201*江苏高二数学增效减负学案：2(必修3)
数学归纳法（1）
常州市第一中学高二数学备课组
【教学目标】
知识与技能：理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的步骤；
过程与方法：经历观察、思考、分析、抽象、概括出数学归纳法的两个步骤，
初步形成归纳、猜想和发现的能力；情感态度价值观：通过数学归纳法的学习初步形成严谨务实的科学态度和严谨的
数学思维品质与数学理性精神。
【教学重点】理解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤。【教学难点】运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推
关系。
【教后反思】【教学过程】一．创设情景1.摸球实验
已知盒子里面有5个兵乓球，如何证明盒子里面的球全是橙色？
2.今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。
象这种由一系列特殊事例得出一般结论的方法，我们把它叫做归纳法。（1）是完全归纳法，结论正确（2）是不完全归纳法，结论不一定正确。问题：这些问题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对其一一验证，那么如何证明一个与自然数有关的命题呢？例如对于数列an,已知
a11,an11an,通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想其通项公式为an。
n1an这个猜想是否正确，如何证明？数学中常用数学归纳法证明。
二．探索新知
1、了解多米诺骨牌游戏，可得，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。思考：条件（1）（2）的作用是什么？2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。
思考：你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？分析：1多米诺骨牌游戏原理通项公式an的证明方法n（1）第一块骨牌倒下。（1）当n=1时a11，猜想成立
1（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1（2）若当n=k时猜想成立，即ak，块也倒下。k1则当n=k+1时猜想也成立，即ak11k1。根据（1）和（2），可知不论有多少块根据（1）和（2），可知对任意的正整数骨牌，都能全部倒下。n，猜想都成立。3、数学归纳法的原理一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0时命题成立（n0为n取的第一个值）；
（2）（归纳递推）假设nk(kn0,kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。注：（1）这两步步骤缺一不可；
（2）用数学归纳法证明命题时第二步必须用到归纳假设；（3）数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。三．例题讲解
例一、已知数列an,a11,an11an，用数学归纳法证明其通项公式为an。
n1an【教学预设】【教学过程】
【学生活动】
例二、用数学归纳法证明：等差数列{an}中，a1为首项，d为公差，则通项公式为ana1(n1)d。
【教学预设】【教学过程】【学生活动】
例三、用数学归纳法证明：1427310n(3n1)n(n1)2。【教学预设】【教学过程】【学生活动】四．课堂小结
【课后练习】
一．选择
1．用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证()
An=1Bn=2Cn=3Dn=4
11112．用数学归纳法证明某命题时，左边为n从k变到k＋1时，左边应
23421增添的代数式是（）
111A．k1B．k＋k1
21212111111C．k＋k＋k1D．k＋k＋……＋k1
2121212122n(2n21)3．用数学归纳法证明12(n1)n(n1)2132222222时，由nk的假设到证明nk1时，等式左边应添加的式子是（）
A．(k1)2k
22222B．(k1)kC．(k1)D．(k1)[2(k1)1]
1324．某个命题与正整数n有关，如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1时命题也成立．现已知当n5时该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时该命题不成立B．当n=6时该命题成立C．当n=4时该命题不成立D．当n=4时该命题成立5．从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n级台阶共有f(n)种走法，则下面的猜想正确的是（）
