导数题型归纳总结

导数题型归纳总结

导数题型归纳总结

导数的定义和几何意义

函数f(x)在x0处的导数：f(x0)=lim

x0

f(x0x)f(x0)y=limx0xx函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是在该点处的切线的斜率即kf(x0)求切线方程：先用导数求斜率，再用点斜式求出切线方程；切点既在直线上又在曲线上注：若过曲线外一点(x1,y1)向曲线作切线，要先设切点(x0,f(x0))，用

k=f(x0)y1f(x0)

x1x021、若曲线yxaxb在点(0,b)处的切线方程是xy10，则ab

232、若存在过点(1,0)的直线与曲线yx和yax15x9都相切，则a=43、已知yx2x，则过原点(0,0)的切线方程是

34、★已知f(x)x3x，过点A(1,m)(m2)可作yf(x)的三条切线，

32则m的范围是

，1)的切线方程为（曲线上一点）求过曲线yx32x上的点(1注：过曲线上一点的切线，该点未必是切点2

6、【201*辽宁】已知P,Q为抛物线x=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为

(A)1(B)3(C)4(D)8

导数与单调性、极值、最值

1、单调性问题：y0单调递增；y0单调递减

求函数单调性的步骤：①确定函数的定义域；②求导数，③y0单调递增；y0单调递减2、极值问题：左升右降有极大值；左降右升有极小值；极值点的左右两侧f(x)的符号相反；

f(x)=0的点不一定是极值点，但极值点一定满足f(x)=0；

求函数极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数，令f(x)=0，找出所有的驻点；③

第1页（共6页）

检查驻点左右的符号，左正右负有极大值，左负右正有极小值；

3、最值问题：函数f(x)在a,b上连续，则f(x)在极值点或端点处取得最值求函数最值的步骤：①求函数的极值，②与函数的端点值相比较，得到最值；单调性问题1、函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是

()

A.(,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,)

2、要使函数f(x)x23(a1)x2在区间(,3]上是减函数，求实数a的取值范围。

2f(x)lnxa(1a)x2(1a)x的单调性a03、【201*广东】设,讨论函数

4、【201*辽宁】函数y=

A．(1,1]

最值及其相关问题

5、求fx

322综合题1、设函数f(x)xaxaxm(a0)

12

xx的单调递减区间为（）2C．[1,+∞)

D．(0,+∞)

B．(0,1]

13x4x4在0,3的最大值与最小值3（I）若a1时函数f(x)有三个互不相同的零点，求m的范围；（II）若函数f(x)在1,1内没有极值点，求a的范围；

（III）若对任意的a3,6，不等式f(x)1在x2,2上恒成立，求实数m的取值范围.

2、设函数f(x)13x2ax23a2xb，(0a1,bR)34

若当xa1,a2时，恒有f(x)a，试确定a的取值范围（≤a

3、【201*浙江】已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a,bR)．（I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值；（II）若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围．．．．

4、已知函数f(x)=ax若在区间

5、【201*湖北】设函数f，gx，其中xR，a、()xx2axbxa()x3x2b为常数，已知曲线yf(x)与yg(x)在点（2,0）处有相同的切线l。(I)求a、b的值，并写出切线l的方程；

(II)若方程f()有三个互不相同的实根0、x、x，其中x1x2，且对任意xg()xmx的xx恒成立，求实数m的取值范围。()g()xm(x1)1,x2，fx

326、已知函数f(x)xaxx1，aR．设函数f(x)在区间，内是减函数，

322332x1(xR)，其中a0.211,上，f(x)0恒成立，求a的取值范围.（a的取值范围为0

函数图像有关问题

1、【201*重庆】设函数f(x)在R上可导,其导函数f(x),且函数f(x)在x2处取得极

小值,则函数yxf(x)的图象可能是

2、设函数fxxsinxcosx的图像在点t,ft处切线的斜率为k，则函数kgt的部分图像为()

3、yf(x则yf(x（）)是f(x)的导函数，yf(x)的图象如下图所示，)的图象为yyy212O1Ox2xO1yxO12x4、已知二次函数f(x)的图象如下图所示，则其导函数f′(x)的图象的大致形状是（）

y

5、【201*安徽】函数f(x)axg(x)在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m，n的值可能是()

mn0.5第4页（共6页）xO0.5

（A）m1,n1(B)m1,n2(C)m2,n1(D)m3,n1

综合问题

21、【201*黄冈中学高二期中】设函数f．(x)(1x)2ln(1x)（I）求f(x)的单调区间；

2（II）当0

已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1,x2，且x1x2，若对任意的

13x[x1,x2]，f(x)f(1)恒成立，求m的取值范围（m的取值范围是(,)）

231

7、已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ax在x＝－处的切线的斜率为1．

2

（Ⅰ）求a的值及f(x)的最大值；

111

（Ⅱ）证明：1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)（n∈N*）

23n

8、【201*浙江教科院】设函数f(x)＝x3－4x＋a，0＜a＜2．若f(x)的三个零点为x1，x2，x3，

且x1＜x2＜x3，则（）

A．x1＞－1B．x2＜0C．x2＞0D．x3＞2

9、已知mR，函数f（x）＝mxm11lnx，g(x)lnxx2（I）求g（x）的极小值；

（II）若y＝f(x)一g(x)在［1，＋）上为单调增函数，求实数m的取值范围.u.c.o.m

第6页（共6页）

扩展阅读：导数题型归纳总结

导数题型归纳总结

导数的定义和几何意义

函数

f(x)在x

0处的导数：

f(x0)

