人教版数学必修五知识点总结
新人教A版数学必修五知识要点总结
第一章解三角形
1、内角和定理：（1）三角形三角和为，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．（2）锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方．
2、正弦定理：
abc2R（R为三角形外接圆的半径）．
sinAsinBsinC(1)a:b:csinA:sinB:sinC;(2)a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC（3）解三角形：已知三角形的几个元素求另外几个元素的过程。
可求其它边和角已知两角和任意一边，，可求其它元素已知两边和一边的对角注意：已知两边一对角，求解三角形，若用正弦定理，则务必注意可能有两解．
b2c2a2cosA2bca2b2c22bccosA222acb2223、余弦定理：（求边）bac2accosB或（求角）cosB2acc2a2b22abcosC222cosCabc2ab已知两边一角求第三边．已知三边求所有三个角（注:常用余弦定理鉴定三角形的类型）已知两边和一边对角，求其它12absinC1abc14、三角形面积公式：SahabcsinA．
224R1acsinB25、解三角形应用
（1）在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角。
（2）从正北方向顺时针转到目标方向的水平角叫方位角。（3）坡面与水平面所成的二面角度数的正切值叫做坡度。（4）解斜三角形应用题的一般步骤：
分析→建模→求解→检验新人教A版数学必修五知识要点总结
第二章数列
1．数列的通项、数列的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n项和公式的关系：an,(n1)SSS,(n2)1nn1（必要时请分类讨论）．
注意：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1；an2．等差数列{an}中：
（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性．
anan1a2a1．
an1an2a1d0数列单调递增，可知d的取值为dR.d0数列为常数列d0数列单调递减（2）ana1(n1)dam(nm)d；pqmnapaqaman．（3）1an2bn、{kan}也成等差数列．
（4）在等差数列{an}中，若amn,anm(mn),则amn0.（5）a1a2am,akak1akm1,仍成等差数列．（6）Snn(a1an)n(n1)ddSd，Snn2(a1)n，an2n1，，Snna1。
2n12222amS2m1.bmT2m1an（7）若Sn,Tn分别为等差数列,bn的前项和，则两数列第m项之比（8）若an为等差数列，则其前m项和、中间m项和、后m项和Sm,S2mSm,S3mS2m成等差数列。
（9）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；
“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和；
（10）两数的等差中项惟一存在．在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解．
（11）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法（也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式）．新人教A版数学必修五知识要点总结
3．等比数列{an}中：
（1）等比数列的符号特征（全正或全负或一正一负），等比数列的首项、公比与等比数列的单调性．
（2）ana1qn1amqnm；pqmnbpbqbmbn．（3）{an}、{bn}成等比数列{|an|}、an,aa1、，{ka}abb2nnnn成等比数列．nn（4）a1a2am,akak1akm1,成等比数列．
na1(q1)na1(q1)a1n（5）Sna1anqa1(1qn)．a1q(q1)(q1)1q1q1q1q特别：anbn(ab)(an1an2ban3b2abn2bn1)．
（6）若an为等比数列，则其前m项和、中间m项和、后m项和Sm,S2mSm,S3mS2m成等比数列。
（7）“首大于1”的正值递减等比数列中，前n项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前n项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；
（8）有限等比数列中，若总项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和．
（9）等比中项要么不存在，要么仅当实数a,b同号时存在，且必有一对Gab．（10）判定是否是等比数列的方法：定义法、中项法、通项法、和式法。4．等差数列与等比数列的联系
（1）如果数列{an}成等差数列，那么数列{An}（An总有意义）必成等比数列．（2）如果数列{an}成等比数列，那么数列{loga|an|}(a0,a1)必成等差数列．（3）如果数列{an}既成等差又成等比，那么数列{an}是非零常数数列；但反之不成立。（4）如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，5．数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式（三种形式），
②等比数列求和公式（三种形式），
aa新人教A版数学必修五知识要点总结
2222③123n1n(n1)，123n1n(n1)(2n1)，
26135(2n1)n2，135(2n1)(n1)2．
（2）分组求和法：常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．（3）倒序相加法；（4）错位相减法；（5）裂项相消法：①
1111，②1(11)，
n(n1)nn1n(nk)knnk特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查公比与1的关系，必要时分类讨论．
三、不等式
1．（1）求不等式的解集，务必用集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．
（2）解分式不等式fxaa0（移项通分，等价为分子分母相乘大于或小于0）；gx（3）含有两个绝对值的不等式（一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化）；（4）解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论．注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集．
2．利用重要不等式ab2ab以及变式ab(ab)等求函数的最值时，务必注意a，
22bR，且“等号成立”时的条件是积ab或和a＋b其中之一应是定值（一正二定三相等）．
22ababab2（根据目标不等式左右的运算结构选用）3．常用不等式：2211aba、b、cR，abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）4．比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法
5．含绝对值不等式的性质：
222a、b同号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；a、b异号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|．
