大一上高数期末考试题
大一高数练习题
机械学院学习部编辑组
一.填空∶
1.x3112.由曲线y=
11x2dx=______________。
和x=所围区域绕x轴旋转一周，则旋转体
2xsinx,y=0
的体积为___________。
43.
4x31cosxdx=_____________。
4.2tan3xsec2xdx=_____________。5.sin2x1cosxn2dx______________。
6、lim(x22x2x22x2)__________________。7、设f(x)arctan8、设f(x)9、lim(xox1x1,则dy________________。
=_____________xxx2，则f1
1x。
xxa1xa2...ann)________________)。
10、设
1ax0xsinf(x),则当(a0)时，f(x)在_____处连xx00续；当(a0)时，f(x)在________处可微。
11、过P(1,0)作曲线yx3的切线，则切线方程为______。12、设f(x)x3sinxcos3x,则13、设f(x)xn1x2f(201*)(0)=_________。
，则f(n)(0)_________。
二．单项选择∶
1．下列积分中，收敛的是（）(A)(C)021dx1x2dxx12;
(B)dxp为常数；0xp;
(D)1xdx20ln1x.
2.下列广义积分中，发散的为()(A)1dx01x;
(B)1dx0xtanx;
dx(C);
2x1.2(D)2dxxlnx2.
3.下列广义积分中，收敛的是()(A)(C)11211xdx
exdx(B)21x101xln1xdx
1dx3x(D)三．计算下列极限∶
1．
limxx1cosx021arctanxsint2dt.
t2sinxeln1tdt2.limx0xtanx0
四．计算∶
t2xfuduad2y1、设f(u)可导，且f(u)≠0.令,求2.。
tdx2yfufudua2、设y1xey,求y,y。y=exey;
yyy=
ey1xey;
ye2y2y2yyyyyyyeexeey1xeeexeyye1xe=y=y21xey=y21xe1xed2ydx2=
2e2yxe3y1xey3，求
dydtdydx3、设{
dxdtxtcostytsint，。
dydxcosttsint;sinttcost;=
sinttcostcosttsint
d2yt22dsinttcost==3dx2dxcosttsintcosttsint4、设yy=
f(x),求
xdx1dy，
d2ydx2。
dydx=
11d2yfx12;2xxdxd11=fx12dxxx
=fx111212fx3xxxx
f(x)=2，求
(f(x)ax)=0，且lim5、设limxxa的值。
五.计算∶
1．1x110x83x42dx.
2．x1x2arctanxdx.
1ln1xdx.3．02x4．设
1xx1,f(x)=x,0,dxx1x0x1,,x0求ftdt.
5.6.42x2x24
arctanxx2dx
六.求由y2xx2,y0,yx所围图形的面积A，并求该图形绕y轴所
得旋转体的体积V.
七.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内f"x单调减少,证明:
abfxdxfafb2ba
bagxdx0.证明存在a,b使得
八.设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且fgxdxg.。
b九.设f(x)在a,上连续，f(a)A,xlimf(x)Ba,求证：对
任意c(A,B),必存在a,，有f()c证：fx在a,连续，xlim
f(x)B
存在任意0，x，使x0x时
有f(x0)B即f(x0)B
取BC,则fx0c;又faA,
命题成立。
Acf(x0)
扩展阅读：大一上学期高数期末考试题
大一上学期高数期末考试卷
一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1.设f(x)cosx(xsinx),则在x0处有( ).
（A）f(0)2（B）f(0)1（C）f(0)0（D）f(x)不可导.
2.设(x)1x1x，(x)333x，则当x1时（ ）.
（A）(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）(x)与(x)是等价无穷小；
（C）(x)是比(x)高阶的无穷小；（D）(x)是比(x)高阶的无穷小.
x3.若
F(x)0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且
f(x)0，则（）.
（A）函数F(x)必在x0处取得极大值；（B）函数F(x)必在x0处取得极小值；
（C）函数F(x)在x0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线yF(x)的拐点；（D）函数F(x)在x0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线yF(x)的拐点。4.
