数学必修五知识点总结归纳

数学必修五知识点总结归纳

必修五知识点总结归纳

（一）解三角形

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外

abc2R．sinsinsinC正弦定理的变形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc②sin，sin，sinC；

2R2R2R③a:b:csin:sin:sinC；

abcabc④．

sinsinsinCsinsinsinC1112、三角形面积公式：SCbcsinabsinCacsin．

222接圆的半径，则有

3、余弦定理：在C中，有abc2bccos，bac2accos，

222222c2a2b22abcosC．

b2c2a2a2c2b2a2b2c24、余弦定理的推论：cos，cos，cosC．

2bc2ab2ac5、射影定理：abcosCccosB,bacosCccosA,cacosBbcosA

6、设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90；②若abc，则C90；③若abc，则C90．

222222222(二)数列

1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、有穷数列：项数有限的数列．4、无穷数列：项数无限的数列．

5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．an1an06、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．an1an07、常数列：各项相等的数列．

8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．9、数列的通项公式：表示数列an的第n项与序号n之间的关系的公式．

10、数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系的公式．11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．

12、由三个数a，，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为a与b的等差中项．若bac，则称b为a与c的等差中项．213、若等差数列an的首项是a1，公差是d，则ana1n1d．14、通项公式的变形：①anamnmd；②a1ann1d；③d④nana1；n1ana1aam1；⑤dn．dnm*15、若an是等差数列，且mnpq（m、n、p、q），则amanapaq；*若an是等差数列，且2npq（n、p、q），则2anapaq．

16、等差数列的前n项和的公式：①Snna1annn1d．；②Snna122*17、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2nn，则S2nnanan1，且

S偶S奇nd，

S奇an．S偶an1*②若项数为2n1n，则S2n12n1an，且S奇S偶an，

S奇nS偶n1（其中S奇nan，S偶n1an）．

18、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．

19、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比项．若Gab，则称G为a与b的等比中项．注意：a与b的等比中项可能是G20、若等比数列an的首项是a1，公比是q，则ana1qn1．21、通项公式的变形：①anamqnm；②a1anqn12；③qn1ananm；④qn．a1am22、若an是等比数列，且mnpq（m、n、p、q*），则amanapaq；

2若an是等比数列，且2npq（n、p、q*），则anapaq．

na1q123、等比数列an的前n项和的公式：Sna11qnaaq．

1nq11q1q*24、等比数列的前n项和的性质：①若项数为2nn，则

S偶S奇q．

②SnmSnqSm．③Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列（Sn0）．

3

n（三）不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

2、不等式的性质：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0anbnn,n1；⑧ab0nanbn,n1．

3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

判别式b4ac201*二次函数yax2bxca0的图象有两个相异实数根一元二次方程axbx2c0a0的根bx1,22a有两个相等实数根x1x2bx1x22a没有实数根ax2bxc0一元二次不等式的解集xxx或xx12a0ax2bxc0bxx2aRa0若二次项系数为负，先变为正5、设a、b是两个正数，则

xx1xx2ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数．

6、均值不等式定理：若a0，b0，则ab2ab，即

22abab．2a2b27、常用的基本不等式：①ab2aba,bR；②aba,bR；

2a2b2abab③aba0,b0；④a,bR．

2228、极值定理：设x、y都为正数，则有

22s2⑴若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值．

4⑵若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p．

扩展阅读：高中数学必修5知识点总结(精品)

必修5知识点总结

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有

abc2R．sinsinsinC2、正弦定理的变形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc，sin，sinC；③a:b:csin:sin:sinC；2R2R2Rabcabc④．

sinsinsinCsinsinsinC②sin（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：当无交点则B无解、当有一个交点则B有一解、当有两个交点则B有两个解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：当a但不能到达，在岸边选取相距3千米的C、D两点，并测得∠ACB=75,∠BCD=45,∠ADC=30,

∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。本题解答过程略

附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．8、数列的项：数列中的每一个数．9、有穷数列：项数有限的数列．10、无穷数列：项数无限的数列．

11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1>an）．12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+1anamana11；⑤d④nnmd．

21、若an是等差数列，且mnpq（m、n、p、q*），则aman差数列，且2npq（n、p、q*），则2anapaq；若an是等

apaq．

na1anSn2；②

22、等差数列的前n项和的公式：①

Snna1nn1d．③2sna1a2an

*23、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2nn，则S2nnanan1，且S偶S奇nd，

S奇anS偶an1．

*②若项数为2n1n，则S2n12n1an，且S奇S偶an，

S奇n（其中S奇nan，S偶n1．S偶n1an）

24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符号表示：

an1q（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位上an的值同号）

注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：

2①anan1q(n2,q为常数,且0)②anan1an1(n2，anan1an10)

③ancqn(c,q为非零常数).

④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x1）成等比数列.

25、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若Gab，则称G为a与b的等比中项．（注：由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）26、若等比数列an的首项是a1，公比是q，则ana1qn1．

n1nmaaqaaq27、通项公式的变形：①n；②1；③qn1mn222annmanq；④．ama1*28、若an是等比数列，且mnpq（m、n、p、q），则amanapaq；若an是等比

数列，且2npq（n、p、q*），则an2apaq．

na1q129、等比数列an的前n项和的公式：①Sna11qnaaq．②sn1nq11q1qs1a1(n1)30、对任意的数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：an

ss(n2)n1na1a2an

[注]：①ana1n1dnda1d（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）.②等差{an}前n项和SnAn2Bnn2a1d2ddn→可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若22d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.