6．不等式的恒成立问题
若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxminA若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB
扩展阅读：高中数学必修5知识点总结(精品)
必修5知识点总结
1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有
asinbsincsinC2R．
2、正弦定理的变形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin④
a2R，sinb2R，sinCabsinc2R；③a:b:csin:sin:sinC；
csinCabcsinsinsinCsin．
（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：当无交点则B无解、当有一个交点则B有一解、当有两个交点则B有两个解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：当a但不能到达，在岸边选取相距3千米的C、D两点，并测得∠ACB=75O,∠BCD=45O,∠ADC=30O,
∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。本题解答过程略
附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．8、数列的项：数列中的每一个数．9、有穷数列：项数有限的数列．10、无穷数列：项数无限的数列．
11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1>an）．12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+1④nana1d1；⑤danamnm．
21、若an是等差数列，且mnpq（m、n、p、q*），则amanapaq；若an是等差数列，且2npq（n、p、q*），则2anapaq．22、等差数列的前n项和的公式：①Snna1an2；②Snna1nn12d．③
sna1a2an
23、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2nn*，则S2nnanan1，且S偶S奇nd，
S奇S偶anan1．
S奇S偶nn1②若项数为2n1n*，则S2n12n1an，且S奇S偶an，S偶n1an）．
（其中S奇nan，
24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符号表示：
an1anq（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位上
的值同号）
注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：
2①anan1q(n2,q为常数,且0)②anan1an1(n2，anan1an10)
③ancqn(c,q为非零常数).
④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x1）成等比数列.
25、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若Gab，
22则称G为a与b的等比中项．（注：由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）
2n126、若等比数列an的首项是a1，公比是q，则ana1q．
27、通项公式的变形：①anamqnm；②a1anqn1；③qn1ana1；④qnmanam．
*28、若an是等比数列，且mnpq（m、n、p、q），则amanapaq；若an是等比
数列，且2npq（n、p、q*），则anapaq．
na1q129、等比数列an的前n项和的公式：①Sna1qnaaq．②sn1n1q11q1q2a1a2an
30、对任意的数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：ans1a1(n1)snsn1(n2)
[注]：①ana1n1dnda1d（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）.②等差{an}前n项和Sndddd22AnBnna1n→
222可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若
为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）．．附：几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前n项和为Sn，在d0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：
d2n2一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列等差数列等比数列数列等差数列前n项和公式通项公式(a1d2)n利用二次函数的性质求n的值.
对应函数（时为一次函数）（指数型函数）对应函数（时为二次函数）等比数列（指数型函数）我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。例题：1、等差数列分析：因为
中，，则.
是等差数列，所以是关于n的一次函数，
一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,)三点共线，
所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如上），这里利用等差数
列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。例题：2、等差数列
中，
，前n项和为
，若
，n为何值时
最大？
分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，
是抛物线=上的离散点，根据题意，，
则因为欲求最大。
最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，
例题：3递增数列，对任意正整数n，
递增得到：
恒成立，设
恒成立，求
恒成立，即，则只需求出。
，因为是递的最大值即
分析：构造一次函数，由数列恒成立，所以可，显然
有最大值
对一切
对于一切
，所以看成函数
的取值范围是：
构造二次函数，，它的定义域是
增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)
为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴的左侧
在也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，
，得
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前
n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：112,314,...(2n1)12n,...
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，
公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.
