初中数学竞赛辅导资料(48)
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初中数学竞赛辅导资料(48)
非负数
甲内容提要
1.非负数的意义：在实数集合里，正数和零称为非负数.
a是非负数，可记作a≥0,读作a大于或等于零，即a不小于零.2.初中学过的几种非负数：
⑴实数的绝对值是非负数.若a是实数，则a≥0.
⑵实数的偶数次幂是非负数.若a是实数，则a2n≥0（n是正整数）.⑶算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数.若a是二次根式，则a≥0，a≥0.
⑷一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立.若二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，则b2－4ac≥0.若b2－4ac≥0(a≠0)，则二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根.
⑸数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数.3.非负数的性质：
⑴非负数集合里，有一个最小值，它就是零.
例如：a2有最小值0（当a=0时），x1也有最小值0（当x=－1时）.⑵如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零.若a≥0且－a≥0，则a=0；
如果a－b≥0且b－a≥0，那么a－b=0.⑶有限个非负数的和或积仍是非负数.
例如：若a，b，x都是实数数，则a2+b2≥0,a×b≥0,a2x≥0.⑷若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零.例如若a1（b＋3）2+2c1=0
a10a10a12那么(b3)0即b30∴b3.
2c10c0.52c10
乙例题
例1.求证：方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根证明：把方程左边分组配方，得（x4+2x2+1）+(x2+2x+1)+4=0即（x2+1）2+(x+1)2=－4
∵（x2+1）2＞0，(x+1)2≥0，
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∴（x2+1）2+(x+1)2≥0.但右边是－4.
∴不论x取什么实数值，等式都不能成立.∴方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根.例2.
a取什么值时，根式(a2)(a1)(a2)(1a)有意义？
解：∵二次根式的被开方数（a－2）(a1)与(a－2)(1－a)都是非负数，
且（a－2）(a1)与(a－2)(1－a)是互为相反数，∴（a－2）(a1)＝0.（非负数性质2）∴a－2=0；或a1=0.
∴a1=2,a2=1,a3=－1.
答：当a=2或a=1或a=－1时，原二次根式有意义.例3.
x2168x12
要使等式（2－x）+＝0成立，x的值是＿＿＿＿.
x43（1991年泉州市初二数学双基赛题）
x2168x12
解：要使原等式成立∵（2－x）≥0，∴≤0.
x43x4x2168x∴＝＝－1，(x－4≠0)
x4x4∴（2－
1x）2＝1，且x－4免费教学资源网站无需注册，免费下载，关注课件、试题、教案的打包下载和参考
∴只有当（a+2b）2＝0且(a－1)2＝0不等式①和②才能同时成立.答：当a=1且b=－丙练习48
1.已知在实数集合里x33x有意义，则x=____.2.要使不等式（a+1）2≤0成立，实数a=_____.
3.已知a1b2b1＝0，则a=＿＿,b=＿＿,a100b101=____.4.把根号外因式移到根号里：
①－aa=＿＿＿，②bb=＿＿＿＿，③－c35.如果a
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非负数
甲内容提要
1.非负数的意义：在实数集合里，正数和零称为非负数.
a是非负数，可记作a≥0,读作a大于或等于零，即a不小于零.2.初中学过的几种非负数：
⑴实数的绝对值是非负数.若a是实数，则a≥0.
⑵实数的偶数次幂是非负数.若a是实数，则a2n≥0（n是正整数）.⑶算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数.若a是二次根式，则a≥0，a≥0.
⑷一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立.若二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，则b2－4ac≥0.若b2－4ac≥0(a≠0)，则二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根.
⑸数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数.3.非负数的性质：
⑴非负数集合里，有一个最小值，它就是零.
例如：a2有最小值0（当a=0时），x1也有最小值0（当x=－1时）.⑵如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零.若a≥0且－a≥0，则a=0；
如果a－b≥0且b－a≥0，那么a－b=0.⑶有限个非负数的和或积仍是非负数.
例如：若a，b，x都是实数数，则a2+b2≥0,a×b≥0,a2x≥0.⑷若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零.例如若a1（b＋3）2+2c1=0
a10a10a12那么(b3)0即b30∴b3.
2c10c0.52c10
乙例题
例1.求证：方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根证明：把方程左边分组配方，得（x4+2x2+1）+(x2+2x+1)+4=0即（x2+1）2+(x+1)2=－4
∵（x2+1）2＞0，(x+1)2≥0，
1∴（x2+1）2+(x+1)2≥0.但右边是－4.
∴不论x取什么实数值，等式都不能成立.∴方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根.例2.
a取什么值时，根式(a2)(a1)(a2)(1a)有意义？
解：∵二次根式的被开方数（a－2）(a1)与(a－2)(1－a)都是非负数，
且（a－2）(a1)与(a－2)(1－a)是互为相反数，∴（a－2）(a1)＝0.（非负数性质2）∴a－2=0；或a1=0.
∴a1=2,a2=1,a3=－1.
答：当a=2或a=1或a=－1时，原二次根式有意义.例3.
x2168x12
要使等式（2－x）+＝0成立，x的值是＿＿＿＿.
x43（1991年泉州市初二数学双基赛题）
x2168x12
解：要使原等式成立∵（2－x）≥0，∴≤0.
x43x4x2168x∴＝＝－1，(x－4≠0)
x4x4∴（2－
1x）2＝1，且x－4∴只有当（a+2b）2＝0且(a－1)2＝0不等式①和②才能同时成立.答：当a=1且b=－丙练习48
1.已知在实数集合里x33x有意义，则x=____.2.要使不等式（a+1）2≤0成立，实数a=_____.
3.已知a1b2b1＝0，则a=＿＿,b=＿＿,a100b101=____.4.把根号外因式移到根号里：
①－aa=＿＿＿，②bb=＿＿＿＿，③－c35.如果a
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