导数大题方法总结

时间：2019-05-29 15:37:29 网站：公文素材库

导数大题方法总结

导数大题方法总结

一总论

一般来说，导数的大题有两到三问。每一个小问的具体题目虽然并不固定，但有相当的规律可循，所以在此我进行了一个答题方法的总结。二主流题型及其方法

*（1）求函数中某参数的值或给定参数的值求导数或切线

一般来说，一到比较温和的导数题的会在第一问设置这样的问题：若f(x)在x=k时取得极值，试求所给函数中参数的值；或者是f(x)在(a,f(a))处的切线与某已知直线垂直，试求所给函数中参数的值等等很多条件。虽然会有很多的花样，但只要明白他们的本质是考察大家求导数的能力，就会轻松解决。这一般都是用来送分的，所以遇到这样的题，一定要淡定，方法是：

先求出所给函数的导函数，然后利用题目所给的已知条件，以上述第一种情形为例：令x=k，f(x)的导数为零，求解出函数中所含的参数的值，然后检验此时是否为函数的极值。

注意：①导函数一定不能求错，否则不只第一问会挂，整个题目会一并挂掉。保证自己求导不会求错的最好方法就是求导时不要光图快，一定要小心谨慎，另外就是要将导数公式记牢，不能有马虎之处。②遇到例子中的情况，一道要记得检验，尤其是在求解出来两个解的情况下，更要检验，否则有可能会多解，造成扣分，得不偿失。所以做两个字来概括这一类型题的方法就是：淡定。别人送分，就不要客气。③求切线时，要看清所给的点是否在函数上，若不在，要设出切点，再进行求解。切线要写成一般式。

*（2）求函数的单调性或单调区间以及极值点和最值

一般这一类题都是在函数的第二问，有时也有可能在第一问，依照题目的难易来定。这一类题问法都比较的简单，一般是求f(x)的单调（增减）区间或函数的单调性，以及函数的极大（小）值或是笼统的函数极值。一般来说，由于北京市高考不要求二阶导数的计算，所以这类题目也是送分题，所以做这类题也要淡定。这类问题的方法是：

首先写定义域，求函数的导函数，并且进行通分，变为假分式形式。往下一般有两类思路，一是走一步看一步型，在行进的过程中，一点点发现参数应该讨论的范围，一步步解题。这种方法个人认为比较累，而且容易丢掉一些情况没有进行讨论，所以比较推荐第二种方法，就是所谓的一步到位型，先通过观察看出我们要讨论的参数的几个必要的临介值，然后以这些值为分界点，分别就这些临界点所分割开的区间进行讨论，这样不仅不会漏掉一些对参数必要的讨论，而且还会是自己做题更有条理，更为高效。

极值的求法比较简单，就是在上述步骤的基础上，令导函数为零，求出符合条件的根，然后进行列表，判断其是否为极值点并且判断出该极值点左右的单调性，进而确定该点为极大值还是极小值，最后进行答题。

最值问题是建立在极值的基础之上的，只是有些题要比较极值点与边界点的大小，不能忘记边界点。注意:①要注意问题，看题干问的是单调区间还是单调性，极大值还是极小值，这决定着你最后如何答题。还有最关键的，要注意定义域，有时题目不会给出定义域，这时就需要你自己写出来。没有注意定义域问题很严重。②分类要准，不要慌张。③求极值一定要列表，不能使用二阶导数，否则只有做对但不得分的下场。

*（3）恒成立或在一定条件下成立时求参数范围这类问题一般都设置在导数题的第三问，也就是最后一问，属于有一定难度的问题。这就需要我们一定的综合能力。不仅要对导数有一定的理解，而且对于一些不等式、函数等的知识要有比较好的掌握。这一类题目不是送分题，属于扣分题，但掌握好了方法，也可以百发百中。方法如下：

做这类恒成立类型题目或者一定范围内成立的题目的核心的四个字就是：分离变量。一定要将所求的参数分离出来，否则后患无穷。有些人总是认为不分离变量也可以做。一些简单的题目诚然可以做，但到了真正的难题，分离变量的优势立刻体现，它可以规避掉一些极为繁琐的讨论，只用一些简单的代数变形可以搞定，而不分离变量就要面临着极为麻烦的讨论，不仅浪费时间，而且还容易出差错。所以面对这样的问题，分离变量是首选之法。当然有的题确实不能分离变量，那么这时就需要我们的观察能力，如果还是没有简便方法，那么才会进入到讨论阶段。

分离变量后，就要开始求分离后函数的最大或者最小值，那么这里就要重新构建一个函数，接下来的步骤就和（2）中基本相同了。

注意：①分离时要注意不等式的方向，必要的时候还是要讨论。②要看清是求分离后函数的最大值还是最小值，否则容易搞错。③分类要结合条件看，不能抛开大前提自己胡搞一套。

最后，这类题还需要一定的不等式知识，比如均值不等式，一些高等数学的不等数等等。这就需要我们有足够的知识储备，这样做起这样的题才能更有效率。（4）构造新函数对新函数进行分析这类题目题型看似复杂，但其实就是在上述问题之上多了一个步骤，就是将上述的函数转化为了另一个函数，并没有本质的区别，所以这里不再赘述。（5）零点问题这类题目在选择填空中更容易出现，因为这类问题虽然不难，但要求学生对与极值和最值问题有更好的了解，它需要我们结合零点，极大值极小值等方面综合考虑，所以更容易出成填空题和选择题。如果出成大题，大致方法如下：先求出函数的导函数，然后分析求解出函数的极大值与极小值，然后结合题目中所给的信息与条件，求出在特定区间内，极大值与极小值所应满足的关系，然后求解出参数的范围。三总结

