二次函数知识点总结及相关典型题目201*.12.8

二次函数知识点总结及相关典型题目201*.12.8

二次函数知识点总结及相关典型题目

一．基础知识

1.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数yax2的性质

（1）抛物线yax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数yax2的图像与a的符号关系.

①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax2（a0）.

3.二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.4.二次函数yax2bxc用配方法可化成：yaxh2k的形式，

其中hb4acb22a，k4a.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①yax2；②yax2k；③yaxh2；

④yaxh2k；⑤yax2bxc.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

2（1）公式法：yax2bxcab4acb4acb2xb22a4a，顶点是（2a，4a），对称轴是直线xb2a.

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxh2k的形式，得到顶点为

(h,k)，对称轴是直线xh.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂

直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.9.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线

xb2a，故：①b0时，对称轴为y轴；②b

a

0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③

ba0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.（3）c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.

当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点（0，c）：①c0，抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则ba0.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax2x0（y轴）（0,0）yax2kx0（y轴）(0,k)yaxh2当a0时xh(h,0)yaxh2k开口向上xh(h,k)yax2bxc当a0时开口向下xbb4acb22a(2a，4a)11．a,b,c,b2-4ac,a+b+c,a-b+c等符号的确定

12．二次函数值恒正或恒负的条件：

恒正的条件：a＜0且0；恒负的条件：a＞0且0。

13．抛物线的平移规律：①在顶点式的基础上---“左加右减，上加下减”。

②在一般式的基础上---

14．两抛物线关于坐标轴对称的条件：

抛物线yaxh2k关于x轴对称的解析式：

抛物线yaxh2k关于x轴对称的解析式：

15.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2.

16．二次函数的最值问题

(1)公式法:y=ax2+bx+c中,当a>0时,x=___________,y最小=___________;当a0,当x=___________,y最小=___________;若a17.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c).

（2）与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah2bhc).（3）抛物线与x轴的交点

二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相

等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根.

（5）一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点，

由方程组ykxnyax2bxc的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有

两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.

（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bxc与x轴两交点为

Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的两个根，故

xbc1x2a,x1x2a2ABx1x2x1x22x1x224xb4cb24ac1x2aaaa

二．典型题目一、选择题

1．抛物线y=x2+2x-3与x轴的交点的个数有()

A.0个B.1个C.2个D.3个2．二次函数y=(x-1)2+2的最小值是()

A.-2B.2C.-1D.1

3．用配方法将二次函数y=3x2-4x-2写成形如y=a(x+m)2+n的形式,则m,n的值分别是()

A.m=23,n=103B.m=-23,n=-103C.m=2,n=6D.m=2,n=-2

4．关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5．抛物线y12(x2)21可由抛物线y12x2（）而得到。A．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位；

B．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位；C．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位；D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位。

6．已知二次函数y=ax2

+bx+c(a≠0)的图象如右上图所示，给出以下结论：①a+b+cy3B.y2>y1>y3C.y3>y1>y22D.y3>y2>y112．由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:“已知二次函数y=x+bx+c的图象过点(1,0)求证:这个二次函数的图象关于直线x=2对称.”根据现有信息,题中的二次函数图象不具有的性质是()

A.过点(3,0)B.顶点为(2,-2)

C.在x轴上截得的线段长是2D.与y轴的交点是(0,3)13．如图函数y=ax2-bx+c的图象过点(-1,0),则

abcbccaab的值是()

A.-3B.3C.-1D.1

14．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下面结论:

(1)a+b+c0;(3)abc>0;(4)b=2a.其中正确的结论有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

15．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象在x轴的上方的条件是（）

A．a＞0，b2－4ac＞0B．a＞0，b2－4ac＜0C．a＜0，b2－4ac＞0D．a＜0，b2－4ac＜016．如图，如果函数y=kx＋b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2＋bx－1的大致图象是（）