A．f(n)f(n1)f(n2)(n3)B．f(n)2f(n1)C．f(n)2f(n1)1(n2)
(n3)
(n2)D．f(n)f(n1)f(n2)二．用数学归纳法证明等比数列通项公式与前n项和公式。三．用数学归纳法证明下列等式（nN）。（1）135(2n1)n（2）122334n(n1)（3）(1x)(1xxx（4）123n33332222*21n(n1)(n2)32n1)1xn
n(n1)(2n1)
62（5）123n(123n)
扩展阅读：201*江苏高二数学增效减负学案：12(必修3)
课题：几何概型
常州市第一中学高二数学备课组
教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修三 3.3.1
1.教学目标
（1）知识与技能：了解几何概型的基本特点，会识别几何概型，并能进行简单的几何概率计算．
（2）过程与方法：让学生通过具体的实例亲历几何概型概念的建构过程，体验类比转化，数形结合等数学思想方法；通过实际问题的解决，提高学生的建模意识及分析问题、解决问题的能力．
（3）情感、态度与价值观：创设生活情境，引导学生积极思考、合作探究，感受几何概型在现实生活中的作用，在解决问题的过程中增强学生的规范意识，培养学生的创新精神和合作能力，培养学生的数学应用意识.过程中渗透数学史的介绍，使学生感悟数学的文化价值，提高学生对数学的学习兴趣．2.教学重点、难点
教学重点：几何概型的概念和概率计算公式，几何概型的简单应用．
教学难点：建立合理的模型把实际问题转化为几何问题，准确确定几何区域D和与事件A对应的区域d，并求出它们的测度．3.教学方法和教学手段
设置问题情境，让学生由古典概型的概念延伸到几何概型的概念，体会二者的区别和联系，过程中通过设置问题串让学生深入思考几何概型的特点，进而发现几何概型中概率的计算公式，并且在此过程中增强学生的合作能力和表达能力．
借助多媒体让学生在三个例题的解决过程中体会概率的简单应用，学会在生活中发现、研究并解决数学问题，在回顾反思的环节中提高学生的数学表达能力和交流能力．4.教学过程
（一）创设情境、引入新课
问题1：在3米长的绳子上有四个点P,Q,R,S，将绳子五等分，从这四个点中任意一点处将绳子剪断，如果剪得两段长都不小于1米，那灰太狼就可以不去，那么他不去的概率是多少？．
容易求得概率为，并借此问题复习古典概型的特点和概率计算公式。问题2：红外保护线长3米，只有在和两端距离均不小于1米的点接触红外线才不会报警，灰太狼能够安全进羊村的概率是多少？
本问题用和问题1类似的背景提出问题，意在凸显古典概型和几何概型的异同。学生可由直观感受得出概率应为线段长度之比，这时教师再追问是否古典概型，引导学生产生疑问，进而注意到本问题中的基本事件对应于线段上的点，有无数种情形，且等可能发生，并非古典概型，进而将古典概型中基本事件的个数
12
转化成基本事件构成线段的长度，求出概率
线段PQ长度A的基本事件构成区域的长度1P(A)==
线段MN长度所有基本事件构成区域的长度3问题3：羊村是个面积为10000平方米的矩形，灰太狼在羊村内炸出的圆有100平方米，假设喜羊羊在羊村的每一点都是等可能的，那么，他炸到喜羊羊的概率是多少？
由问题2的解决学生可以类比解决问题3，得出基本事件也对应于点，这时应用平面图形的面积来刻画基本事件的数量，求出概率
圆的面积A的基本事件构成区域的面积1P(A)==
羊村面积所有基本事件构成区域的面积100
（二）归纳总结、意义建构
思考：问题2和3均非古典概型，有什么共同点？
学生通过刚才的分析可以答出基本事件的无限性和等可能性．进一步再思考：基本事件分别是什么？它们有什么共同点？进而可以总结：
基本事件：从区域D内任取一点，且取到每一点都是等可能的，随机事件A的基本事件：从区域d（d含在D内）内任取一点，思考：事件A的概率该如何求解？
11在问题2中，P(A)为线段的长度之比，问题3中P(A)为面积之比，
3100而线段的长度，平面图形的面积均为对几何区域大小的一种度量方式，这种度量我们用统一的名字来表示：测度．
由此引入几何概型的定义：事件A发生的概率与d的测度成正比，我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．
从定义可以总结出几何概型的特点是：等可能性，无限性．事件A发生的概率为P(A)d的测度，其中测度：长度，面积，体积等，主要取决于几何区域D
D的测度和d，并且和区域d的形状和位置没有关系．
（三）巩固新知、简单应用
1.在区间[0，9]上任取一个实数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？分析：我们可以把实数和数轴上的点一一对应起来，由此可以把区间[0，9]转化为一条长为9的线段．
解：记“恰好取在区间[0，3]上”为事件A，
在区间[0，9]上任取一个实数为一个基本事件，有无数种可能，并且都是等可能发生的．
区域D：区间[0，9]对应的线段区域d：区间[0，3]对应的线段，故
P(A)d的测度31．
D的测度93
1答：恰好取在区间[0，3]上的概率为．