以上就是导数大题的主要题型及方法，当然有很多题型不能完全的照顾到，有很多的创新题型没有涉及，那么如何解决这个问题呢？就是我们要明白导数题的核心是什么。导数题的核心就是参数，就是对参数的把握，而对参数的理解与分析正是每一道题目的核心。只要我们能够从参数入手，能够对参数进行分析，那么不论一道题有多么的繁琐，我们都能够把握这道题的主线，能有一个明确的脉络，做出题目。所以我总结的导数题的八字大纲，不一定对，但我认为对于解决北京市的高考题有一定的帮助，那就是“分离变量，一步到位”。一切的一切，都应该围绕着参量来展开。相信导数虽然是第18或者19题，但也一定会被我们大家淡定的斩于马下。郭子豪

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19.（201*浙江文）（本题满分15分）已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a,bR)．（I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值；（II）若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围．．．．解析（Ⅰ）由题意得f(x)3x22(1a)xa(a2)又f(0)b0f(0)a(a2)3，解得b0，a3或a1

（Ⅱ）函数f(x)在区间(1,1)不单调，等价于

导函数f(x)在(1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数f(x)在(1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有

f(1)f(1)0，即：[32(1a)a(a2)][32(1a)a(a2)]0整理得：(a5)(a1)(a1)20，解得5a120.（201*北京文）（本小题共14分）

设函数f(x)x33axb(a0).

（Ⅰ）若曲线yf(x)在点(2,f(x))处与直线y8相切，求a,b的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间与极值点.

解析本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能

力．（Ⅰ）f"x3x23a,

∵曲线yf(x)在点(2,f(x))处与直线y8相切，

"a4,f2034a0∴

b24.86ab8f28（Ⅱ）∵f"x3x2aa0,

"当a0时，fx0，函数

f(x)在,上单调递增，

此时函数f(x)没有极值点.当a0时，由f"x0"xa，

f(x)单调递增，f(x)单调递减，

当x,a时，f当xa,a时，f当xx0，函数x0，函数

"a,时，f"x0，函数

f(x)单调递增，

中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！∴此时xa是f(x)的极大值点，x21.（201*北京理）（本小题共13分）

设函数f(x)xekx(k0)

a是f(x)的极小值点.

（Ⅰ）求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若函数f(x)在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围.

解析本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查

综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）f"x1kxekx,f"01,f00,

曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程为yx.（Ⅱ）由f"x1kxekx0，得x"1kk0，

若k0，则当x,11时，fkx0，函数fx单调递减，

当x,,时，fk"x0，函数fx单调递增，

1时，fk"若k0，则当x,1,,时，fkx0，函数fx单调递增，

当x"x0，函数fx单调递减，

1k1，

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k0，则当且仅当即k1时，函数fx1,1内单调递增，若k0，则当且仅当1k1，

即k1时，函数fx1,1内单调递增，

综上可知，函数fx1,1内单调递增时，k的取值范围是1,00,1.22.(201*山东卷文)（本小题满分12分）

已知函数f(x)13axbxx3,其中a0

32（1）当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值?

（2）已知a0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.

中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！解:(1)由已知得f"(x)ax22bx1,令f"(x)0,得ax22bx10,

f(x)要取得极值,方程ax2bx10必须有解,

2所以△4b24a0,即b2a,此时方程ax22bx10的根为

2b4b4a2a2x1bbaa2,x22b4b4a2a2bbaa2,

所以f"(x)a(xx1)(xx2)当a0时,

xf’(x)f(x)

(-∞,x1)＋增函数

x10极大值

(x1,x2)－减函数

x20极小值

(x2,+∞)＋增函数

所以f(x)在x1,x2处分别取得极大值和极小值.当a0时,

xf’(x)f(x)

(-∞,x2)－减函数

x20极小值

(x2,x1)＋增函数

x10极大值

(x1,+∞)－减函数

所以f(x)在x1,x2处分别取得极大值和极小值.综上,当a,b满足b2a时,f(x)取得极值.

(2)要使f(x)在区间(0,1]上单调递增,需使f"(x)ax2bx10在(0,1]上恒成立.即bax212x,x(0,1]恒成立,所以b(22ax212x)max

设g(x)ax212x,g"(x)1aa212x2a(x2x21a,

)令g"(x)0得x或x1a1a(舍去),

当a1时,01a1,当x(0,)时g"(x)0,g(x)ax212x单调增函数;

当x(1a,1]时g"(x)0,g(x)ax212x单调减函数,

所以当x1a时,g(x)取得最大,最大值为g(1a)a.所以ba中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！当0a1时,

1a1,此时g"(x)0在区间(0,1]恒成立,所以g(x)a12a12ax212x在区间(0,1]上单调递增,当x1时g(x)最大,最大值为g(1),所以b

a1综上,当a1时,ba;当0a1时,b2

【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.22.设函数f(x)13x(1a)x4ax24a，其中常数a>1

32(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。

解析本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。解析（I）f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)