17．已知抛物线y=ax2＋bx＋c，如图所示，则x的方程ax2＋bx＋c－3=0的根的情况是（）

A．有两个不相等的正实根B．有两个异号实数根C．有两个相等实数根D．没有实数根

18．下列四个函数：①y=x＋1；②y=

3x；③y=－x2；④y=2x（－1≤x≤2）．其中图象是中心对称图形，且对称中心是原点的共有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

19．已知函数y=ax2

＋bx＋c的图象如图所示，关于系数a、b、c有下列不等式：①a＜0；②b＜

0；③c＞0；④2a＋b＜0；⑤a＋b＋c＞0．其中正确个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个

20．已知二次函数y=ax2

＋bx＋c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（）（多选）

A．abc＞0B．b2

－4ac＞0C．2a＋b＞0D．4a－2b＋c＜0

21．如图，二次函数y=x2

－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为（）

A．6B．4C．3D．1

22．函数y=ax2与y=ax＋a（a＜0＝在同一直角坐标系中的图象大致是（）

23．一台机器原价为60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y与x之间的函数表达式为（）

A．y=60（1－x）2B．y=60（1－x）

C．y=60－x2

D．y=60（1＋x）224．抛物线y=x2＋ax＋b向左平移2个单位再向上平移3个单位得到抛物线y=x2－2x＋1，则（）

A．a=2，b=－2B．a=－6，b=6C．a=－8，b=14D．a=－8，b=18二、填空题

1．抛物线y=3(x+4)(x-2)与x轴的两交点坐标为_________,与y轴的交点坐标为___________.2．已知抛物线y=x2＋（m－1）x－

14的顶点的横坐标是2，则m的值是．

3．二次函数y=x2－2x＋3的最小值是

．

4．抛物线y=x2－2ax＋a2的顶点在直线x=2上，则a的值是．

5．二次函数y=－x2

＋6x－5，当x时，y0，且y随x的增大而减小。6．已知二次函数y=x2

＋（a－b）x＋a的图象如图所示，那么化简

a22abb2ab的

结果是

7．若一抛物线y=ax2与四条直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则a的取值范围是．

8．把抛物线y=2x2－4x－5向左又向上分别移动4个单位，再绕顶点旋转180°，则所得新的图象的表达式是．

9．请你写出函数y=3（x－1）2

与y=x2－1具有的一个共同性质．10．抛物线y=x2－（2m－1）x－2m与x轴的两个交点坐标分别为A（x1，0），B（x2，0），且

x1x=1，2则m的值为．

11．抛物线与直线在同一直角坐标系中，如图所示．点P1（x1，y1），P2（x2，y2）均在抛物线上，点P3（x3，y3）在直线上，其中－2＜x1＜x2，x3＜－2，则y1、y2、y3的大小关系为．

12．如图，已知一次函数y=－2x＋3的图象与x轴交于A点，则y轴交于C点，二次函数y=x2＋bx＋c的图象过点C，且与一次函数在第二象限交于另一点B．若AC：CB=1：2，那么这个抛物线的顶点坐标是．三、解答题

1．已知抛物线y=x2－（a＋2）x＋12的顶点在x=－3上，求a的值及顶点的坐标．

2．已知二次函数y=x2－x－6．

（1）求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标；（2）画出函数图象；

（3）观察图象，指出方程x2－x－6=0的解及使不等式x2－x－6＜0成立的x的取值范围；（4）求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形面积．

3．如图所示，一单杠高2．2m，两立柱之间的距离为1．6m，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状．

（1）一身高0．7m的小孩站在离立柱0．4m处，其头部刚好碰到绳子，求绳子最低点到地面的距离；

（2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0．4m的木板，除掉系木板用去的绳子后，两边的绳子长正好各为2m，木板与地面平行，求这时木板到地面的距离．（供选用数据：3.36=1．8，3.64≈1．9，4.36≈2．1）

4．已知抛物线y=x2－2mx＋m＋2的顶点在坐标轴上，直线y=3x＋b经过抛物线的顶点，求直线与两条坐标轴围成的面积．5．已知二次函数y=2x2-mx-m2.

