13.算术平均数的巧用
浙江13杨象富
数学里形形色色的“平均”，在理论和实践上都有着广泛的应用。这里介绍算术平均数在解题中的若干妙用。
44例1.求方程?2x?1?1???2x?1?3??16的实数根。 解：取方程左边两底数的算术平均数?2x?1?2?，
并用y表示，则(y+1)4+(y－1)4=16，
整理得y4+6y2－7=0。解之得y2=1。由此得：x1?211，x2??31。
n 3232
例2.已知a＞0，b＞0。求证：an?bn
2≥a?b. 2
这题与高中数学课本第三册复习题四，第15(4)题完全等价。课本上指明用数学归纳法，现在用“平均数代换”证明。 证明：令a?b?a, (a＞0)，b?a?d。 22
则a=a－d，b=a+d。
nn?a?d???a?d?左边=n n n2?a?can2n?2d?can?4d4?? n24
≥n an?a?a?b. 2
例3.求证n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，x?x???xn即对正数x1，x2，?，xn有x1?x2?xn≤12. n
这又是课本(高中第三册第6页)上提到而未加证明的重要定理，它有许多证法。下面的证法是相当巧妙的，而其关键也在于引进了算术平均数。
证明：①先用数学归纳法证明，当n=2，4，8，?，2m时命题成立(略)。
②如果n不是2m形状，我们选择m，使2m＞n，又
设x1?x2???xn
n=a，并且在x1，x2，?，xn这些数上再添
补2m－n个a，即补上xn+1=xn+2=?=x2m=a。
于是按①有
x1?x2?xn?xn?1?x2m≤?x1?x2???xn?????xn?1???x2?m2m.
故x1?x2?xn?a
2m 2m?n≤?x1?x2???xn???2m?n?a?na??2m?n?a2m2m. 即x1?x2?xn?a
m2m?n≤a。 n x?x???xn两边2次方并整理之，可得x1?x2?xn≤12。 n
例4.已知a、b、c、d、e是满足a+b+c+d+e=8, a2+b2+c2+d2+e2=16的实数，试确定e的最大值。
解：用平均数代换更轻巧些。因为a+b+c+d =8－e, 令a?8?e??,b?8?e??,c?8?e??,d?8?e??.则????????0.而4444
8?e?8?ea+b+c+d=4???2??2??2??2 ???2??????????4?4?
22??8?e?8?e?2222=. ????????≥44
2222222?8?e?由已知a+b+c+d =16－e，故有16－e≥. 4
即5e2－16e≤0,∴0≤e≤16. 5
e的最大值为16(此时a=b=c=d=11)。 5522222
从解题过程还可知道e的最小值为0。(此时a=b=c=d=2)
第二篇：《给教师的36条建议》读书笔记《给教师的36条建议》读书笔记
余燕微
一口气读完李镇西老师写的《给教师的36条建议》这本书，顿时有一种豁然开朗的感觉。让平常在教学、在与家长的相处、与孩子们的沟通、与同事们的共事中的种种疑惑与不解有了自己的理解与看法。下面我就谈谈我对这本书的浅见。
教师每天面对的都是一群孩子，正因为我们相处的对象不同，所以决定我们必须学会独特的沟通方式。面对这一群祖国的花朵，到底怎样与他们相处，怎样沟通、怎样合理处理他们中出现的矛盾才能让他们茁壮成长呢？李镇西老师说：“尊重”在人际关系中的意义是非凡的，人是有尊严的，因此每个人都希望得到别人的尊重。如果再说得深刻一些，作为生活方式的民主，其核心便是对人的尊重。也就是说，尊重别人，就是一种民主生活方式的体现。所以，在与学生的相处中、或者在处理学生的各种“民事案件”时，一切以尊重为前提定会起到意想不到的效果。