由a1知，当x2时，f(x)0，故f(x)在区间(,2)是增函数；当2x2a时，f(x)0，故f(x)在区间(2,2a)是减函数；当x2a时，f(x)0，故f(x)在区间(2a,)是增函数。

综上，当a1时，f(x)在区间(,2)和(2a,)是增函数，在区间(2,2a)是减函数。（II）由（I）知，当x0时，f(x)在x2a或x0处取得最小值。

f(2a)13(2a)(1a)(2a)4a2a24a

23243a4a24a

3f(0)24a

由假设知

a1,a14f(2a)0,即a(a3)(a6)0,解得1中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！f(x)g(x)x．

（1）若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m的值；（2）k(kR)如何取值时，函数yf(x)kx存在零点，并求出零点．

解析（1）依题可设g(x)a(x1)2m1(a0)，则g"(x)2a(x1)2ax2a；又gx的图像与直线y2x平行2a2a1g(x)(x1)m1x2xm，fx22gxxmx02xmx2，

222设Pxo,yo，则|PQ|2x0(y02)x0(x0)

2x20mx2202m22m22m22|m|2m

当且仅当2x20mx220时，|PQ|2取得最小值，即|PQ|取得最小值2

当m0时，(222)m当m0时，(222)m2解得m21

2解得m21

mxm220(x0)，得1kx2xm0*

2（2）由yfxkx1kx当k1时，方程*有一解x，函数yfxkx有一零点xm2；

当k1时，方程*有二解44m1k0，

若m0，k11m，

244m(1k)2(1k)函数yfxkx有两个零点x，即

x11m(1k)k11m；，

244m(1k)2(1k)11m(1k)k1若m0，k1函数yfxkx有两个零点x，即x1m；

当k1时，方程*有一解44m1k0,k1函数yfxkx有一零点x

1k1m中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！综上，当k1时,函数yfxkx有一零点x当k11mm2；

(m0)，或k11m（m0）时，11m(1k)k11k1函数yfxkx有两个零点x当k11m；

时，函数yfxkx有一零点x24.（201*安徽卷理）（本小题满分12分）已知函数f(x)x2xa(2lnx),(a0)，讨论f(x)的单调性.

本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。

本小题满分12分。

解析f(x)的定义域是(0,+),f(x)12x2axxax2x22.

设g(x)x2ax2,二次方程g(x)0的判别式a28.

当a280，即0a22时，对一切x0都有f(x)0,此时f(x)在(0,)上是增函数。①当a280,即a22时，仅对x2有f(x)0,对其余的x0都有

f(x)0,此时f(x)在(0,)上也是增函数。

①当a280，即a22时，

aa82(x1,x2)

2方程g(x)0有两个不同的实根x1x

f(x)f(x)

(0,x1)

,x2aa822,0x1x2.

x2(x2,)

+单调递增

a20极大a82_单调递减

0极小a2+单调递增

22此时f(x)在(0,调递增.

)上单调递增,在(a8aa8aa8,)是上单调递减,在(,)上单

22225.（201*安徽卷文）（本小题满分14分）

已知函数（Ⅰ）讨论

的单调性；

在区间{1，

，a＞0，

（Ⅱ）设a=3，求}上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。

中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数f(x)在1,e2上的值域。

解析(1)由于f(x)1令t1x22x2ax

得y2tat1(t0)

①当a280,即0a22时,f(x)0恒成立.

f(x)在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.

②当a280,即a22时

由2tat10得t2aa842或taa824a842

0xaa842或x0或x2a22又由2tat0得

2aa84taa842aa82xaa82

综上①当0a22时,f(x)在(,0)及(0,)上都是增函数.

aa8aa8,)上是减函数,

2222②当a22时,f(x)在(在(,0)(0,aa822)及(aa822,)上都是增函数.

(2)当a3时,由(1)知f(x)在1,2上是减函数.

2上是增函数.在2,e22又f(1)0,f(2)23ln20f(e)e2e250

22上的值域为23ln2,e2251,e函数f(x)在e26.（201*江西卷文）（本小题满分12分）设函数f(x)x392x6xa．

2（1）对于任意实数x，f(x)m恒成立，求m的最大值；（2）若方程f(x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

解析(1)f(x)3x9x63(x1)(x2),

因为x(,),f(x)m,即3x9x(6m)0恒成立,

"2"中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！所以8112(6m)0,得m34，即m的最大值为34

(2)因为当x1时,f"(x)0;当1x2时,f"(x)0;当x2时,f"(x)0;所以当x1时,f(x)取极大值f(1)52a;

当x2时,f(x)取极小值f(2)2a;

故当f(2)0或f(1)0时,方程f(x)0仅有一个实根.解得a2或a27.（201*江西卷理）（本小题满分12分）设函数f(x)ex52.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(1)若k0，求不等式f"(x)k(1x)f(x)0的解集．解析(1)f(x)"1x2ex1xexx1x2"e,由f(x)0,得x1.

x因为当x0时,f"(x)0；当0x1时,f"(x)0；当x1时,f"(x)0；所以f(x)的单调增区间是:[1,)；单调减区间是:(,0)，(0,1].

x1kxkxx22(2)由f(x)k(1x)f(x)得：(x1)(kx1)0.

"ex(x1)(kx1)x2e0,

x故：当0k1时,解集是：{x1x当k1时，解集是：；当k1时,解集是：{x1kx1}.

