学习复变心得
学习复变函数心得
在这一学期，我学了复变函数这门课程，使我受益良多，也有挺多的学习心
得感受。所以，接下来，我想跟大家一起分享我的一些看法及心得。
我认为，在接触一门新的课程时，不妨先了解其发展历史，这样，对以后的深入学习也有一定的帮助，而且，在学了之后，也不至于连这一学科怎么来的，为何会产生都不清楚。所以，在老师的讲解下及上网看的一些资料后，我也了解了一点点有关复变这门课程的发展历史。
复变函数，又称为复分析，是分析学的一个分支。它产生于十八世纪，其中，欧拉、拉普拉斯等几位数学家对这门学科的产生做出了重大的贡献。而到了十九世纪，这时，可以说是复变函数这门学科的黄金时期，在这段时期，它得到了全面的发展，是当时公认的最丰饶的一个数学分支，也是当时的一个数学享受。其中，Riemann,Welerstrass及Cauchy这三位数学家为此作做了突出的贡献。到了二十世纪，复变函数继续发展，其研究领域也更加广泛了。而我国的老一辈的数学家也是在这一方面做出了一些重大贡献。
知道了复变函数这一学科简单的发展历程后，那么接下来，我给大家说说我在学习这门课程的一些感受吧。
复变函数这门课程是将数从实数域拓展到复数域，在一开始书中介绍了什么是复数及其一些简单的四则运算，而这些在中学时就已经有过接触了，所以，在一开始还是挺容易上手的。而接下来，讲的就是复平面及复数的模跟辐角，还有就是复变函数的概念及其极限与连续。需要说一下的是，复变函数的概念跟实变函数概念的不同，实变函数是单值函数，而复变函数可以是单值函数也可以是多值函数，这对以后的深入学习还算比较重要的。
在学习接下来的第二章，主要讲的是解析函数及初等多值函数。而在学习解析函数时，我觉得，最主要的就是掌握柯西黎曼方程，它对于解析函数的微分及解析的判定都有着重要作用，就是到了第三章的复变函数的积分也是会用到的，所以掌握它还是挺重要的。接下来就是初等多值函数，这一部分比较难，但也挺有意思的。在老师讲解下及自己的研究后，对这一部分还是有点收获的。学习这一部分的内容，首先要理解为什么要对平面进行切割，接着，就是要学会寻找支点及切割方法，还有就是那些辐角的变化也要搞清楚，只要将这几点掌握了，
应该就没有大问题了。
而接下来的第三、第四章中，我觉得，第三章最主要的就是掌握柯西积分定理及其柯西积分公式，其中，柯西积分定理及其推理等能使我们免去繁琐的计算过程，直接就知道答案。而柯西积分公式也是经常会用到的，所以也是比较重要的。至于第四章的解析函数的幂级数表示法，首先，就是要了解复级数的一些基本性质，学会求幂级数的收敛性及其收敛半径。还有，就是要了解一些初等函数的泰勒展式并利用它来求其他一些函数的泰勒展式。
在学习了复变函数的这些知识后，使我的知识范围得到了拓展，学到了很多，我觉得，复变函数这门课程真的是很不错。
扩展阅读：学习复变函数的体会
浅谈
复变函数在平面静电场中的应用
系别：电气与电子工程系专业：电气工程及其自动化
班级：0912091学号：091209151姓名：许志强
摘要
复变函数理论推动了许多学科的发展，在解决某些实际问题中也是强有力的工具，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。复变函数的主要内容包括复数与复变函数、复变函数的积分、级数、留数理论及其应用、共形映射。在电磁学中，我们对电场的问题总是在一个三维的空间进行讨论，而电场中诸多的对称性让我们想到在一个剖切面进行考虑问题，复变函数有时在平面解决问题的一个很好的工具。本文正是把电场中的问题变换成复变函数模型，进而进行分析。
关键词：复变函数工具电磁学模型
1、电场中的一些问题化为复变函数模型
般的平面静电场，我们选取一个有代表性的平面作为z平面，设D是电场中的一大单连通区域，如果D内每一点电场强度
EExiEyEy0(1)的散度：divEEx
xy以C表示一光滑曲线，Ω是D所围的有界区域，且由格林公式：
QEydxExdy(c
(x,y)ExEy)0xy上式表示沿闭曲线C的电通量，确定单值函数：
z(2)称为电场的力函数，等值线Φ（x、y）=a（常数）叫电力线
电场的旋度:EE(3)rotEyx0类似有：
c(x,y)EydxExdyz0xyExdxEydy(EyxEx)0y上式表示沿闭曲线C所作的功，确定单值函数:
(x,y)zExdxEydy(4)
0zΦ（x、y）称为电场的势函数，其等值线Φ（x、y）=b（常数）叫电势线。
由(1)(3)得
Ex(Ey)xy(Ey)Exyx(5)
满足C-R方程，故xiEy是D内的全纯函数EEf(zz))是D内的全纯函数同理，复势)(i(z
且知f(z)与E满足如下关系:
)iEyiEiE(z)(6)f"(zxxx应当指出:在多连同区域内,复势可能是一个多值函数,对于
此区域内任意一条光滑曲线C,有iQc(Exyidy)cE(z)dz(7)iE)(dx其中ГQ分别是平面静电场沿C的所做的功与电通量.2简单初等函数表示平面静电场的几个例子
（一）考虑一足够长(可以看成无限长)的均匀带电直线所产生的电场,以λ表电荷的线密度,任取垂直于的一个平面为平
面,且原点在平面上,现来求此平面静电场的电场强度和复势.
