国培第二阶段作业
一、在小学数学中，图形的面积是如何编排的？分析在面积公式的推导中所蕴含的数学思想和方法。
小学数学87班：王庭美
（一）小学数学中图形面积的编排
长方形是所有规则图形的基础（S=ab）。由长方形可以推导出三个图形：正方形（特殊长方形，S=a），平行四边形（平移后成为长方形，S=ah），圆形（切成N等分约是一个长方形，所以公式就是S=πr）。然后根据平行四边形推导出来三角形（两个一样的三角形可以拼成一个平行四边形，S=ah÷2），梯形（同三角形原因，两个一样的梯形可以拼成一个平行四边形，S=（a+b)h÷2）。这其中包括以下几个要点：
1、长方形面积公式是基础
2、图形转化是推到面积公式的常用方法。3、在图形的转化中，应用了平移旋转4、有些曲线图形可以转化成直线图形。（二）在面积公式的推导中所蕴含的数学思想和方法
长方形和正方形的面积：统一思想（用标准单位测量面积）；数形结合思想（把测量过程转化成计算方法）。
平行四边形的面积：转化思想（突出转化的可能性：转化前后图形关系的比较）；对应思想（转化后长方形的各部分分别相当于原图形的哪个部分）。
三角形的面积：转化思想；对应思想；一般化思想（从个例到一般，突出各种三角形都能转化成平行四边形）。
梯形的面积：转化思想（转化方法的灵活性：梯形可通过多种方式转化成已经学过的图形如三角形、长方形、平行四边形）；整体化思想（用梯形公式统整所有已学的面积公式）
圆的面积：转化思想（转化的特殊方法），极限思想（无限切分与无限接近）在单个图形教学中，转化思想的渗透是一以贯之的基本思路，此处的转化，不但牵涉到用转化的方法解决具体图形的面积计算问题，也可在整体上实现将新知转化为旧知从而实现问题解决的数学基本策略的初步尝试。
单个图形教学中，还可重视函数思想的渗透（影响面积的要素是什么？其中哪些要素对面积的影响较大？）
三角形和梯形的面积教学中，可突出变与不变思想的渗透（等积变形、影响面积的某要素的变化及不同图形要素间的不同导致的面积变化）
二、方格纸和坐标的关系是怎样的？你认为在小学阶段是如何体现的？
（一）方格纸和坐标的关系
方格纸是坐标的基础，方格纸让学生了解了交点数值，从左向右、从下向上的看图方法，而这些都是学习坐标轴时有用的。方格纸左边线的延生就是纵轴，下边线的延生就是横轴。方格纸相对来说是具体、形象的，这为过渡到抽象的坐标系建立了表象。（二）我认为小学阶段方格纸和坐标的关系是这样体现的体现在以下方面
1、在情境中，由具体的方格纸建立横轴、纵轴的概念，从而形成平面直角坐标系。2、由平面直角坐标系中的方格确定一个物体的位置，并用数对表示之。3、结合生活情境体验数对的实际意义，
扩展阅读：国培第二阶段数学作业
图形与几何数学思想和展现
水城县勺米乡果立普小学裴倩
小学生所处的年龄阶段是形象化思维高速发展的时期，在教学中，通过具体形象的展现以及演示，既符合学生的发展特点同时又能达到良好的教育效果，从而使教学事半功倍，更能引起学生学习的兴趣和主动性。
数形结合是我国传统数学的基本思想方法之一，在数学教学历史中具有举足轻重的地位。著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非。”数形结合，主要指的是数与形之间一一对应关系，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过以形助数或者以数助形将抽象转化为具体可感知的事物，将复杂的问题简单化。
小学数学从一开始就是采用此种思想教学，如阿拉伯数字的认识，是将数字比作常见而具体的形象来帮助学生记忆的，因而在小学数学图形与几何方面，这一数学思想更是作为主要思想方法来展现。
一、小学数学中图形的面积编排
小学数学中图形的面积是从以下三个层面进行编排的：
1、感知物体表面的大小；2、比较平面图形面积的大小;
3、体验周长与面积的区别，这三个层面从数形思想出发，循序渐进，逐步深入，帮助学生通过直观的形象来准确理解面积的含义：
长方形是所有规则图形的基础，长方形面积=长×宽。通过长方形可以推导出三个图形：正方形（特殊长方形，正方形=边长×边长），平行四边形（拉伸后成为长方形，平行四边形=底面积×高），圆形（切成N等分约是一个长方形，所以公式就是S=πr）。然后根据平行四边形推导出三角形面积（两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，S三角形=ah/2），梯形（S=（a+b)h/2两个完全一样的三角形可以组成一个平行四边形）
1、长方形面积公式是基础。
2、图形转化是推到面积公式的常用方法。如在平行四边形的面积推导后，学生根据已学过的平行四边形的面积公式，独立思考三角形的面积推导。在这个过程中，教师占主导地位，引导学生理解、思考并发现问题，最后通过自己的思维解决问题，从而获得面积公式，更重要的是获得自行完成问题解决过程的体验。
3、在图形的转化中，应用了平移旋转。
4、有些曲线图形可以转化成直线图形。如将圆形转化为长方形。在以上面积的推导过程中体现了以下思想：
长方形的面积（正方形）：统一思想（用标准单位测量面积）；数形结合思想（把测量过程通过图形转化成计算方法）。
平行四边形的面积推导体现以下思想：转化思想（转化成所学的长方形的面积，突出转化的可能性：转化前后图形关系的比较）；对应思想（转化后长方形的各部分分别相当于原图形的哪个部分）。
三角形的面积推导体现以下思想：转化思想；对应思想；一般化思想（从个例到一般，突出各种三角形都能转化成平行四边形）。
梯形的面积推导体现以下思想：转化思想（转化方法的灵活性：梯形可通过多种方式转化成已经学过的图形如三角形、长方形、平行四边形）；整体化思想（用梯形公式统整所有已学的面积公式）
圆的面积推导体现以下思想：转化思想（转化的特殊方法），极限思想（无限切分与无限接近）
总之，各图形的面积推导都是建立在学生已有知识的基础上层层递进实施的，都是从学生已有图形面积的公式中转化得出的。
二、方格纸和坐标的关系方格纸是坐标的基础，从方格纸上让学生了解了交点，数值，从左向右从下向上的看图方法，而这些都是学习坐标轴时有用的。方格纸左边线的延生就是纵轴，下线延生就是横轴。方格纸相对来说是具体、形象的，这为过渡到抽象的坐标系建立了表象。
在小学阶段，方格纸是小学生熟知的材料，其中，内含着坐标系的基本思想，只不过，没有明确标出x、y轴的箭头，而且，其单位也是通过一个一个的格子来体现的。应该说，“在方格纸操作”是坐标思想在小学几何学中的第一个阶段。
几何变换的教学，主要在方格纸上进行，即沿着平行、垂直于方格纸的两个格的边缘线进行，不涉及直接按斜线方向运动的情形（可以先按照平行方向运动若干个格，在沿着垂直方向运动若干个格）。
综上所述，数学思想方法是对数学知识发生过程的提炼、抽象、概括和升华，无论是数形结合思想还是其他类思想，都是分析与综合下的灵活运用，是对数学规律的理想认识和形象展现。因此，在教学中，教师应当注重培养数学的数学思想与智慧，使学生掌握数学思想方法，体会其中的奥秘，紧密联系实际，为将来的学习打好基础。
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