1k}；

28.（201*天津卷文）（本小题满分12分）设函数f(x)13xx(m3221)x,(xR,)其中m0

（Ⅰ）当m1时，曲线yf(x)在点（1，f（1））处的切线斜率（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；

（Ⅲ）已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1,x2，且x1x2。若对任意的x[x1,x2]，f(x)f(1)恒成立，求m的取值范围。

答案（1）1（2）f(x)在(,1m)和(1m,)内减函数，在(1m,1m)内增函数。函数f(x)在x1m处取得极大值f(1m)，且f(1m)=

23mm3213

中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)，且f(1m)=解析解析当m1时，f(x)1332/223mm"3213

xx,f(x)x2x,故f(1)1

所以曲线yf(x)在点（1，f（1））处的切线斜率为1.

（2）解析f"(x)x22xm21，令f"(x)0，得到x1m,x1m因为m0,所以1m1m

当x变化时，f(x),f"(x)的变化情况如下表：

f(x)

"(,1m)

(1m,1m)

(1m,)

+0极小值

0极大值

f(x)

f(x)在(,1m)和(1m,)内减函数，在(1m,1m)内增函数。

函数f(x)在x1m处取得极大值f(1m)，且f(1m)=

23mm23332213

函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)，且f(1m)=（3）解析由题设，f(x)x(所以方程m121322mm1313xxm221)13x(xx1)(xx2)

43(m2xxm1=0由两个相异的实根x1,x2，故x1x23，且1121)0，解得

(舍)，m

321

因为x1x2,所以2x2x1x23,故x2若x11x2,则f(1)13(1x1)(1x2)0，而f(x1)0，不合题意

若1x1x2,则对任意的x[x1,x2]有xx10,xx20,则f(x)13x(xx1)(xx2)0又f(x1)0，所以函数f(x)在x[x1,x2]的最小值为0，于是对任意的

13x[x1,x2]，f(x)f(1)恒成立的充要条件是f(1)m20,解得33m33

综上，m的取值范围是(,2133)

【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。

30.(201*湖北卷理)(本小题满分14分)（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．在R上定义运算:pq

132。记f12c，f22b，pcqb4bc（b、c为实常数）中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！R.令ff1f2.

如果函数f在1处有极什43,试确定b、c的值；

求曲线yf上斜率为c的切线与该曲线的公共点；记gx解fx|1x1的最大值为M.若Mk对任意的b、c恒成立，试示k的最大值。

当b1时，函数yf(x)得对称轴x=b位于区间[1,1]之外此时Mmax{g(1),g(1),g(b)}

由f(1)f(1)4b,有f(b)f(1)(bm1)20

①若1b0,则f(1)f(-1)f(b),g(-1)max{g(1),g(b)}于是Mmax{f(1),f(b)}12(f(1)f(b))12(f(1)f(b))12(b1)

2①若0b1，则f(=1)f(1)f(b)，g(1)max{g(1),g(b)}于是

Mmax{f(1),f(b)}12(f(1)f(b))1212(f(1)f(b))12(b1)212

综上，对任意的b、c都有M12

121而当，b0,c时，g(x)x2在区间[1,1]上的最大值M12

故MK对任意的b，c恒成立的k的最大值为31.（201*四川卷文）（本小题满分12分）

已知函数f(x)x2bxcx2的图象在与x轴交点处的切线方程是y5x10。（I）求函数f(x)的解析式；（II）设函数g(x)f(x)量x的值.

解析（I）由已知,切点为(2,0),故有f(2)0,即4bc30……①

2又f(x)3x4bxc，由已知f(2)128bc5得8bc70……②

3213mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变

联立①②，解得b1,c1.

所以函数的解析式为f(x)x2xx2…………………………………4分（II）因为g(x)x2xx2323213mx

中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！令g(x)3x24x113m0

13m0有实数解，

当函数有极值时，则0，方程3x24x1由4(1m)0，得m1.①当m1时，g(x)0有实数x23

，在x23左右两侧均有g(x)0，故函数g(x)无极值

②当m1时，g(x)0有两个实数根

x113(21m),x213(21m),g(x),g(x)情况如下表：

x(,x1)x1(x1,x2)x2(x2)g(x)g(x)+0极大值-0极小值+所以在m(,1)时，函数g(x)有极值；当x13(21m)时，g(x)有极大值；当x13(21m)时，g(x)有极小值；

…………………………………12分

32.（201*全国卷Ⅱ理）(本小题满分12分)

设函数fxxaIn1x有两个极值点x1、x2，且x1x2

2（I）求a的取值范围，并讨论fx的单调性；（II）证明：fx212In24解:（I）fx2xa1x2x2xa1x2(x1)

