大一上学期高数期末考试题
高数期末考试
一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
已知cosxx是f(x)的一个原函数,则f(x)cosxxdx1.
.212.
limnn(cosncos22ncos2nn).
122xarcsinx1dx3.－11x22.
二、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)4.
设(x)1x1x，(x)333x，则当x1时（ ）.
（A）(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）(x)与(x)是等价无穷小；
（C）(x)是比(x)高阶的无穷小；（D）(x)是比(x)高阶的无穷小.
5.设f(x)cosx(xsinx),则在x0处有( ).
（A）f(0)2（B）f(0)1（C）f(0)0（D）f(x)不可导.
6.若
F(x)x0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且
f(x)0，则（）.
（A）函数F(x)必在x0处取得极大值；（B）函数F(x)必在x0处取得极小值；
（C）函数F(x)在x0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线yF(x)的拐点；（D）函数F(x)在x0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线yF(x)的拐点。
f(x)是连续函数，且f(x)x217.
设0f(t)dt,则f(x)(x2x2（A）2（B）22（C）x1（D）x2.
8.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.设函数yy(x)由方程exysin(xy)1确定，求y(x)以及y(0).
求x710.
1x(1x7)dx.
)11.12.
xxe， x0设f(x) 求22xx，0x113f(x)dx．
xA10设函数f(x)连续，，且x0g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.
g(x)f(xt)dtlimf(x)，A为常数.求
13.求微分方程xy2yxlnx满足14.已知上半平面内一曲线yy(x)9的解.
四、解答题（本大题10分）
(x0)，过点(0,1)y(1)1，且曲线上任一点
M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成
面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）
15.过坐标原点作曲线
ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围
成平面图形D.
(1)求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积
V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16.设函数
qf(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q[0,1]，
10f(x)dxqf(x)dx0.
17.设函数
f(x)在0,上连续，且
0f(x)dx0，0f(x)cosxdx0.
证明：在0,内至少存在两个不同的点1,2，使f(1)f(2)0.（提
xF(x)示：设
0f(x)dx）
解答
一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
1、D2、A3、C4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
e35.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导
xy)e(1y61cosx2 ()cx.6.2.7.2.8.
.coxys(xy)(y)xcos(xy)
x0,y0，y(0)1
767xdxdu10.解：ux y(x)eexyxyycos(xy)原式17u(1u)(1u)du17(1u2u1)du
17171(ln|u|2ln|u1|)cln|x|7
2xxdx2227ln|1x|C711.解：3f(x)dxxd(ex03xe10xdx10
03)01(x1)dx
xxxee302cosd (令x1sin)2
12.解：由f(0)0，知g(0)0。
4x1xtu2e130f(u)duxg(x)
g(x)0f(xt)dtx(x0)
xf(x)x02f(u)du(x0)
xg(0)lim0x0f(u)dux2limxf(x)2xx0A2
A2xf(x)x02f(u)duA
limg(x)limx0A2x0，g(x)在x0处连续。
dy13.解：dx
2x2ylnx2
lnxdxC)2yexdx(exdx
13xlnx19C,19xCx1
xlnx19x3，
四、解答题（本大题10分）
y(1)0y14.解：由已知且
y2ydxy0x，
23,将此方程关于x求导得y2yy
2特征方程：rr20
解出特征根：r11,r22.
2x其通解为
yC1exC2e
C213
代入初始条件y(0)y(0)1，得
3故所求曲线方程为：
五、解答题（本大题10分）
y2exC1e2x13
1x015.解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程：由于切线过原点，解出x0e1ylnx0(xx0)
，从而切线方程为：
12e1y1ex
A则平面图形面积
(e0yey)dy
V113（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1，则
e2曲线ylnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2
1V2(ee0y)dy2
VV1V26D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
q1qq(5e12e3)2
116.证明：0qf(x)dxqf(x)dx010f(x)dxq(f(x)dx0qf(x)dx)
(1q)f(x)dxqf(x)dx0q
f(1)f(2)1[0,q]2[q,1]q(1q)f(1)q(1q)f(2)1故有：
q00f(x)dxqf(x)dx0证毕。
x17.
F(x)证：构造辅助函数：
0f(t)dt,0x。其满足在[0,]上连续，在(0,)上可导。F(x)f(x)，且F(0)F()0由题设，有
0f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|00sin0xF(x)dx，
有F(x)sin0xdx0，由积分中值定理，存在(0,)，使F()sin0即
F()0
综上可知F(0)F()F()0,(0,).在区间[0,],[,]上分别应用罗尔定理，知存在
1(0,)和2(,)，使F(1)0及F(2)0，即f(1)f(2)0.
