项与第10项.
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.
a1=3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为：解：根据题意可知：（n－1）×4,即an=4nan=3+
－1（n≥1,n∈N*）∴a4=4×4－1=15,a10=4×10－1=39.
评述：关键是求出通项公式.
（2）求等差数列10，8，6，的第20项.解：根据题意可知：a1=10,d=8－10=－2.
∴该数列的通项公式为：（n－1）×（－2）,即：an=10+an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28.
评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.
（3）100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得an等于这一数.
解：根据题意可得：a1=2,d=9－2=7.∴此数列通项公式为：an=2+（n－1）×7=7n－5.
令7n－5=100,解得：n=15,∴100是这个数列的第15项.
（4）－20是不是等差数列0，－3说明理由.
1，－7，的项？如果是，是第几项？如果不是，2177∴此数列的通项公式为：an=－n+,222777747令－n+=－20,解得n=因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这
22227个数列的项.
3．有几种方法可以计算公差d
解：由题意可知：a1=0,d=－3①d=an－an1②d=
ana1aam③d=nn1nm问题：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么
条件？
由定义得A-a=b-A，即：Aab229
ab，则A-a=b-A2aba,b,成等差数列由此可可得：A2反之，若A[补充例题]
例在等差数列{an}中，若a1+a6=9,a4=7,求a3,a9.
分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手解：∵{an}是等差数列
∴a1+a6=a4+a3=9a3=9－a4=9－7=2
∴d=a4－a3=7－2=5
∴a9=a4+(9－4)d=7+5*5=32已知数列{an}是等差数列
∴a3=2,a9=32
（1）2a5a3a7是否成立？2a5a1a9呢？为什么？（2）2anan1an1(n1)是否成立？据此你能得到什么结论？（3）2anankank(nk0)是否成立？？你又能得到什么结论？结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则，amanapaq即m+n=p+qamanapaq(m,n,p,q∈N)
但通常①由amanapaq推不出m+n=p+q，②amanamnⅢ.课堂练习
1.在等差数列an中，已知a510，a1231，求首项a1与公差d2.在等差数列an中,若a56a815求a141．等差数列的前n项和公式1：Snn(a1an)2证明：Sna1a2a3an1an①
Snanan1an2a2a1②
①+②：2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(anan)∵a1ana2an1a3an2∴2Snn(a1an)由此得：Snn(a1an)2从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性2．等差数列的前n项和公式2：Snna1n(n1)d2用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an但ana1(n1)d代入公式1即得：Snna1n(n1)d2此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d（有时比较有用）由例3得与an之间的关系：
由Sn的定义可知，当n=1时，S1=a1；当n≥2时，an=Sn-Sn1，即an=S1(n1).
SnSn1(n2)n(a1an)2n(n1)d21.等差数列的前n项和公式1：Sn2.等差数列的前n项和公式2：Snna1结论：一般地，如果一个数列an,的前n项和为Snpn2qnr，其中p、q、r为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？由Snpn2qnr，得S1a1pqr
当n2时anSnSn1=(pnqnr)[p(n1)q(n1)r]=2pn(pq)
22danan1[2pn(pq)][2p(n1)(pq)]=2p
对等差数列的前n项和公式2：Snna1n(n1)d可化成式子：2Snd2dn(a1)n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式2231
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）利用an:
当an>0，d0，d
“an≠0”是数列｛an｝成等比数列的必要非充分条件．3q=1时，{an}为常数。
2.等比数列的通项公式1:ana1qn1(a1q0)由等比数列的定义，有：
a2a1q；
a3a2q(a1q)qa1q2；a4a3q(a1q2)qa1q3；
anan1qa1qn1(a1q0)3.等比数列的通项公式2:anamqm1(a1q0)4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
探究：课本P56页的探究活动等比数列与指数函数的关系等比数列与指数函数的关系：
等比数列｛an｝的通项公式ana1qn1(a1q0),它的图象是分布在曲线y（q>0）上的一些孤立的点。
当a10，q>1时，等比数列｛an｝是递增数列；当a10，0q1，等比数列｛an｝是递增数列；当a10，0q1时，等比数列｛an｝是递减数列；当a10，q>1时，等比数列｛an｝是递减数列；
当q0时，等比数列｛an｝是摆动数列；当q1时，等比数列｛an｝是常数列。[补充练习]
2.（1）一个等比数列的第9项是
a1xqq41，公比是－，求它的第1项（答案：a1=2916）93（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：a1=
a2=5,qa4=a3q=40）
1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数
G为a与b的等比中项.即G=±ab（a,b同号）
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则
GbG2abGab，aG反之，若G=ab,则≠0）
例题证明：设数列an的首项是a1，公比为q1;bn的首项为b1，公比为q2，那么数列anbn的第n项与第n+1项分别为：
2Gb2即a,G,b成等比数列。∴a,G,b成等比数列G=ab（ab，
aGa1q1n1b1q2与a1q1b1q2即为a1b1(q1q2)n1与a1b1(q1q2)nn1nnan1bn1a1b1(q1q2)nq1q2.