2令g(x)2x2xa，其对称轴为x12。由题意知x1、x2是方程g(x)0的两个均大于1的不相等的实根，

12其充要条件为48a0g(1)a0，得0a

⑴当x(1,x1)时，fx0,f(x)在(1,x1)内为增函数；

⑵当x(x1,x2)时，fx0,f(x)在(x1,x2)内为减函数；⑶当x(x2,)时，fx0,f(x)在(x2,)内为增函数；（II）由（I）g(0)a0,212x20，a(2x2222+2x2)

fx2x2aln1x2x2(2x2+2x2)ln1x2

中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！设hxx2(2x22x)ln1x(x12)，

则hx2x2(2x1)ln1x2x2(2x1)ln1x⑴当x(12,0)时，hx0,h(x)在[12,0)单调递增；

⑵当x(0,)时，hx0，h(x)在(0,)单调递减。

当x(12,0)时,hxh(12In2412)12ln24

故fx2h(x2)．

33.（201*湖南卷文）（本小题满分13分）

已知函数f(x)x3bx2cx的导函数的图象关于直线x=2对称.（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）若f(x)在xt处取得最小值，记此极小值为g(t)，求g(t)的定义域和值域。解:（Ⅰ）f(x)3x22bxc.因为函数f(x)的图象关于直线x=2对称，所以2b62，于是b6.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)x36x2cx，f(x)3x212xc3(x2)2c12.（）当c12时，f(x)0，此时f(x)无极值。

（ii）当c中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！已知函数f(x)13xaxbx,且f"(1)0

32(1)试用含a的代数式表示b,并求f(x)的单调区间；

（2）令a1,设函数f(x)在x1,x2(x1x2)处取得极值，记点M(x1,f(x1))，N(x2,f(x2))，P(m,f(m)),

x1mx2,请仔细观察曲线f(x)在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

（I）若对任意的m(x1,x2)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点Q(n,f(n)),xn

(Ⅰ)依题意,得f"(x)x22axb由f"(1)12ab0得b2a1.从而f(x)13xax(2a1)x,故f"(x)(x1)(x2a1).

32令f"(x)0,得x1或x12a.

①当a>1时,12a1

当x变化时，f"(x)与f(x)的变化情况如下表：

f"(x)f(x)

(,12a)

(12a,1)

(1,)

+单调递增

－单调递减

+单调递增

由此得，函数f(x)的单调增区间为(,12a)和(1,)，单调减区间为(12a,1)。

②当a1时，12a1此时有f"(x)0恒成立，且仅在x1处f"(x)0，故函数f(x)的单调增区间为R③当a1时，12a1同理可得，函数f(x)的单调增区间为(,1)和(12a,)，单调减区间为(1,12a)

综上：

当a1时，函数f(x)的单调增区间为(,12a)和(1,)，单调减区间为(12a,1)；当a1时，函数f(x)的单调增区间为R；

当a1时，函数f(x)的单调增区间为(,1)和(12a,)，单调减区间为(1,12a).(Ⅱ)由a1得f(x)13xx3x令f(x)x2x30得x11,x23

322由（1）得f(x)增区间为(,1)和(3,)，单调减区间为(1,3)，所以函数f(x)在处x11,x23取得极值，

中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！故M（1,53）N（3,9）。

观察f(x)的图象，有如下现象：

①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线f(x)在点P处切线的斜率f(x)之差Kmp-f"(m)的值由正连续变为负。

②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－f"(m)的m正负有着密切的关联；

③Kmp－f"(m)=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－f"(m)的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线f(x)在点P(m,f(m))处的切线斜率f"(m)m22m3；

m4m532线段MP的斜率Kmp

当Kmp－f"(m)=0时，解得m1或m2

m4m532直线MP的方程为y(xm4m32)

令g(x)f(x)(m4m532xm4m32)

当m2时，g"(x)x22x在(1,2)上只有一个零点x0，可判断f(x)函数在(1,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，又g(1)g(2)0，所以g(x)在(1,2)上没有零点，即线段MP与曲线f(x)没有异于M，P的公共点。

当m2,3时，g(0)m4m320.g(2)(m2)0

2所以存在m0,2使得g()0

即当m2,3时,MP与曲线f(x)有异于M,P的公共点

综上，t的最小值为2.

（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为1,3解法二：（1）同解法一.

（2）由a1得f(x)13xx3x，令f"(x)x2x30，得x11,x23

322由（1）得的f(x)单调增区间为(,1)和(3,)，单调减区间为(1,3)，所以函数在处取得极值。故M(1,53).N(3,9)

m4m532(Ⅰ)直线MP的方程为y

xm4m32.中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！22m4m5m4myx33由y1x3x23x3

得x33x2(m24m4)xm24m0

线段MP与曲线f(x)有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数

g(x)x3x(m4m4)xm4m在(-1,m)上有零点.

3222因为函数g(x)为三次函数,所以g(x)至多有三个零点,两个极值点.

又g(1)g(m)0.因此,g(x)在(1,m)上有零点等价于g(x)在(1,m)内恰有一个极大值点和一个极小值点,即

g"(x)3x26x(m24m4)0在(1,m)内有两不相等的实数根.

＝3612（m24m4）＞01m5等价于3(1)26(m24m4)0即m2或m1,解得2m5

3m2

6m(m24m4)0m1m1又因为1m3,所以m的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的r的最小值为2.36.（201*辽宁卷文）（本小题满分12分）

设f(x)ex(ax2x1)，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。(2)求a的值，并讨论f（x）的单调性；(1)证明：当[0,2]时，f(cos)f(sin)2

解析（Ⅰ）f"(x)ex(ax2x12ax1).有条件知，

f"(1)0，故a32a0a1.f"(x)ex(x2x2)exx(x2)(.1)故当x(,2)(1,)时，f"(x)＜0；

当x(2,1)时，f"(x)＞0.

从而f(x)在(,2)，(1,)单调减少，在(2,1)单调增加.………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)在[0,1]单调增加，故f(x)在[0,1]的最大值为f(1)e，最小值为f(0)1.