2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证anan1(anan1)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证
2an1anan2(an1anan2)nN都成立。
2am03.在等差数列｛an｝中,有关Sn的最值问题：(1)当a1>0,d把①式两边同乘2后得
2sn=122232n2234n1②
用①-②，即：
123nsn=122232n2①
2sn=122232n2234n1②
得sn12222n22(12)12n1n23nn1n2n1
22n2n1n1(1n)22∴sn(n1)2n12
4.倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5.常用结论1）:1+2+3+...+n=
n(n1)2212）1+3+5+...+(2n-1)=n3）12nn(n1)2223334）123n22216n(n1)(2n1)5）
1n(n1)1n1n1
1n(n2)1pq111()2nn21qp1p1q6）()(pq)
31、ab0ab；ab0ab；ab0ab．
32、不等式的性质：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；
nd0acabdb0a⑥；⑦
⑧ab0
nnbn,n1；
anbn,n1．
33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式（高次不等式）的解法
穿根法（零点分段法）求解不等式：a0xa1xnn1a2xn2an0(0)(a00)
解法：①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“
由图可看出不等式x23x26x80的解集为：
x|2x1,或x4
(x1)(x2)(x5)(x6)(x4)0的解集。
例题：求解不等式
解：略
一元二次不等式的求解：
特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；
②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的讨论.
二次函数yax22
000bxc有两相异实根x1,x2(x1x2)（a0）的图象一元二次方程ax2有两相等实根x1x2b2abxc0a0的根2无实根Raxbxc0(a0)的解集axbxc0(a0)的解集2xxx或xx12bxx2axx1xx2对于a0(或
f(x)g(x)（2）转化为整式不等式（组）
1xf(x)g(x)0f(x)g(x)0;f(x)g(x)00g(x)0g(x)
f(x)例题：求解不等式：解：略例题：求不等式
xx11
1的解集。
3.含绝对值不等式的解法：基本形式：
①型如：|x|＜a(a＞0)的不等式的解集为：x|axa②型如：|x|＞a(a＞0)的不等式的解集为：x|xa,或xa变型：
其中-c3x23x23x2(x2)(x3)10xR③当x2时，（去绝对值符号）原不等式化为：x2x292x9(x2)(x3)102x2由①②③得原不等式的解集为：x|112x9（注：是把①②③的解集并在一起）2y函数图像法：
令f(x)|x2||x3|
2x1(x3)则有：f(x)5(3x2)
2x1(x2)f(x)=1051123o292x在直角坐标系中作出此分段函数及f(x)10的图像如图11292由图像可知原不等式的解集为：x|x4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：y设ax2+bx+c=0的两根为、，f(x)=ax2+bx+c,那么：0①若两根都大于0，即0,0，则有0
0o对称轴x=b2ax
0b0②若两根都小于0，即0,0，则有2af(0)0y
11对称轴x=b2aox
③若两根有一根小于0一根大于0，即0，则有f(0)0
④若两根在两实数m,n之间，即mn，
0bnm则有2af(m)0of(n)0yoxymX=b2anx⑤若两个根在三个实数之间，即mtn，
yf(m)0则有f(t)0
f(n)0
常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数
例如：若方程x2(m1)xm2m30有两个正实数根，求m的取值范围。
4(m1)24(m22m3)00m1m1m3解：由①型得02(m1)00m1,或m32m2m3022omX=tb2anx所以方程有两个正实数根时，m3。
又如：方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范围。
55220m(1)4(m1)02解：因为有两个不同的根，所以由21m122f(1)011m101m12235、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．
36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y，所有这样的有序数对x,y构成的集合．
38、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0，坐标平面内的点x0,y0．①若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方．②若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的下方．39、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0．（一）由B确定：
①若0，则xyC0表示直线xyC0上方的区域；xyC0表示直线
xyC0下方的区域．
②若0，则xyC0表示直线xyC0下方的区域；xyC0表示直线
xyC0上方的区域．
（二）由A的符号来确定：
先把x的系数A化为正后，看不等号方向：
①若是“>”号，则xyC0所表示的区域为直线l:xyC0的右边部分。②若是“线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．可行解：满足线性约束条件的解x,y．可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．41、设a、b是两个正数，则
ab2称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数．
ab2ab．
42、均值不等式定理：若a0，b0，则ab2ab，即
43、常用的基本不等式：①ab2aba,bR；②ab222ab222a,bR；③
abab2a0,b0；
2④
ab222ab2a,bR．
44、极值定理：设x、y都为正数，则有：
⑴若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值
s42．⑵若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2例题：已知x解：∵x5454p．
14x5，求函数f(x)4x2的最大值。
，∴4x50
由原式可以化为：
f(x)4x55214x5(54x)154x3[(54x)154x]3(54x)154x3132
当54x154x2，即(54x)1x1，或x32(舍去）时取到“=”号
也就是说当x1时有f(x)max2
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