备战201*高考数学 选择题解题方法归纳总结(真题为例)：分类讨论法
选择题解法归纳总结
分类讨论法
在解答某些问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳，综合得出结论。对于分类讨论法方法的使用，笔者将另文详细解析。
典型例题：
例1：已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10【】
(A)7(B)5(C)(D)
【答案】D。【考点】等比数列。
【解析】∵an为等比数列，a4a72，a5a6a4a78，∴a44,a72或
a42,a74。
由a44,a72得a18,a101，即a1a107；
由a42,a74得a11,a108，即a1a107。故选D。
1)nan＝2n－1，则an的前60项和为【】例2：数列an满足an1＋(－（A）3690（B）3660（C）1845（D）1830【答案】D。
【考点】分类归纳（数字的变化类），数列。
1)nan＝2n－1得，【解析】求出an的通项：由an1＋(－a21a1；a33a2=2；a45a3=7；当n=1时，当n=2时，当n=3时，1a1a当n=4时，a57a4=a1；当n=5时，a69a5=9a1；当n=6时，
a711a6=2a1；
当n=7时，a713a6=15a1；当n=8时，a815a7=a1；
当n=4m+1时，a4m28m1a1；当n=4m+2时，a4m22a1；当n=4m+3时，
a4m48m7a1；
当n=4m+4时，a4m5a1（m=0,1,2，。）∵a4ma4m5a1，∴
{an}的四项之和为
a4m1a4m2a4m3a4m4=a18m1a12a18m7a1=16m10（m=0,1,2，。）
设bma4m1a4m2a4m3a4m4=16m10（m=0,1,2，。）
则{an}的前60项和等于{bm}的前15项和，而{bm}是首项为10，公差为16的等
差数列，
∴{an}的前60项和={bm}的前15项和=
101614102151830。故选D。
例3：6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有【】
A.240种B.360种C.480种D.720种【答案】C。
【考点】排列组合的应用。
【解析】根据特殊元素优先的原则，选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，在其余4个次
115A5480序演讲有C4种组合，则其余5位选手进行全排列。因此，不同的演讲次序共有C4种。故选C。
例4：从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为【】
A.24B.18C.12D.6【答案】B。
【考点】排列组合问题。
【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析（3种情况），之后十位（2种情况），最后百位（2种情况），共12种；如果是第二种情况偶奇奇：个位（3种情况），十位（2种情况），百位（不能是O，一种倩况），共6种。因此总共有12+6=18种情况。故选B。例5：（201*年重庆市理5分）设函数f(x)在R上可导，其导函数为f"(x)，且函数
y(1x)f"(x)的图像如题图所示，则下列结论中一定成立的是【】
（A）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)（B）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)（C）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)（D）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)
【答案】D。
【考点】函数在某点取得极值的条件，函数的图象。
【分析】由图象知，y(1x)f"(x)与x轴有三个交点，－2，1，2，∴f"(2)=0，f"(2)=0。由此得到x，y，1x，f"(x)和f(x)在(,)上的情况：
x(,2)2－(2,1)1(1,2)2(2,)y1xf"(x)f(x)＋＋＋0＋0极大值－＋－00－非极值＋－－0－0极小值－－＋
∴f(x)的极大值为f(2)，f(x)的极小值为f(2)。故选D。
例6：若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有【】
A．60种B．63种C．65种D．66种【答案】D。
【考点】分类讨论，计数原理的应用。
【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：
4个都是偶数：1种；
222个偶数，2个奇数：C5C460种；
44个都是奇数：C55种。
∴不同的取法共有66种。故选D。
例7：从概率位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是【】A.