③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）．．附：几种常见的数列的思想方法：

⑴等差数列的前n项和为Sn，在d0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列等差数列等比数列数列等差数列等比数列我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。例题：1、等差数列分析：因为

d2dn(a1)n利用二次函数的性质求n的值.22通项公式对应函数（时为一次函数）（指数型函数）前n项和公式对应函数（时为二次函数）（指数型函数）中，，则.

是等差数列，所以是关于n的一次函数，

一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,)三点共线，

所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如上），这里利用等差数

列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。例题：2、等差数列

中，

，前n项和为

，若

，n为何值时

最大？

分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，

是抛物线=上的离散点，根据题意，，

则因为欲求最大。

最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，

例题：3递增数列，对任意正整数n，

递增得到：

恒成立，设

恒成立，求

恒成立，即，则只需求出。

，因为是递的最大值即

分析：构造一次函数，由数列恒成立，所以可，显然

有最大值

对一切

对于一切

，所以看成函数

的取值范围是：

构造二次函数，，它的定义域是

增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)

为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴的左侧

在

也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，

，得

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前111n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：1,3,...(2n1)n,...

242⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，

公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.

2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证

anan1(an)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证an122an1anan2(an1anan2)nN都成立。

3.在等差数列｛an｝中,有关Sn的最值问题：(1)当a1>0,dsn=121222323n2n①

把①式两边同乘2后得

2sn=122223324n2n1②

用①-②，即：

sn=121222323n2n①2sn=122223324n2n1②

得

sn1222232nn2n12(12n)n2n1122n12n2n1(1n)2n12∴sn(n1)2n12

4.倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5.常用结论

n(n1)121）:1+2+3+...+n=2）1+3+5+...+(2n-1)=n3）1323n3n(n1)

224）123n222221111n(n1)(2n1)5）6n(n1)nn11111()

n(n2)2nn26）

31、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

32、不等式的性质：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

nn⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0abn,n1；

1111()(pq)pqqppq⑧ab0nanbn,n1．

33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式（高次不等式）的解法穿根法（零点分段法）

求解不等式：a0xna1xn1a2xn2an0(0)(a00)

解法：①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“

由图可看出不等式x3x6x80的解集为：

22x|2x1,或x4

例题：求解不等式解：略

一元二次不等式的求解：

特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的讨论.

二次函数0002

(x1)(x2)(x5)0的解集。

(x6)(x4)yax2bxc（a0）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根Raxbxc02a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)x1x2b2abxxx1或xx2xx2axx1xx2对于a0(或（2）转化为整式不等式（组）

f(x)f(x)f(x)g(x)00f(x)g(x)0;0g(x)0g(x)g(x)

例题：求解不等式：解：略例题：求不等式

11xx1的解集。x13.含绝对值不等式的解法：基本形式：

①型如：|x|＜a(a＞0)的不等式的解集为：x|axa②型如：|x|＞a(a＞0)的不等式的解集为：x|xa,或xa变型：

其中-c3x23x23x2(x2)(x3)10xR③当x2时，（去绝对值符号）原不等式化为：

x2x292x92(x2)(x3)10x2由①②③得原不等式的解集为：x|函数图像法：

令f(x)|x2||x3|

119x（注：是把①②③的解集并在一起）22yf(x)=1052x1(x3)则有：f(x)5(3x2)

2x1(x2)在直角坐标系中作出此分段函数及f(x)10的图像如图1132o292x由图像可知原不等式的解集为：x|2

119x224.一元二次方程ax+bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：y设ax+bx+c=0的两根为、，f(x)=ax+bx+c,那么：

22

0①若两根都大于0，即0,0，则有0

0

o对称轴x=xb2a0b②若两根都小于0，即0,0，则有0

2af(0)0

11

y对称轴x=b2aox

③若两根有一根小于0一根大于0，即0，则有f(0)0

④若两根在两实数m,n之间，即mn，

yoxy0bnm则有2af(m)0omf(n)0⑤若两个根在三个实数之间，即mtn，

yX=nb2axf(m)0则有f(t)0

f(n)0

常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数

例如：若方程x22(m1)xm22m30有两个正实数根，求m的取值范围。

omX=tnxb2a4(m1)24(m22m3)00m1解：由①型得02(m1)0m1m3

0m1,或m3m22m30所以方程有两个正实数根时，m3。

又如：方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范围。

225522(1)4(m1)00m解：因为有两个不同的根，所以由2221m12f(1)011m101m135、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．

36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y，所有这样的有序数对x,y构成的集合．

38、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0，坐标平面内的点x0,y0．①若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方．②若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的下方．39、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0．（一）由B确定：

0表示直线xyC0上方的区域；xyC0表示直线①若0，则xyCxyC0下方的区域．

0表示直线xyC0下方的区域；xyC0表示直线②若0，则xyCxyC0上方的区域．

（二）由A的符号来确定：

先把x的系数A化为正后，看不等号方向：

①若是“>”号，则xyC0所表示的区域为直线l:xyC0的右边部分。②若是“线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．可行解：满足线性约束条件的解x,y．可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数．2abab．42、均值不等式定理：若a0，b0，则ab2ab，即241、设a、b是两个正数，则

43、常用的基本不等式：①ab2aba,bR22a2b2；②aba,bR；③

2ababa0,b0；

2a2b2ab④a,bR．

2244、极值定理：设x、y都为正数，则有：

22s2⑴若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值．⑵若xyp（积为定值），则当xy4时，和xy取得最小值2p．例题：已知x解：∵x51，求函数f(x)4x2的最大值。44x55，∴4x504由原式可以化为：

f(x)4x552

当54x1111(54x)3[(54x)]3(54x)31324x554x54x54x132，即(54x)1x1，或x(舍去）时取到“=”号54x2也就是说当x1时有f(x)max2

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