二次根式知识方法题型总结
二次根式知识方法题型总结
一、本章知识内容归纳
1.概念:
①二次根式形如的式子;当时有意义,当时无意义;②最简二次根式根号中不含和的二次根式;③同类二次根式的二次根式;2.性质:①a0(a0)非负性;②(a)a(a0);
③2a(a0)(字母从根号中开出来时要带绝对值
aaa(a0)再根据具体情况判断是否需要讨论)
3.运算:运算结果每一项都是最简二次根式,且无可合并的同类二次根式.①乘法和积的算术平方根可互相转化:ab2ab(a0,b0);
②除法和商的算术平方根可互相转化:
aba(a0,b0)b③加减法:先化为最简二次根式,然后合并同类二次根式;
④混合运算:有理式中的运算顺序,运算律和乘法公式等仍然适用;⑤乘法公式的推广:
a1a2a3........ana1a2a3.......an(a10,a20,.....an0)二、本章常用方
法归纳
方法1.开方①偶数次方:
a2nan;②奇数次方:
a2n1ana
方法2.分母有理化:
①概念:分母有理化就是通过使得
其中叫做该分母的有理化因式;②常用的有理化因式:
a与a、ab与ab、ab与ab互为有理化因式;
③分母有理化步骤:
先将二次根式尽量化简,找分母最简有理化因式;将计算结果化为最简二次根式的形式。方法3.非0的二次根式的倒数①a的倒数:
11aaa(a>0);②abab的倒数:a(a>0,b>0);
③※因为(n1n)(n1n),
所以(n1n)的倒数为;方法4.利用“
”外的因数化简“
”①a1aaaa(a0);②aba2b(a0,b0);三、本章典型题型归纳
(一)二次根式的概念和性质
1.x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?(1)x2-32x;(2)x-
1x1;(3)
2x1|x|2;
2.若x、y为实数,y=x2+2x+3.则yx=3.根据下列条件,求字母x的取值范围:
(1)(x3)2x3;(2)x2x;
(3)x22x1=1-x;(4)※(x2)2(x3)2=1;4.已知2a1+b2a+abc=0.则a=,b=,c=.
5.已知
x3yx29x1x320,则
y1=______________6.在实数范围内因式分解:x4-4=______________.7.已知a,b,c为三角形的三边,则(abc)2(bca)2(bca)2=8.若最简二次根式
24x1与最简二次根式46x1可以合并,则x的取值为53※9.已知a
(8)(23326)(23326)
(11)(72
223)376※(12)
221184123的整数部分是a,小数部分是b,则3ab
14.在数轴上与表示3的点的距离最近的整数点所表示的数是___________
315.若一个正方体的长为26cm,宽为3cm,高为2cm,则它的体积为cm.
※16.
132与32的关系是
1a112a2,其中”有不同的解答:a25a17.甲、乙两人对题目“化简并求值:
1a甲的解答:
乙的解答:
1a2a221111249(a)2aaaaaaa5,
1a11121112a2(a)aa。
aaaa5a2谁的解答是错误的?为什么?
※
18.
先观察下列分母有理化:12121,
13232,14343,15454,从计算结果中找出规
律,再利用这一规律计算下列式子的值:
(121132143...1201*201*)(201*1)
19.观察下列各式的特点:
2132,3223,2352,
(1)请根据以上规律填空201*201*201*201*
(2)请根据以上规律写出第n(n1)个不等式,并证明你的结论.
(三)二次根式的化简求值20.若x
53,求x26x5的值。21.若xy3,求x
yxy的值。xy12aa2a22a122.已知a23,求的值。2a1aa
(四)二次根式的比较大小24.比较下列个数的大小
(1)3与22(平方法)(3)
(4)201*-201*与201*-201*(倒数法)(6)
(7)已知:a,b是正数,求证:ab2ab.
11与(分母有理化)
75537633与
6522(分子有理化)
扩展阅读:二次根式题型知识总结
二次根式知识方法题型总结
一、本章知识内容归纳
1.概念:
①二次根式形如的式子;当时有意义,当时无意义;②最简二次根式根号中不含和的二次根式;③同类二次根式的二次根式;2.性质:①a0(a0)非负性;②(a)2a(a0);
③2a(a0)(字母从根号中开出来时要带绝对值
aaa(a0)再根据具体情况判断是否需要讨论)
3.运算:运算结果每一项都是最简二次根式,且无可合并的同类二次根式.①乘法和积的算术平方根可互相转化:abababab(a0,b0);
②除法和商的算术平方根可互相转化:(a0,b0)
③加减法:先化为最简二次根式,然后合并同类二次根式;
④混合运算:有理式中的运算顺序,运算律和乘法公式等仍然适用;⑤乘法公式的推广:a1a2a3........ana1a2a3.......an(a10,a20,.....an0)二、本章常用方法归纳
方法1.开方①偶数次方:
2nn2n1naa;②奇数次方:
aaa
方法2.分母有理化:
①概念:分母有理化就是通过使得
其中叫做该分母的有理化因式;②常用的有理化因式:
a与
a、ab与ab、
ab与ab互为有理化因式;
③分母有理化步骤:
先将二次根式尽量化简,找分母最简有理化因式;将计算结果化为最简二次根式的形式。方法3.非0的二次根式的倒数①a的倒数:1a1aaa(a>0);②
ab的倒数:ba(a>0,b>0);
③※因为(n1所以(n1方法4.利用“
1aaan)(n1n),
n)的倒数为;
”外的因数化简“”
①aa(a0);②ab2ab(a0,b0);
三、本章典型题型归纳
(一)二次根式的概念和性质
1.x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?(1)
x2-32x;
1x1(2)x-
2x1|x|2;
(3);
x2.若x、y为实数,y=x2+
2x+3.则
y=3.根据下列条件,求字母x的取值范围:(1)(x3)(2)(3)
x22x3;x;
x2x1=1-x;(x3)=1;
22(4)※(x2)24.已知2a1+b2a+abc=0.