4121B.C.D.9399【答案】D。
【考点】分类讨论的思想，概率。
【解析】由题意知，个位数与十位数应该一奇一偶。
①个位数为奇数，十位数为偶数共有5×5=25个两位数；②个位数为偶数，十位数为奇数共有5×4=20个两位数。
两类共有25+20=45个数，其中个位数为0，十位数为奇数的有10,30,50,70,90共5
个数。
∴概率位数为0的概率是
2251=。故选D。459例8：方程aybxc中的a,b,c{3,2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有【】
A、60条B、62条C、71条D、80条【答案】B。
【考点】分类讨论的思想，抛物线的定义。
【解析】将方程aybxc变形得x222ac，若表示抛物线，则a0,b0yb2b2∴分b=－3,－2，1，2，3五种情况：
a2,c0,或1,或2,或3a1,c2,或0,或2,或3（1）若b=－3，;（2）若b=3,
a2,c2,或0,或1,或3a3，c2,或0,或1,或2a2,c0,或1,或2,或3a1,c2,或0,或2,或3a2,c2,或0,或1,或3a3，c2,或0,或1,或2以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；
同理当b=－2,或2时，共有23条；当b=1时，共有16条。综上，共有23+23+16=62条。故选B。
例9：两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有【】
A.10种B.15种C.20种D.30种【答案】D。
【考点】排列、组合及简单计数问题，分类计数原理。
【解析】根据分类计数原理，所有可能情形可分为3:0，3:1，3:2三类，在每一类中可利用组合数公式计数，最后三类求和即可得结果：
当比分为3:0时，共有2种情形；当比分为3:1时，共有C4A2=8种情形；当比分为3:2时，共有C5A2=20种情形。总共有2+8+20=30种。故选D。
例10：函数fx=xcosx在区间[0,4]上的零点个数为【】
22212A.4B.5C.6D.7【答案】C。
【考点】函数的零点与方程，三角函数的周期性。
2【解析】由fx=xcosx=0得x=0或cosx=0。
2
当x=0时，f0=0，∴x=0是函数fx=xcosx在区间[0,4]上的一个零点。
2当cosx=0时，∵0
扩展阅读：备战201*高考数学 选择题解题方法归纳总结(真题为例)：筛选排除法
选择题解法归纳总结
筛选排除法
筛选排除法是解选择题的一种常用方法，使用排除法的前提条件是答案唯一，它的解题方法是根据题设条件，结合选项，通过观察、比较、猜想推理和计算，进行排查，从四个选项中把不正确的答案一一淘汰，最后得出正确答案的方法。筛选排除法可通过观察、比较、分析和判断，进行简单的推理和计算选出正确的答案，特别对用由因导果法解之较困难而答案又模棱两可者更有用。
典型例题：
ａ例1：已知n为等比数列，下面结论中正确的是【】
a12a322a22C.若a1=a3，则a1=a2D.若a3＞a1，则a4A.a1a32a2B.＞a2【答案】B。
【考点】等比数列的基本概念，均值不等式。
ａ【解析】本题易用排除法求解：设等比数列n的公比为q，则
A，当a1
对于A，令y=fx=cos2x，则fx=cos2x=cos2x=fx，∴函数为偶函
数。
而ycos2x在0，（1，2）中上单调递减，在，上单调递增，
22，1，，22所以ycos2x在区间（1，2）内不全是增函数，故排除A。
对于B，函数ylog2x为偶函数，且当x0时，函数ylog2xlog2x为增函
数，所以在(1,2)上也为增函数，故B满足题意。
exex对于C，令y=fx，xR，则fx=fx，∴函数为偶函数为奇
2函数，故可排除C
对于D，为非奇非偶函数，可排除D。故选B。
例3：已知0，函数f(x)sin(x
则的取值范围是【】)在(,)上单调递减。
2415131](A)[,](B)[,](C)(0,](D)(0,222424【答案】A。
【考点】三角函数的性质。
【解析】根据三角函数的性质利用排它法逐项判断：
59,]，不合题意，∴排除(D)。
44435∵1时，(x)[(。故选),]，合题意，∴排除(B)CA。
444∵2时，(x)[例4：设a，b是两个非零向量【】A．若|ab||a||b|，则abB．若ab，则|ab||a||b|
C．若|ab||a||b|，则存在实数，使得baD．若存在实数，使得ba，则|ab||a||b|
【答案】C。
【考点】平面向量的综合题。
【解析】利用排除法可得选项C是正确的：
∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb，∴选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量，不正确；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|，不正确；
选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|
＝|a|－|b|，不正确。
故选C。
例5：（201*年湖南省理5分）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是【】
【答案】D。