anbna1b1(q1q2)n1它是一个与n无关的常数，所以anbn是一个以q1q2为公比的等比数列拓展探究：
对于例题中的等比数列{an}与{bn}，数列{
an}也一定是等比数列吗？bnana，则cn1n1bnbn1探究：设数列{an}与{bn}的公比分别为q1和q2，令cnacn1bn1abq(n1)(n1)1，所以，数列{n}也一定是等比数列。
anbncnanbnq2bnan122已知数列{an}是等比数列，（1）a5a3a7是否成立？a5a1a9成立吗？为什么？
2（2）anan1an1(n1)是否成立？你据此能得到什么结论？
2anankank(nk0)是否成立？你又能得到什么结论？
结论：2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则amanapak在等比数列中，m+n=p+q，am,an,ap,ak有什么关系呢？由定义得：ama1qm1ana1qn1apa1q2p1aka1qk1
amana1qmn2，apaka1qpk2则amanapak
1、等比数列的前n项和公式：
2
aanqa1(1qn)当q1时，Sn①或Sn1②
1q1q当q=1时，Snna1
当已知a1,q,n时用公式①；当已知a1,q,an时，用公式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列a1,a2a3,an它的前n项和是
Sna1a2a3an
Sna1a2a3an由n1aaq1n2n2n1Sna1a1qa1qa1qa1q得23n1nqSna1qa1qa1qa1qa1q(1q)Sna1a1qn
aanqa1(1qn)∴当q1时，Sn①或Sn1②
1q1q当q=1时，Snna1
公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
aa2a3nqa1a2an1a2a3anSa1nq
a1a2an1Snan根据等比的性质，有
即Sna1q(1q)Sna1anq（结论同上）
Snan围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．公式的推导方法三：
Sna1a2a3an＝a1q(a1a2a3an1)＝a1qSn1＝a1q(Snan)
(1q)Sna1anq（结论同上）
Ⅱ.讲授新课
1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，
2求证：S2nS2nSn(S2nS3n)
2、设a为常数，求数列a，2a，3a，，na，的前n项和；（1）a=0时，Sn=0
（2）a≠0时，若a=1，则Sn=1+2+3++n=
n-1
n23n
1n(n1)2若a≠1，Sn-aSn=a（1+a++a-na），Sn=
ann1[1(n1)ana]2(1a)
1、数列
[数列的通项公式]ana1S1(n1)[数列的前n项和]Sna1a2a3an
SS(n2)n1n
2、等差数列
[等差数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。[等差数列的判定方法]
1．定义法：对于数列an，若an1and(常数)，则数列an是等差数列。2．等差中项：对于数列an，若2an1anan2，则数列an是等差数列。[等差数列的通项公式]
如果等差数列an的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为ana1(n1)d。[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。
n(a1an)n(n1)d[等差数列的前n项和]1．Sn2.Snna122[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。[等差中项]
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：Aab或2Aab2[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。[等差数列的性质]
1．等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，公差为d，则有anam(nm)d
2．对于等差数列an，若nmpq，则anamapaq。
a1ana,a2,a3,,an2,an1,an
，如图所示：1a2an1*也就是：a1ana2an1a3an23．若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，kN，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等差数列。如下图所示：
S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3kSk
S2kSk36
S3kS2k
3、等比数列
[等比数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q0）。[等比中项]
如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
Gb2，即Gab。aGa[等比数列的判定方法]定义法：对于数列an，若n1q(q0)，则数列an是等比数列。
an也就是，如果是的等比中项，那么
22．等比中项：对于数列an，若anan2anan是等比数列。1，则数列[等比数列的通项公式]
如果等比数列an的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项为ana1qn1。[等比数列的前n项和]
a1(1qn)a1anqS(q1)123当q1时，Snna1S○n○n1q(q1)○1q[等比数列的性质]
1．等比数列任意两项间的关系：如果an是等比数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，公比为q，则有anamqnm
3．对于等比数列an，若nmuv，则anamauav
a1ana,a2,a3,,an2,an1,an
。如图所示：1a2an1也就是：a1ana2an1a3an24．若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成
等比数列。如下图所示：
S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3kSkS2kSkS3kS2k4、数列前n项和（1）重要公式：
（3）等比数列中，
123nn(n1)；2n(n1)(2n1)；
6SmnSnqnSmSmqmSn
（4）裂项求和：
122232n2111；
n(n1)nn111323n3[n(n1)]22（nn!(n1)!n!）
（2）等差数列中，SmnSmSnmnd
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