从而对任意x1，x2[0,1]，有f(x1)f(x2)e12.………10分而当[0,2]时，cos,sin[0,1].

从而f(cos)f(sin)2………12分37.（201*辽宁卷理）（本小题满分12分）

……2分于是

…中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！已知函数f(x)=

12x2－ax+(a－1)lnx，a1。

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）证明：若a5，则对任意xf(x1)f(x2)1，x2(0,)，x1x2，有x1x1。

2解析(1)f(x)的定义域为(0,)。

f"(x)xaa1x2axa1xx(x1)(x1a)x2分

（i）若a11即a2,则f"(x)(x1)2x

故f(x)在(0,)单调增加。

(ii)若a11,而a1,故1a2,则当x(a1,1)时，f"(x)0;当x(0,a1)及x(1,)时，f"(x)0

故f(x)在(a1,1)单调减少，在(0,a1),(1,)单调增加。

(iii)若a11,即a2,同理可得f(x)在(1,a1)单调减少，在(0,1),(a1,)单调增加.(II)考虑函数g(x)f(x)x

122xax(a1)lnxx

则g(x)x(a1)a1x2xga1x(a1)1(a11)2

由于1中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！＜6.

（21）解析

（Ⅰ）当ab3时，f(x)(x33x23x3)ex，故

f"(x)(x3x3x3)eex32x(3x6x3)e2x

(x39x)

xx(x3)(x3)e

当x3或0x3时，f"(x)0;当3x0或x3时，f"(x)0.

从而f(x)在(,3),(0,3)单调增加，在（3，单调减少.0），（3，）(Ⅱ)f"(x)(x33x2axb)ex(3x26xa)exex[x3(a6)xba].由条件得：f"(2)0,即232(a6)ba0,故b4a,从而

f"(x)e[x(a6)x42a].

x3因为f"()f"()0,所以

x(a6)x42a(x2)(x)(x)(x2)(x()x).

23将右边展开，与左边比较系数得，2,a2.故

()42124a.

又(2)(2)0,即2()40.由此可得a6.

于是6.

39.（201*陕西卷文）（本小题满分12分）已知函数f(x)x3ax1,a0

3求若

f(x)的单调区间；

f(x)在x1处取得极值，直线y=my与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。

"22解析（1）f(x)3x3a3(xa),

"当a0时，对xR，有f(x)0,

当a0时，f(x)的单调增区间为(,)

中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！当a0时，由f"(x)0解得xa或x由f"(x)0解得axa，

a；

当a0时，f(x)的单调增区间为(,a),(a,)；f(x)的单调减区间为(a,a)。（2）因为f(x)在x1处取得极大值，所以f"(1)3(1)23a0,a1.所以f(x)x33x1,f"(x)3x23,由f"(x)0解得x11,x21。

由（1）中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3。

因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，又f(3)193，f(3)171，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(3,1)。40.(201*陕西卷理)（本小题满分12分）

已知函数f(x)ln(ax1)1x1x,x0，其中a0

若求

f(x)在x=1处取得极值，求a的值；

f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若f(x)的最小值为1，求a的取值范围。

解（Ⅰ）f"(x)aax12(1x)2axa2(ax1)(1x)22,

21a20,解得a1.∵f(x)在x=1处取得极值，∴f"(1)0,即a（Ⅱ）f"(x)axa2(ax1)(1x)22,

∵x0,a0,∴ax10.

①当a2时，在区间(0,)上，f"(x)0,∴f(x)的单调增区间为(0,).②当0a2时，由f"(x)0解得x2aa,由f"(x)0解得x2aa,

∴f(x)的单调减区间为（0，

2-aa),单调增区间为（2-aa，）.中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！（Ⅲ）当a2时，由（Ⅱ）①知，f(x)的最小值为f(0)1;

2aa2aa当0a2时，由（Ⅱ）②知，f(x)在x处取得最小值f()f(0)1,

综上可知，若f(x)得最小值为1，则a的取值范围是[2,).41.（201*四川卷文）（本小题满分12分）

已知函数f(x)x32bx2cx2的图象在与x轴交点处的切线方程是y5x10。（I）求函数f(x)的解析式；（II）设函数g(x)f(x)量x的值.

解析（I）由已知,切点为(2,0),故有f(2)0,即4bc30……①又f(x)3x24bxc，由已知f(2)128bc5得8bc70……②联立①②，解得b1,c1.

所以函数的解析式为f(x)x32x2x2…………………………………4分（II）因为g(x)x2xx2令g(x)3x4x123213mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变

13mx

13m0

13m0有实数解，

2当函数有极值时，则0，方程3x4x1

由4(1m)0，得m1.①当m1时，g(x)0有实数x23，在x1323左右两侧均有g(x)0，故函数g(x)无极值

1m),x213(21m),g(x),g(x)情况如下表：

②当m1时，g(x)0有两个实数根x1x(,x1)(2x1(x1,x2)x2(x2)g(x)g(x)+0极大值-0极小值+所以在m(,1)时，函数g(x)有极值；当x13(21m)时，g(x)有极大值；当x13(21m)时，g(x)有极小值；

…………………………………12分

42.（201*湖北卷文）（本小题满分14分）

已知关于x的函数f(x)＝

13x3＋bx2＋cx＋bc,其导函数为f+(x).令g(x)＝f+(x),中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.(Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-43，试确定b、c的值：