【考点】组合体的三视图。
【解析】由几何体的正视图和侧视图均如图所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形。故选D。例6：（201*年江西省理5分）下列函数中，与函数y1定义域相同的函数为【】3xA．y1lnxsinxxB.yC.yxeD.y
xsinxx【答案】D。
【考点】函数的定义域。
【解析】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围。其求解根据一般有:(1)分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：（4）
实际问题还需要考虑使题目本身有意义。由函数y1的意义可求得其定义域为3x{x|xR，x0}，于是对各选项逐一判断即可得答案：
1的其定义域为{x|xk，kZ}，故A不满足；sinxlnx对于B，y的定义域为{x|xR，x>0}，故B不满足；
x对于A，y对于C，yxe的定义域为{x|xR}，故C不满足；对于D，yxsinx的定义域为{x|xR，x0}，故D满足。x1sinx定义域相同的函数为：y。故选D。3xx综上所述，与函数y例7：下列命题正确的是【】
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C。
【考点】立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质。【解析】采用排除法：
若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也
可能相交，所以A错；
一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B
错；
若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确。故选C。
例8：（201*年四川省理5分）函数yax1(a0,a1)的图象可能是【】a
A、B、C、D、
【答案】D。【考点】函数图像。
【解析】采用排除法：函数yax1，选项只有D符合，故选D。(a0,a1)恒过（－1,0）
a例9：如下图，已知正四棱锥SABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记SEx(0x1),截面下面部分的体积为V(x),则函数yV(x)的图像大致为【】
【答案】A。
【考点】棱锥的体积公式，线面垂直，函数的思想。
【解析】对于函数图象的识别问题，若函数yfx的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，可采用定性排它法：
1时，随着x的增大，Vx单调递减，且递减的速度越21来越快，不是SEx的线性函数，可排除C，D。当x1时，随着x的增大，Vx单
2观察图形可知，当0x调递减，且递减的速度越来越慢，可排除B。只有A图象符合。故选A。
如求解具体的解析式，方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而
造成前功尽弃，并且作为选择题也没有太多的时间去解答。我们也解答如下：
连接AC，BD，二者交于点O，连接SO，过点E作底面的垂线EH。
当E为SC中点时，∵SB＝SD＝BC＝CD，∴SE⊥BE，SE⊥DE。
∴SE⊥面BDE。∴当SEx1时，截面为三角形EBD，截面下面部分锥体的底为BCD。222又∵SA＝SC＝1，AC＝2，SO＝2。此时EH。
4∴V(x)11221。32424当0
22：EH1：1x，即EH1x。22由EI∥SA，SEx，CS1,AC2得x：AI1：2，即AI2x。易知AFG是
等腰直角三角形，即FG2AI22x。∴SAFG∴
11FGAI22x2x2x2。2211122V(x)SBCDFGEHSABCDSAFGEH12x21x12x21x。33326当
1
例10：如下图，OA=2（单位：m）,OB=1(单位：m),OA与OB的夹角为
，以A为圆心，AB6为半径作圆弧BDC与线段OA延长线交与点C.甲。乙两质点同时从点O出发，甲先以速度1（单位:ms）沿线段OB行至点B，再以速度3（单位：m/s）沿圆弧BDC行至点C后停止，
乙以速率2（单位：m/s）沿线段OA行至A点后停止。设t时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S，则函数yS的图像大致是【】（t）（t）（（S0）0）
A.B.C.D.
【答案】A。
【考点】函数的图象。
【解析】由题设知，OA=2（单位：m）,OB=1(单位：m)，两者行一秒后，甲行到B停止，乙此时行到A，故在第一秒内，甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为的值增加得越来越快，一秒钟后，随着甲的运动，所围成的面积增加值是扇形中AB所S（t）扫过的面积，由于点B是匀速运动，故一秒钟后，面积的增加是匀速的，且当甲行走到C后，即B与C重合后，面积不再随着时间的增加而改变，故函数yS随着时间t的增加先是增（t）加得越来越快，然后转化成匀速增加，然后面积不再变化，考察四个选项，只有A符合题意。故选A。
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