要管理好一个班级，当然要有班规，而且每个班都有班规，但从班规的制定到班规的实施中不同的老师、不同的学生、不同的班级往往处理得方式是不一样的。那么怎样才能让一个班的班规约束班级个人的种种言行，同时引领班级积极、阳光地向上呢？李镇西老师的班级是这样的：
班规不仅管班上的孩子，还管班主任、管各科任老师，违反班规者都必须按班规处理。自古以来人们都说：“无以规矩，不能成方圆”。
在这，班规也是规矩，既然是一个班级，所以班级中的每个人都应该遵守，既然老师都能遵守了，那么班级中的学生也自然不会做违反班规的事儿。这个班级必然是一个阳光向上、带着积极灵魂的班级。
要成为一个好老师，必须是一个有爱心并且民主的老师。爱心和民主是李老师的教育观念。爱心才是教育的真正真谛，要有怎样的爱心还必须学习有效的教育技巧和教育方法。总之，读完李老师的书，让我的教育之路有了前行的方向，我也会向着这道光亮继续我的教育之路。
第三篇：《一生不可忽视得36个细节》读书笔记漫漫人生路是由无数个平凡的，不起眼的细节串缀而成的，每个细节都是人生的一个结点。
回顾过往的生活，再一遍又一遍细细品位着这本书，越觉得书中的细节的重要。老子云：“天下难事，必成于易;天下大事，必做于细。”书中的道路看看简单，但要做到持之以恒却往往很难，比如“多给别人一点微笑”，这个说起来很容易，要求我们每个人都拥有真诚的微笑来对待自己与他人，并时刻学会用微笑来与他人交流。如“懂得珍惜一分一秒的时间”人的一生是在一分一秒的时间中走过的，学会如何管理好自己的时间很重要，比如有人喜欢逛街买东西，有人做事优柔寡断，有人无节制地看电视、玩电脑，做事没有计划，东西摆放杂乱无章，让时间在等待中白白消逝，只做着空想明天的梦等，这些都是不珍惜时间的一些表现。如“不要在别人背后说三道四”说话要有口德，不要用言语来伤害别人，不要随便道人之短，不在背后诽谤他人等，说三道四的人最终也将会遭到别人的唾弃。这些都是我们日常生活中应该注意的一些细节。
看了此书，给我感受最深的还是以下两点：
一、要善于控制自己的情绪。在我的生活中、工作中，我也曾经因为控制不好自己的情绪与人红过脸，但事后我也很后悔，可是就是控制不住自己的情绪，但是随着年龄的增长，我发现自己变的不那么激动了，我一直告戒自己何必为了那么一点小事生气不值得，生气时肝火旺盛，有损健康。
二、说话做事切勿率性而为。我是一个不善言谈的人，说话常常是直言直语，因此什么时候自己得罪了什么人做错了什么事也不清楚，在这方面我觉得自己应该好好向书学习，向同事学习。
当我一次又一次翻阅此书时，我觉得收益非浅，感谢园领导送的好书，他将鼓励我，鞭策我做一个踏踏实实的人，做一个注重细节的人。
第四篇：教养笔记 (36)新年的祝福
度过了一个喜庆热闹、欢乐祥和的新春佳节，孩子们又象快乐的小鸟一般来到了幼儿园，来到了老师身边，来到了小伙伴身边。在“恭喜恭喜”的美妙歌声中，在“新年带着幸福来”的旋律伴奏下，孩子们以自己特有的方式表达着新年的美好祝福。
新年开学的第一天，孩子们如天使般带着灿烂的笑脸，陆陆续续地走进了教室。“老师，新年好！”“小朋友，新年好！”在阵阵祝福声中，涂画小朋友带着生日蛋糕出现在大家面前。“哇！今天涂画过生日啊！我们有香喷喷的蛋糕吃喽！”看到有蛋糕吃，孩子们显得极其兴奋。老师纳闷了，记得涂画的生日是在五月份，怎么会在今天过生日呢？涂画好象看出了老师的心思，大声地对大家说道：“蛋糕是和大家一起分享的！祝老师和小朋友新年快乐！”打开蛋糕盒，“新年好”三个红红的大字在白色奶油的衬托下显得格外鲜艳。原来，涂画把对老师和对小朋友浓浓的祝福情融入到了这个香喷喷的蛋糕里，多么懂事的孩子，多么有爱心的孩子啊！伴随着“新年好”的旋律及歌声，孩子们一起分享着甜甜的蛋糕，这甜甜的祝福将伴随孩子一整年，以至一生！
新年时，孩子们会收到大大小小的红包。在孩子的理解中，红包就代表着是压岁钱，而红包的深层意义或者说更为健康的意义孩子并不知晓。为了引导幼儿认识红包的积极意义，结合主题我们开展了“互送红包”的游戏活动，孩子们用画画、剪窗花或写字的方式表达着对家长、好朋友和老师的祝愿。通过活动，孩子们懂得了红包所寄寓