分析如下:
库伦定理知，点电荷q在相距其r处产生的电场:
则本题中:
Eq4r21|dE|1其中λ是点电荷的线密度，dh是直线上的长度微元，是真空介电常数,所以，|dE|在z平面的投影为:推出
|E|4(r2h2)dhz|z|kcosdh(r2h2)kcosdh2kr(rh)22由于E的方向与z相同，其单位向量为所以电场强度E的初等复变函数的表示为:
Erz(8)|z||z|22kz2kz2k而根据(6)复势为：(Ref(z)2(9)z)kargzza（常数）表示电力线(虚线)arg
(z)Imf(z)2klnz为势函数.表示等势线（实线）.（如下图所示）
|z|b
以C表示一原点为中心的一个圆周,则由(7)式得令即易知:
2k22iQE(z)dzdzkiicciQreid4kiiEre，则0zreiiQ0,Q因此,该点电荷C的环量为0,沿C的电通量为这与电场的环路定理和高斯定理相吻合.
(二)在Z平面的点..…处分别有电量为……的点电荷.求这些点电荷所形成的电场的电场强度和复势.
分析如下:由上计算知：
Ej2kqjzzj,j1,2......,nfj(z)2kqjiln(zzj),j1,2......,nEEjj1j1nn根据电路的叠加原理,上述电荷所组成的电场的电场强度为:
复势为：当
2kqjzzjnwf(z)fj(z)2kiqjln(zzj)j1j1n
z1ia(a0)
z1ia,z2q,q
（即电偶极子），且在的点电荷的电量为，则由这两异性的点电荷所形成的复势为：
而力函数
ziawf(z)2kiqLnziazia(z)2kqargziaziaa当argz(a为常数)，电力线是经过的圆周iaz1,z2又势函数当b为常数），等势圆周.（见下图）
(z)2qLn|zz1|zz线是2以
z1,z2
|zz1zia|||b,zzzia2为对称
的Appolonius
3.用复变的方法处理静电场的具体问题---平行板电容器所形成的电场.
考虑在平行板电容器内部,而不是两端附近的静电场,那么可
以近似的把电场看成是均匀的.在两端附近是不均匀的.但我们考虑一端附近的静电场,可以忽略另一端的影响,那么可以把平行板电容器表示成两个半平面的形状,下图就是垂直与一平行板的剖面图.以表示平行板间的距离2h,又设它们的电势分别为正负b（b大于0）
因此,要求出此平面静电场的复势wf(z),只有解如下边值问题.即上图中所示区域内的解析函数,使它满足边界条件：且使
lim(z),lim(z),(z)Ref(z).zCzAzDzD
,zCEA(z)Imf(z){bb,zCBA实际上,这只要找出区域D到W平面上宽为2b的带形区域G的共形映射（见下图）
zf2()hh111dhh(Ln)
这样我们就找到了从映射G到D的单叶解析函数：
wh将上式分成实部和虚部得：
zebwbb
分别在上式中取Φ=b常数，与ψ=a常数，便得电力线和等势线的参数方程
由上式及(6)还求的电场强度：
hbxebb
dw1b1Eif"(z)iidziwdzhdw在此平行板电容器的内部,即z接近A点，又w接近，故电
1eb场强度也就是接近匀强电场.当z在平行板电容器一端Eih附近,即接近B或Ewbi时E趋于。上式的E值反映了电容器所形成的电场强度的大小情况.
参考文献
西安交大，复变函数，第四版，高等教育出版社张玉民,戚伯云,电磁学.科学出版社中国科学技术大学出版社201*
郑建华,复变函数.清华大学出版社.201*.1
闻国椿,殷慰萍,复变函数的应用.首都师范大学出版社.1999.7
b
总结
本文先把平面静电场的一些问题化为复变函数的问题,然后用共形映射与边值问题的方法处理这些问题.
通过着篇论文我学到了很多知识，对电场问题有了更多地了解，也更深刻地了解到变函数这个工具的强大力量。
同时也感谢秦老师给我提供这一锻炼的机会，以及在写论文初期同学给予的建议。
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