22章二次根式知识点总结及其应用
二次根式知识点总结及应用
一、基本知识点
1.二次根式的有关概念：
（1）形如的式子叫做二次根式.（即一个的算术平方根叫做二次根式二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零
（2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
(3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
2.二次根式的性质：
（1）非负性：a0(a)
(2)a)2(a0)
(3)a2
(4)ab(a0,b0)
a(5)(a0b0)
b3.二次根式的运算：二次根式乘法法则ab(a0,b0)
a二次根式除法法则
(a0,b0)b二次根式的加减：(一化，二找，三合并)（1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式。
Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。
二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用二、二次根式的应用1、非负性的运用例：1.已知：
2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值例1：使3xx42xy0,求x-y的值.
1有意义的x的取值范围x12例2.若x11x(xy)，则xy=_____________。
3、，进行二次根式化简
例如：.已知x,y都是实数,且满足y
x11x0.5,化简
1yy1.
例如、如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：
a2b2(ab)2
例如、先化简，再求值：
515111b，其中a=，b=．22abba(ab)4、二次根式的大小比较例：设a32，b23,c52,比较a、b、c的大小关系
5、在实数范围内分解因式例.在实数范围内分解因式。（1）
6、规律性问题
例1.观察下列各式及其验证过程：
，验证：
；；（2）
验证:
.（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想44的变形结果，并进行验15证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程.
例2.已知
发展：已知
，则a______。
，则a_________
二次根式提高测试题
一、选择题
1有意义的x的取值范围是x12．一个自然数的算术平方根为aa0，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根
1．使3x为（）
（A）a1,a1（B）a1,a1（C）a21,a21（D）a21,a21
3．若x0，则x2x等于（）
（A）0（B）2x（C）2x（D）0或2x4．若a0,b0，则a3b化简得（）
（A）aab（B）aab（C）aab（D）aab5．若y1ym，则1y2y的结果为（）
（A）m22（B）m22（C）m2（D）m2
6．已知a,b是实数，且a22abb2ba，则a与b的大小关系是（）（A）ab（B）ab（C）ab（D）ab
7．已知下列命题：
①25225；②3236；
③a232a3a3；④a2b2ab．
其中正确的有（）
（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
8．若42m6与2m34化成最简二次根式后的被开方数相同，则m的值为（（A）203（B）5126（C）13158（D）8
9．当a12时，化简14a4a22a1等于（）
（A）2（B）24a（C）a（D）0
10．化简4x24x12x32得（）
（A）2（B）4x4（C）2（D）4x4二、填空题
11．若2x1的平方根是5，则4x1_____．12．当x_____时，式子
53xx4有意义．13．已知：最简二次根式4ab与ab23的被开方数相同，则ab_____．14．若x是8的整数部分，y是8的小数部分，则x____，y_____．15．已知201*xy，且0xy，则满足上式的整数对x,y有_____．
）
16．若1x1，则x12x1_____．
3217．若xy0，且xyxyx成立的条件是_____．
1118．若0x1，则x4x4等于_____．
xx三、解答题
19．计算下列各题：（1）15
20．已知a25
21．已知x,y是实数，且y
22．若2xy4与x2y1互为相反数，求代数式xxy22213a431323a108a.（2）27aa206；
3a3353201*52201*252022，求a24a的值．
x299x22，求5x6y的值.
x33213y的值.4
23．若a、b、S满足3a5b7,S2a3b，求S的最大值和最小值.
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二次根式知识点总结及应用
一、基本知识点
1.二次根式的有关概念：
（1）形如的式子叫做二次根式.（即一个的算术平方根叫做二次根式例：下列哪些是二次根式?5;2;x21;x27;－5;二次根式有意义的条件：。（2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；例：下列哪些不是最简二次根式，并将它们化简。
15；x2y2；
49；9a2。
(3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
例：下列哪些与2是同类二次根式（）。
A.14;B、12，C、－12，D、4
2.二次根式的性质：
（1）非负性：a0(a)
(2)a)2(a0)(3)a2
(4)ab(a0,b0)(5)a(a0bb0)
3.二次根式的运算：
二次根式乘法法则ab(a0,b0)
二次根式除法法则
ab(a0,b0)二次根式的加减：(一化，二找，三合并)（1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式。
注:类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。
二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用二、二次根式的应用1、非负性的运用
例：1.已知：
x42xy0,求x-y的值.
2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值例1：使3x1x1有意义的x的取值范围
例2.若x11x(xy)2，则xy=_____________。3、进行二次根式化简
例如：.已知x,y都是实数,且满足yx11x0.5,化简
1yy1.
例如、如图，实数a、b在数轴上的位置，化
简：a2b2(ab)例如、先化简，再求值：
1ab1bba(ab)，其中a=51512，b=2．
4、二次根式的大小比较例：设a32，b23,c52,比较a、b、c的大小关系
5、在实数范围内分解因式例.在实数范围内分解因式。（1）
；（2）
6、规律性问题
例1.观察下列各式及其验证过程：
验证：
；验证:
.（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程.
例2.已知，则a_________
发展：已知，则
a______。
7、计算：（1）1531132352036；
（2）327aaa3aa343108a.
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