的是一种新年的祝福，是美好的希望！
第五篇：读书感悟36计有感读“三十六计”有感
“三十六计走位上”是人们日常生活中听得很多的一句话，三十六计中的很多计策大家耳熟能详，作为一本兵家典籍，其中闪烁着智慧火花的同时，也充满了阴森之气。为许多正直清高之人所不耻，也因此背上了不少坏的名声。
偶得此书，看完之后，爱不释手，倒不是因为想成为那种谋略家，运筹于帷幄之中决胜于千里之外。而是其中的很多谋略让人回味无穷，其中经典的战例更是让人拍案叫绝，让人体会到古代先贤们那无穷的智慧的同时，也告诉自己，在任何时候都不要言败，方法总会比困难多，自己的情形决不会比书中的战局复杂险恶，很多眼前的困难一定有解决的办法。 谋略到底是启人心智、开启成功的钥匙还是坏人心智，导致世风日下的罪魁祸首；谋略是指引生活的明灯还是毁灭生活的火焰。这些暂且不(请帮助宣传好范文 网：Wwww.bsmz.net)说，仁者见仁智者见智。大家习惯把自己放置于道德的制高点，对其善意点评甚至批评。但不可否认的是，在残酷的环境下，不思谋略仍然抱着道德的牌坊绝不可取，欲称霸的宋襄公因抱着“仁义之师”的牌子，与楚国开战，敌军进军，于半渡之时，手下人劝其进攻，他认为这有违“仁义之师”的名声，不进攻，当敌军渡过河岸开始乱哄哄的安营扎寨时，手下人又劝其进攻，宋襄公听到此话不由骂道：“你怎么净出歪主意！人家还没布好阵，你便去打他，那还称得上是仁义之师吗？” 宋襄公的话才说完，楚军已经布好阵，列队冲了过来。宋军大乱。宋襄公冲在最前面，却陷进了敌阵，被箭射中大腿最终大败。这故事当然不是说讲仁义不好，而是可以讲仁义但也不要过于迂腐，很多道德和正统的价值观在谋略面前往往显得那么苍白。
说说三十六计这本书，主要是用于战争的书，其内容和战术方法十分丰富。三十六计就是对付敌人的策略，是古代大将指挥作战的重要方略。其分为胜战计、敌战计、攻战计、混战计、并战计及败战计。每套计策共有六计，当军队处于优势时宜运用胜战、攻战和并战三套计，当军队处于劣势时宜采用敌战、混战和败战三套计。当然，兵法的运用贵在灵活、在乎一心，照搬照抄致使丧命亡国的例子比比皆是。
三十六计的总纲中写道：在事物发展变化的规律之中蕴藏着权谋，而权谋的设定和运用过程又体现着事物发展的规律，阴阳调和是宇宙万物的基本规律，任何机变和权谋都不能离开阴阳调和的道理去设计，否则就要招致失败。这说明，在运用权谋的时候，必须要深刻把握事物的内在规律，诡异权谋的创制和运用，本在事理当中，情理之外，拿空城计来说吧，诸葛亮手里只有两千老弱残兵，而司马懿数万兵马直逼而来，诸葛亮一生谨慎，按常理推断诸葛亮现在应该逃跑吧，这是人之常情，可是呢诸葛亮反而在打开城门，在城楼上悠闲的弹
着琴，视数万兵马如无物，司马懿生性多疑，以为城里面有埋伏，就绝尘而去。在这个故事里面，诸葛亮把握住事物的规律，打不过是不该打的，但他却不逃，加上自己谨慎的性格必为司马懿了解，而司马懿本身又多疑，这几者的结合方才演绎了经典的空城计。
谋略对于帮助人们克服困难，成功达到目标至关重要，成功目标的达成，离不开一定的手段和方法。对谋略学习和研究的过程，就是智慧增值的过程，随着社会的不断进步和发展，我们不可能照搬挪用，关键是要细细体会，随着时间的推移，其中的智慧必将作为一种意识积淀在心里，使人的心里结构不断丰富，心智更加成熟，思维更加活跃。
当然，我不赞成为了一己私利，而去“借刀杀人”、“趁火打劫”或者用其他的计策谋得自己想要的利益，小聪明可以得一时之利但不能得长久之利，真正的智慧只有蕴藏于正义善良之中发出光才是最灿烂的光芒，其中的谋略才会让人感觉到脉脉的温情，感觉到人间的正义和美好。
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