（Ⅱ）若b>1,证明对任意的c,都有M>2:

(Ⅲ)若MK对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。

本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分）

2（I）解析f"(x)x2bx，由cf(x)在x1处有极值43

f"(1)12bc0可得14

f(1)bcbc33解得b1b1,或

c1c3若b1,c1，则f"(x)x22x1(x1)20，此时f(x)没有极值；若b1,c3，则f"(x)x22x3(x1)(x1)当x变化时，f(x)，f"(x)的变化情况如下表：x

f"(x)f(x)

(,3)

(3,1)

10极大值43(1,)

0极小值12

43+

当x1时，f(x)有极大值，故b1，c3即为所求。

22（Ⅱ）证法1：g(x)|f"(x)||(xb)bc|

当|b|1时，函数yf"(x)的对称轴xb位于区间[1.1]之外。

f"(x)在[1,1]上的最值在两端点处取得

故M应是g(1)和g(1)中较大的一个

2Mg(1)g(1)|12bc||12bc||4b|4,即M2

证法2（反证法）：因为|b|1，所以函数yf"(x)的对称轴xb位于区间[1,1]之外，

f"(x)在[1,1]上的最值在两端点处取得。

故M应是g(1)和g(1)中较大的一个假设M2，则

中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！g(1)|12bc|2g(1)|12bc|2

将上述两式相加得：

4|12bc||12bc|4|b|4，导致矛盾，M2

（Ⅲ）解法1：g(x)|f"(x)||(xb)2b2c|（1）当|b|1时，由（Ⅱ）可知M2；

（2）当|b|1时，函数yf"(x）的对称轴xb位于区间[1,1]内，

此时Mmaxg(1),g(1),g(b)

由f"(1)f"(1)4b,有f"(b)f"(1)b(1)20

①若1b0,则f"(1)f"(1)f"(b),g(1)maxg(1),g(b)，于是Mmax|f"(1),|f"(b)|12(|f"(1)|f"(b)|)12|f"(1)f"(b)|12(b1)212

②若0b1，则f"(1)f"(1)f"(b),g(1)maxg(1),g(b)于是Mmax|f"(1)|,|f"(b)|综上，对任意的b、c都有M1212(|f"(1)||f"(b)|)12|f"(1)f"(b)|12(b1)212

1212而当b0,c时，g(x)x2在区间[1,1]上的最大值M12

故Mk对任意的b、c恒成立的k的最大值为解法2：g(x)|f"(x)||(xb)bc|（1）当|b|1时，由（Ⅱ）可知M2；

。

22（2）当|b|1时，函数yf"(x)的对称轴xb位于区间[1,1]内，此时Mmaxg(1),g(1),g(b)

4Mg(1)g(1)2g(h)|12bc||12bc|2|bc|

2|12bc(12bc)2(bc)||2b2|2，即M2212

下同解法1

43.（201*宁夏海南卷文）（本小题满分12分）

已知函数f(x)x3ax9axa.(1)设a1，求函数fx的极值；

32中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！(2)若a14，且当x1,4a时，f"(x)12a恒成立，试确定a的取值范围.

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

（21）解析

（Ⅰ）当a=1时，对函数f(x)求导数，得

f(x)3x6x9.

"2令f"(x)0,解得x11,x23.

列表讨论f(x),f"(x)的变化情况：x

f(x)

"(,1)

1（-1，3）

30极小值-26

(3,)

0极大值6

f(x)

所以，f(x)的极大值是f(1)6，极小值是f(3)26.

（Ⅱ）f"(x)3x26ax9a2的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.若

"14a1,则f(x)在[1,4a]上是增函数，从而

"f(x)在[1,4a]上的最小值是f(1)36a9a,最大值是f(4a)15a.

"2"2由|f(x)|12a,得12a3x6ax9a12a,于是有

"22f(1)36a9a12a,且f(4a)15a12a.

"2"2由f(1)12a得所以a(,1][4""13a1,由f(4a)12a得0a45],即a(14,].45"45.

113,1][0,2若a>1,则|f(a)|12a12a.故当x[1,4a]时|f(x)|12a不恒成立.

"所以使|f(x)|12a(x[1,4a])恒成立的a的取值范围是(,].

"144544.（201*天津卷理）（本小题满分12分）

22x已知函数f(x)(xax2a3a)e(xR),其中aR

(1)当a0时，求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率；

(2)当a23时，求函数f(x)的单调区间与极值。

本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。

中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！（I）解析当a0时，f(x)x2ex，f"(x)(x22x)ex，故f"(1)3e.所以曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e.

（II）解：f"(x)x2(a2)x2a24aex.

令f"(x)0，解得x2a，或xa2.由a23知，2aa2.

以下分两种情况讨论。（1）若a＞x

23，则2a＜a2.当x变化时，f"(x)，f(x)的变化情况如下表：

，2a

2a，a2

a2，

(2a，a2)内是减函数.

0极大值

0极小值

所以f(x)在(，2a)，(a2，)内是增函数，在函数f(x)在x2a处取得极大值函数f(x)在xa2处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae.

f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.