=lim

x0

f(x0x)f(x0)y=limxx0x函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是在该点处的切线的斜率即kf(x0)求切线方程：先用导数求斜率，再用点斜式求出切线方程；切点既在直线上又在曲线上注：若过曲线外一点(x1,y1)向曲线作切线，要先设切点(x0,f(x0))，用

k=f(x0)y1f(x0)

x1x021、若曲线yxaxb在点(0,b)处的切线方程是xy10，则ab232、若存在过点(1,0)的直线与曲线yx和yax15x9都相切，则a=43、已知yx2x，则过原点(0,0)的切线方程是

3234、★已知f(x)x3x，过点A(1,m)(m2)可作yf(x)的三条切线，则m的范围是

，1)的切线方程5、（曲线上一点）求过曲线yx32x上的点(1

注：过曲线上一点的切线，该点未必是切点

6、【201*辽宁】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(A)1(B)3(C)

4(D)8

导数和单调性

y0单调递增；y0单调递减

极值问题：左升右降有极大值；左降右升有极小值；极值点的左右两侧f(x)的符号相反；

f(x)=0的点不一定是极值点，但极值点一定满足f(x)=0；

求函数极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数，令f(x)=0，找出所有的驻点；③检查驻点左右的符号，左正右负有极大值，左负右正有极小值；函数f(x)在a,b上连续，则f(x)在极值点或端点处取得最值单调性问题1、函数f(x)(x3)e的单调递增区间是

x()

A.(,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,)

2、要使函数f(x)x23(a1)x2在区间(,3]上是减函数，求实数a的取值范围。

2f(x)lnxa(1a)x2(1a)x的单调性a03、【201*广东】设,讨论函数

4、【201*辽宁】函数y=

A．(1,1]

12

xx的单调递减区间为（）2B．(0,1]

C．[1,+∞)

D．(0,+∞)最值及其相关问题基础题：1、求fx13x4x4在0,3的最大值与最小值3

综合题1、设函数f(x)x3ax2a2xm(a0)

（I）若a1时函数f(x)有三个互不相同的零点，求m的范围；（II）若函数f(x)在1,1内没有极值点，求a的范围；

（III）若对任意的a3,6，不等式f(x)1在x2,2上恒成立，求实数m的取值范围.

2、设函数f(x)13x2ax23a2xb，(0a1,bR)34

若当xa1,a2时，恒有f(x)a，试确定a的取值范围（≤a

4、已知函数f(x)=ax若在区间

5、【201*湖北】设函数f，gx，其中xR，a、b()xx2axbxa()x3x2为常数，已知曲线yf(x)与yg(x)在点（2,0）处有相同的切线l。(I)求a、b的值，并写出切线l的方程；

(II)若方程f()有三个互不相同的实根0、x、x，其中x1x2，且对任意的xg()xmx322332x1(xR)，其中a0.211,上，f(x)0恒成立，求a的取值范围.（a的取值范围为01、当x0，求证：e1x（(ex)ex）

x

2、设函数f(x)x(x1)ln(x1)(x1).

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）证明：当nm0时，(1n)m(1m)n

本类问题主要是命题人经常考查的一类如

namb（mn），一般两边同时取自然对数，

mlnanlnb，再利用函数单调性，可能还需要构造函数

函数图像

1、【201*重庆】设函数f(x)在R上可导,其导函数f(x),且函数f(x)在x2处取得极小

值,则函数yxf(x)的图象可能是

2、设函数fxxsinxcosx的图像在点t,ft处切线的斜率为k，则函数kgt的

部分图像为()

3、yf(x)是f(x)的导函数，yf(x)的图象如下图所示，则yf(x)的图象为（）yyy

4、已知二次函数f(x)的图象如下图所示，则其导函数f′(x)的图象的大致形状是（）

O12yxO12x2O1xO12x

5、【201*安徽】函数f(x)axg(x)在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m，n的值可能是()

（A）m1,n1(B)m1,n2(C)m2,n1(D)m3,n1mny0.5xO0.5综合问题

21、【201*黄冈中学高二期中】设函数f．(x)(1x)2ln(1x)（I）求f(x)的单调区间；

2（II）当0

5、【201*江西】已知函数f(x)(ax2bxc)ex在0,1上单调递减且满足

f(0)1,f(0)0.

(1)求a的取值范围;

(2)设g(x)f(x)f(x),求g(x)在0,1上的最大值和最小值.

6、设函数f(x)13xx2(m21)x,(xR,)其中m03已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1,x2，且x1x2，若对任意的

13x[x1,x2]，f(x)f(1)恒成立，求m的取值范围（m的取值范围是(,)）

23

1

7、已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ax在x＝－处的切线的斜率为1．

2

（Ⅰ）求a的值及f(x)的最大值；

111（Ⅱ）证明：1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)（n∈N*）

23n

8、【201*浙江教科院】设函数f(x)＝x3－4x＋a，0＜a＜2．若f(x)的三个零点为x1，x2，x3，

且x1＜x2＜x3，则（）A．x1＞－1B．x2＜0C．x2＞0D．x3＞2

9、已知mR，函数f（x）＝mxm11lnx，g(x)lnxx2（I）求g（x）的极小值；

（II）若y＝f(x)一g(x)在［1，＋）上为单调增函数，求实数m的取值范围.u.c.o.m

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