设f(x)是连续函数，且f(x)x210f(t)dt,则f(x)(x2x2（A）2（B）22（C）x1（D）x2.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）25.lim(13x)sinxx0.
6.已知cosxx是f(x)的一个原函数,则f(x)cosx.xdx7.
nlimn(cos2ncos22ncos2n1n).
12x2arcsinx1－11x2dx8.2.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9.设函数yy(x)由方程
exysin(xy)1确定，求y(x)以及y(0).
)1x7求dx.7x(1x)10.
xxe， x01设f(x) 求f(x)dx．322xx，0x111.
1012.设函数f(x)连续，，且x0g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.
g(x)f(xt)dtlimf(x)Ax，A为常数.求
1y(1)xy2yxlnx9的解.13.求微分方程满足
四、解答题（本大题10分）
14.已知上半平面内一曲线yy(x)(x0)，过点(0,1)，且曲线上任一点
M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）
15.过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围
成平面图形D.
(1)求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积
V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16.设函数f(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q[0,1]，
q1f(x)dxqf(x)dx00.
17.设函数f(x)在0,上连续，且0xf(x)dx0，0f(x)cosxdx0.
证明：在0,内至少存在两个不同的点1,2，使f(1)f(2)0.（提
F(x)示：设
0f(x)dx）
解答
一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
1cosx2 ()c6e35..6.2x.7.2.8..
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导
xy)coxys(xy)(y)e(1yexyycos(xy)y(x)xyexcos(xy)
x0,y0，y(0)177x6dxdu10.解：ux 1(1u)112原式du()du7u(1u)7uu11(ln|u|2ln|u1|)c712ln|x7|ln|1x7|C77
11.解：130f(x)dxxedx3x100x102xx2dx
xd(e)3031(x1)2dx02xx2(令x1sin)xeecosd
412.解：由f(0)0，知g(0)0。
x1xtu2e31
g(x)f(xt)dt0xf(u)du0x(x0)
g(x)xf(x)f(u)duxx002(x0)
g(0)limx0f(u)dux2limx0xf(x)A2x2
AAA22，g(x)在x0处连续。
limg(x)limx0x0xf(x)f(u)dux02dy2ylnx13.解：dxx
yexdx2(exdx2lnxdxC)
11xlnxxCx293
111y(1)C,0yxlnxx399，
四、解答题（本大题10分）
14.解：由已知且，
将此方程关于x求导得y2yy
02特征方程：rr20
y2ydxyx
解出特征根：r11,r22.
其通解为
yC1exC2e2x
代入初始条件y(0)y(0)1，得
21yexe2x33故所求曲线方程为：
五、解答题（本大题10分）
C121,C233
1ylnx0(xx0)x015.解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程：
1yxxe0e由于切线过原点，解出，从而切线方程为：
1则平面图形面积
A(eyey)dy01e12
（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1，则
曲线ylnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2
1V11e23
V2(eey)2dy0
6D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
q1qqVV1V2(5e212e3)
116.证明：0qf(x)dxqf(x)dxf(x)dxq(f(x)dxf(x)dx)000q1q
(1q)f(x)dxqf(x)dx0
f(1)f(2)1[0,q]2[q,1]q(1q)f(1)q(1q)f(2)1故有：
q0f(x)dxqf(x)dx00证毕。
x17.
F(x)f(t)dt,0x0证：构造辅助函数：。其满足在[0,]上连续，在(0,)上可导。F(x)f(x)，且F(0)F()0
0由题设，有
f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|sinxF(x)dx0000，
有0，由积分中值定理，存在(0,)，使F()sin0即F()0
综上可知F(0)F()F()0,(0,).在区间[0,],[,]上分别应用罗尔定理，知存在
1(0,)和2(,)，使F(1)0及F(2)0，即f(1)f(2)0.
F(x)sinxdx0
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