（2）若a＜x

23，则2a＞a2，当x变化时，f"(x)，f(x)的变化情况如下表：

，a2

a2，2a

2a，

(a2，2a)内是减函数。

0极大值0极小值

所以f(x)在(，a2)，(2a，)内是增函数，在函数f(x)在xa2处取得极大值函数f(x)在x2a处取得极小值f(a2)，且f(a2)(43a)ef(2a)，且f(2a)3ae2a.

45.（201*四川卷理）（本小题满分12分）

x已知a0,且a1函数f(x)loga(1a)。

（I）求函数f(x)的定义域，并判断f(x)的单调性；

anf(n)（II）若nN,求lim*naa;

f(x)2)(xm1)，若函数h(x)的极值存在，求实数m的（III）当ae（e为自然对数的底数）时，设h(x)(1e取值范围以及函数h(x)的极值。

本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。解析（Ⅰ）由题意知1a0

x中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！当0a1时，f(x)的定义域是（0，）；当a1时，f(x)的定义域是（，0）-alna1axxf(x)=glogaeaxxa1

当0a1时，x(0,).因为ax10,ax0,故f(x)0,因为n是正整数，故0中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！（Ⅱ）求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）令a1，设函数f(x)在x1,x2(x1x2)处取得极值，记点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2))，证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点；解法一：

（I）依题意，得f"(x)x22axb由f"(1)12ab0得b2a1（Ⅱ）由（I）得f(x)13xax(2a1)x（

32故f"(x)x22ax2a1(x1)(x2a1)令f"*(x)0，则x1或x12a①当a1时，12a1

当x变化时，f"(x)与f(x)的变化情况如下表：

(,12a)

(2a,1)

(1)

f"(x)f(x)

+单调递增

单调递减

+单调递增

由此得，函数f(x)的单调增区间为(,12a)和(1,)，单调减区间为(12a,1)

②由a1时，12a1，此时，f"(x)0恒成立，且仅在x1处f"(x)0，故函数f(x)的单调区间为R③当a1时，12a1，同理可得函数f(x)的单调增区间为(,1)和(12a,)，单调减区间为(1,12a)综上：

当a1时，函数f(x)的单调增区间为(,12a)和(1,)，单调减区间为(12a,1)；当a1时，函数f(x)的单调增区间为R；

当a1时，函数f(x)的单调增区间为(,1)和(12a,)，单调减区间为(1,12a)（Ⅲ）当a1时，得f(x)13xx3x

323由f"(x)x2x30，得x11,x23

由（Ⅱ）得f(x)的单调增区间为(,1)和(3,)，单调减区间为(1,3)所以函数f(x)在x11.x23处取得极值。故M(1,).N(3,9)

中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！所以直线MN的方程为y83x1

122yxx3x3由得x33x2x30

y8x13令F(x)x33x2x3

易得F(0)30,F(2)30，而F(x)的图像在(0,2)内是一条连续不断的曲线，故F(x)在(0,2)内存在零点x0，这表明线段MN与曲线f(x)有异于M,N的公共点解法二：

（I）同解法一（Ⅱ）同解法一。

（Ⅲ）当a1时，得f(x)13xxx3x，由f"(x)x2x30，得x11,x23

322由（Ⅱ）得f(x)的单调增区间为(,1)和(3,)，单调减区间为(1,3)，所以函数f(x)在x11,x23处取得极值，

故M(1,),N(3,9)

35所以直线MN的方程为y83x1

132yxx3x3由得x33x2x30y8x13解得x11,x21.x33

x11x21x33511y9y,y,31233所以线段MN与曲线f(x)有异于M,N的公共点(1,113)

47.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

48.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。（1）．．．．．．16分

49.（201*重庆卷理）（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）

2(k0)设函数f(x)axbxk在x0处取得极值，且曲线yf(x)在点(1,f(1)处)的切线垂直于直线

x2y10．

（Ⅰ）求a,b的值；

中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！（Ⅱ）若函数g(x)exf(x)，讨论g(x)的单调性．

解（Ⅰ）因f(x)ax2bxk(k0),故f(x)2axb又f(x)在x=0处取得极限值，故f(x)0,从而b0

由曲线y=f(x)在（1，f（1））处的切线与直线x2y10相互垂直可知该切线斜率为2，即f(1)2,有2a=2,从而a=1

e2x（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g(x)xk(k0)

g(x)e(x2xk)(xk)22x2(k0)

令g(x)0,有x22xk0

（1）当44k0,即当k>1时，g(x)>0在R上恒成立，

故函数g(x)在R上为增函数

（2）当44k0,即当k=1时，g(x)K=1时，g（x）在R上为增函数

e(x1)(xk)2x220(x0)

（3）44k0,即当0中小学1对1课外辅导专家让教育孩子成为一件轻松愉快的事情！32"2g(x)(xa)f(x)xaxxa从而g(x)3x2ax1,曲线yg(x)有斜率为0的切线，故有

g(x)0有实数解.即3x2ax10有实数解.此时有4a12≥0解得

"22a,33,所以实数a的取值范围:a,33,

（Ⅱ）因x1时函数yg(x)取得极值,故有g"(1)0即32a10,解得a2又g"(x)3x24x1(3x1)(x1)令g"(x)0,得x11,x2当x(,1)时,g"(x)0,故g(x)在(,1)上为增函数当x(1,)时,g"(x)0,故g(x)在(1,)上为减函数

331113

当x(

13,)时,g(x)0,故g(x)在("13,)上为增函数

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