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大一上学期高数期末考试卷
一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1.设f(x)cosx(xsinx),则在x0处有( ).
（A）f(0)2（B）f(0)1（C）f(0)0（D）f(x)不可导.
2.设(x)1x1x，(x)333x，则当x1时（ ）.
（A）(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）(x)与(x)是等价无穷小；
（C）(x)是比(x)高阶的无穷小；（D）(x)是比(x)高阶的无穷小.
x3.若
F(x)0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且
f(x)0，则（）.
（A）函数F(x)必在x0处取得极大值；（B）函数F(x)必在x0处取得极小值；
（C）函数F(x)在x0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线yF(x)的拐点；（D）函数F(x)在x0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线yF(x)的拐点。4.
设f(x)是连续函数，且f(x)x210f(t)dt,则f(x)(x2x2（A）2（B）22（C）x1（D）x2.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）25.lim(13x)sinxx0.
6.已知cosxx是f(x)的一个原函数,则f(x)cosx.xdx7.
nlimn(cos2ncos22ncos2n1n).
12x2arcsinx1－11x2dx8.2.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9.设函数yy(x)由方程
exysin(xy)1确定，求y(x)以及y(0).
)1x7求dx.7x(1x)10.
xxe， x01设f(x) 求f(x)dx．322xx，0x111.
1012.设函数f(x)连续，，且x0g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.
g(x)f(xt)dtlimf(x)Ax，A为常数.求
1y(1)xy2yxlnx9的解.13.求微分方程满足
四、解答题（本大题10分）
14.已知上半平面内一曲线yy(x)(x0)，过点(0,1)，且曲线上任一点
M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）
15.过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围
成平面图形D.
(1)求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积
V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16.设函数f(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q[0,1]，
q1f(x)dxqf(x)dx00.
17.设函数f(x)在0,上连续，且0xf(x)dx0，0f(x)cosxdx0.
证明：在0,内至少存在两个不同的点1,2，使f(1)f(2)0.（提
F(x)示：设
0f(x)dx）
解答
一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
1cosx2 ()c6e35..6.2x.7.2.8..
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导
xy)coxys(xy)(y)e(1yexyycos(xy)y(x)xyexcos(xy)
x0,y0，y(0)177x6dxdu10.解：ux 1(1u)112原式du()du7u(1u)7uu11(ln|u|2ln|u1|)c712ln|x7|ln|1x7|C77
11.解：130f(x)dxxedx3x100x102xx2dx
xd(e)3031(x1)2dx02xx2(令x1sin)xeecosd
412.解：由f(0)0，知g(0)0。
x1xtu2e31
g(x)f(xt)dt0xf(u)du0x(x0)
g(x)xf(x)f(u)duxx002(x0)
g(0)limx0f(u)dux2limx0xf(x)A2x2
AAA22，g(x)在x0处连续。
limg(x)limx0x0xf(x)f(u)dux02dy2ylnx13.解：dxx
yexdx2(exdx2lnxdxC)
11xlnxxCx293
111y(1)C,0yxlnxx399，
四、解答题（本大题10分）
14.解：由已知且，
将此方程关于x求导得y2yy
02特征方程：rr20
y2ydxyx
解出特征根：r11,r22.
其通解为
yC1exC2e2x
代入初始条件y(0)y(0)1，得
21yexe2x33故所求曲线方程为：
五、解答题（本大题10分）
C121,C233
1ylnx0(xx0)x015.解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程：
1yxxe0e由于切线过原点，解出，从而切线方程为：
1则平面图形面积
A(eyey)dy01e12
（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1，则
曲线ylnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2
1V11e23
V2(eey)2dy0
6D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
q1qqVV1V2(5e212e3)
116.证明：0qf(x)dxqf(x)dxf(x)dxq(f(x)dxf(x)dx)000q1q
(1q)f(x)dxqf(x)dx0
f(1)f(2)1[0,q]2[q,1]q(1q)f(1)q(1q)f(2)1故有：
q0f(x)dxqf(x)dx00证毕。
x17.
F(x)f(t)dt,0x0证：构造辅助函数：。其满足在[0,]上连续，在(0,)上可导。F(x)f(x)，且F(0)F()0
0由题设，有
f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|sinxF(x)dx0000，
有0，由积分中值定理，存在(0,)，使F()sin0即F()0
综上可知F(0)F()F()0,(0,).在区间[0,],[,]上分别应用罗尔定理，知存在
1(0,)和2(,)，使F(1)0及F(2)0，即f(1)f(2)0.
F(x)sinxdx0
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