3问题背景本身并非几何问题，需要将数转化成点，区间转化成线段，原问题转化成一个几何问题。
思考：这是一个几何概型问题，怎样改变题目的条件，使之变成一个古典概型问题呢？题目答案并不唯一，可以改成整数，偶数，0.1的整数倍等．由此可以总结解决概率问题的一般步骤：S1确定基本事件；S2判断是哪种概型；S3代入公式求解概率．
如果是应用题，那么最前面要加上一步“记事件”，最后面要加上一步“作答”．
2.在边长为2的正方形中随机撒一粒豆子，豆子落在正方形内切圆内的概率是多少？分析：在正方形内随机丢一粒豆子可以看成是在正方形内随机取一点，为一个基本事件，有无数种情况，且均等可能发生，为几何概型．解：记“豆子落在正方形内切圆内”为事件A，
在正方形内随机取一点为一个基本事件，有无数种可能，并且都等可能发生．区域D：正方形区域d：内切圆
故P(A)内切圆面积．
正方形面积4．4如果我们向正方形内随机撒n颗豆子，统计落在内切圆内的豆子数为m，那
m么事件A发生的频率为，由概率的统计定义可知，当重复试验的次数n很大
nmm时，有P(A)，那么根据我们这里算出的结果，就有，将此式变形，
n4n4m有，这个式子有怎样的实际意义呢？我们可以通过大量重复试验，统计n
n4m和m的值，由来估计圆周率的值．
n在我们所学过的概率的统计定义中，我们用大量重复试验下事件发生的频率估计概率，而这里正是运用了频率和概率的关系，借助计算机模拟进行圆周率的估算，研究圆周率的方法历史上其实有很多，1777年法国的科学家布丰就做了投针试验来估计圆周率，他和我们这里求圆周率的思想一样，都是用大量重复试验中概率和频率的关系来估算圆周率，这个试验被称为几何概型的第一次试验。
3.一个20立方米的海洋球池里混入了一颗水晶球，现从中取出0.5立方米，含有水晶球的概率是多少？
分析:由于球池中球数很多，故可以将球看成一个点，转化成几何概型问题。答：豆子落在正方形内切圆内的概率为
解：记“取出的球中含有这个水晶球”为事件A,水晶球在球池中的分布可以看成是随机的，故
0.5P(A)=0.025.
20答：取出的球中含有这个水晶球的概率为0.025.总结：这三个问题都是几何概型问题，测度分别为线段的长度，平面图形的面积，立体图形的体积．如果题目所给条件并非几何问题，要学会转化．
（四）牛刀小试、查漏补缺
11.在△ABC内任取一点P，则△ABP与△ABC的面积比大于0.5的概率是多少？
43.已知地铁站每隔10分钟有一班列车到达，每辆列车在车站停1分钟,则乘客到
特点公式古典概型有限性等可能性P(A)mn几何概型无限性等可能性P(A)d的测度D的测度1103.在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？0.01
（五）回顾反思、总结提炼
（六）作业
1.教材P104习题3.31,2,3,4；
2.思考题：灰太狼和喜洋洋相约在第二天的早上7点到8点在羊村门口碰面，事
达站台立即乘上车的概率是多少？
先约定先到者等候另一方15分钟，过时离去.那么双方能够碰面的概率是多少？
教学设计说明：
1．对教材的研究和认识
几何概型是继古典概型之后学生学习的另一类等可能概型，是对古典概型概念的延伸，同时，几何概型中事件的概率计算公式虽然和古典概型中并不相同，但是本质都是比值，几何概型中点的个数虽然无限，但是构成点的区域测度却是可比的，故而也可以认为古典概型是几何概型的支撑点，几何概型是古典概型的生长点，两者相辅相成．要让学生在比较中提高对古典概型的理解,进一步体会概率的思想及其丰富内涵，同时学好本节内容也可以为学习选修2-3中随机变量及其分布列奠定基础．尽管本节内容在课程标准中的要求仅为了解和会简单的计算，但蕴含的数形结合和数学建模的思想凸显了其重要性．
2.学情分析
概率的知识学生在初中就已经接触过，本章在学生所学初步知识的基础之上系统地学习概率知识．学生在初次接触几何概型问题时，基本上都可以依据自己的生活经验直接得出答案，在此我们要让学生从理性的角度思考为什么可以这样求概率，让学生能够用数学的语言去描述问题，用数学的思想和方法去解决问题，培养学生的理性思维．3.课堂教学策略的选择
本节内容大体按六个环节展开：问题情境，意义建构，简单应用，课堂自测，回顾总结，学生活动穿插在每个环节中．首先从学生熟悉的故事情节出发，使学生能够从生活实例中提取模型，在古典概型向几何概型的转变中发现两者的相同点和不同点，进一步深究事件的构成情况总结出几何概型的定义和概率计算公式，这个概念生成的过程由学生积极思考，教师从旁引导完成．为了使学生更深刻的理解概念，教师设置了一系列有梯度的例题，这几个问题不仅是为了让学生理解测度的概念，而且也让学生学会如何从实际问题中提炼出数学模型，在问题解决的过程中锻炼他们的合作交流能力．4.任务后延
本课教师的意图不仅是让学生在这节课上学会知识，而且在课后也能有同样的学习热情去钻研其他问题，故教师在多个环节都给学生预留了自主探索的内容，这样不但适应了不同层次的学生的需求，而且也极大的激发了学生对数学的好奇心进而增强学习兴趣并提高研究问题的能力．
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