则a=,b=,c=.5.已知
x3yx29x320,则
x1y1=______________
6.在实数范围内因式分解:x4-4=______________.7.已知a,b,c为三角形的三边,则(abc)28.若最简二次根式
25(bca)2(bca)=
24x1与最简二次根式46x1可以合并,则x的
取值为
※9.已知a(13)
4451454225=(14)351
23116=
(15)(3)212(52)=
12.计算:(能简算的要简算)
(1)(π1)123.(2)8+(-1)3-2×
022
(3)45(5)(6(7)
x42x1x)3x(6)(848)(212)(2245842(4)(548627415)3
3)1213122213(8)(2332(9)(10)
※(11)(72
2bab56)(23326)
ab-
ab—
ba+
abba2(a>0,b>0)
(32ab)33ba
223)376※(12)
22118413.若3的整数部分是a,小数部分是b,则3ab14.在数轴上与表示___________
15.若一个正方体的长为26cm,宽为3cm,高为2cm,则它的体积为cm3.※16.
132与32的关系是
3的点的距离最近的整数点所表示的数是
17.甲、乙两人对题目“化简并求值:有不同的解答:
11a21a1a2a22,其中a15”
甲的解答:乙的解答:
aa221a(1aa)21a1aa2aa495,
1a1a2a221a(a1a)21aa1aa15。
谁的解答是错误的?为什么?※18.先观察下列分母有理化:
12121,
13232,14343,15454,从计算结果中找出规律,再利用这一规律计算下列式子的值:(121132143...1201*201*)(201*1)
19.观察下列各式的特点:
2132,3223,2352,
201*
(1)请根据以上规律填空201*201*201*(2)请根据以上规律写出第n(n1)个不等式,并证明你的结论.
※(3)计算下列算式:
12114313154213.....21100991431101100
=(三)二次根式的化简求值20.若x
21.若xy3,求x
22.已知a2
23.已知21.414,31.732,求下列各式的近似值(精确到0.01):
13123,求53,求
x6x5的值。
2yxyxy的值。
12aaa12a2a1aa22的值。
(1)
;(2)2718;(3)6(32).(四)二次根式的比较大小24.比较下列个数的大小
(1)3与22(平方法)(2)-57与-65(被开方数)(3)
(4)201*-201*与201*-201*(倒数法)
175与
153(分母有理化)
(5)(6)
(7)已知:a,b是正数,求证:ab2ab.
73365432154324与5432354322(设参数比较)
与6225(分子有理化)(五)二次根式的应用
25.在交通事故的处理中,交通警察往往用公式v16df来判断该车是否超速,其中v表示车速(单位km/s),d表示刹车后车轮划过的距离(单位:m),f表示摩擦系数;某日,在一段限速60km/s的公路上,发生了一起两车追尾的事故,警察赶到后,经过测量,得出其中一辆车的d18,
f12,请问该车超速了吗?
26.我们人体含有多少脂肪才算适当?据科学研究表明,可以利用身体的体重(W,单位:千克)和身高(h,单位:米)来计算身体脂肪水平,也称为身体质量指数(BMI).计算公式是BMI=
Wh2,而且男性的BMI指数范
围是24~27,如果一位男生体重是70千克,身体脂肪属于正常,那么请你估计他的身高大约在哪个范围内?(精确到0.01米).
27.谈祥柏是中国人民解放军军医大学数学教授,有一次他将我国近代著名作家徐志摩《再别康桥》中的两句组成了如下的等式组:轻轻的我走了正如我轻轻的,这里相同的汉字表示0,1,,9来中相同的数字,不同的汉字表示不同数字,你能利用所学知识破解它吗?28.某人用一架不等臂天平称一块铁a的质量,把铁块放在天平左盘时,称得它的质量为300克;把铁块放在天平右盘时,称得它的质量为900克,利用所学知识,求这块铁的实际质量
29.有一块木板,如图,请你把它切成三块,然后拼成一个正方形的桌面。
30.设等腰三角形的腰长为a,底边长为b,底边上的高为h.
(1)如果a=2,b=23,求h;(2)如果b=7,h=2,求a.
31.某市为方便相距2km的A、B两处居民区的交往,修筑一条笔直的公路(如图:AB),经测量,在A处的北偏东60°方向,B处北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园,问计划修筑的公路会不会穿过公园?请说明理由。
60°45°
2123CAB※32.设三所学校A,B,C分别位于一个等边三角形的三个顶点处,现值网络时代,要在三个学校之间铺设通讯电缆,小张同学设计了三种连接方案,如图所示,方案甲:AB+BC;方案乙:AD+BC(D为BC中点);方案丙:AO+BO+CO(O为三角形三条高的交点),请你帮助计算一下哪种方案线路最短?
※33.一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群,在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向,40分钟后,渔船行至B处,此时看见小岛C在船的北偏东30°方向,已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区,问这艘渔船继续向东追赶鱼群,是否有进入危险区域的可能?
B甲CBD乙CBOAAAD丙C
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