(1)求证:对于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点;

(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A、B,且A点坐标为(1,0),求B点坐标.

6．如图1是泰州某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1m,拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中.(如图2)

(1)求抛物线的解析式;

(2)求两盏景观灯之间的水平距离.

7．如图,直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,将△AOB绕点O顺时针转90°得到△A1OB1.

(1)在图中画出△A1OB1;

(2)求经过A、A1、B1三点的抛物线的解析式.

8．已知抛物线L：y=ax+bx+c（其中a、b、c都不等于0）它的顶点P的坐标是（-b/2a，4ac-b/4a），与y轴的交点是M（0、c）。我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线。

（1）请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：伴随抛物线的解析式：。伴随直线的解析式：。

（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3。则这条抛物线的解析式是：

（3）求抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不为0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式。（4）利用（3）的结论直接写出y=-x2+4x+2的伴随抛物线和伴随直线。86

9.如图直线y=－x＋3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=－x2

＋bx＋c经过点B和点C，点A是抛物线4与x轴的另一个交点；C（1）求此抛物线的解析式；2P（2）若点P在直线BC上，且S1△PAC=2S△PAB，求P点的坐标.

AB-10-5D5-2

-4-6

-8

10.已知直线y＝－2x＋b(b≠0)与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为

y＝x2

－(b＋10)x＋c.

⑴若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y＝－2x＋b上，试确定这条抛物线的解析式；⑵过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y＝－2x＋b的解析式.

11．二次函数yax2bxc（a≠0）的图像如图所示．

（1）试判断a、b、c及b24ac的范围．（2）若|OA|＝|OB|，试证：ac＋b＋1＝0．1012．已知二次函数yax2bxc的图象经过点A（2，0）且与直线y34x3相交于B、C两点，点B在x轴上，点C在y轴上；（1）求二次函数的解析式；（2）如果P（x，y）是线段BC上的动点，O为坐标原点，试求POA的面积SPOA与x之间的函数关系式，并求自变量取

值范围；（3）是否存在这样的点P，使PO=AO？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；

扩展阅读：二次函数知识点总结及相关典型题目201*.12.9

二次函数知识点总结及相关典型题目

一．基础知识

1.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数yax2的性质

（1）抛物线yax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数yax2的图像与a的符号关系.

①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax2（a0）.

3.二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.4.二次函数yax2bxc用配方法可化成：yaxh2k的形式，

其中hb4acb22a，k4a.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①yax2；②yax2k；③yaxh2；

④yaxh2k；⑤yax2bxc.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

2（1）公式法：yax2bxcab4acb4acb2xb22a4a，顶点是（2a，4a），对称轴是直线xb2a.

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxh2k的形式，得到顶点为

(h,k)，对称轴是直线xh.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂

直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.9.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线

xb2a，故：①b0时，对称轴为y轴；②ba0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③

ba0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.（3）c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.

当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点（0，c）：①c0，抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则ba0.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax2x0（y轴）（0,0）yax2kx0（y轴）(0,k)yaxh2当a0时xh(h,0)yaxh2k开口向上xh(h,k)yax2bxc当a0时开口向下xbb4acb22a(2a，4a)11．a,b,c,b2-4ac,a+b+c,a-b+c等符号的确定

12．二次函数值恒正或恒负的条件：

恒正的条件：a＜0且0；恒负的条件：a＞0且0。

13．抛物线的平移规律：①在顶点式的基础上---“左加右减，上加下减”。

②在一般式的基础上---

14．两抛物线关于坐标轴对称的条件：

抛物线yaxh2k关于x轴对称的解析式：

抛物线yaxh2k关于x轴对称的解析式：

15.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2.

16．二次函数的最值问题

(1)公式法:y=ax2+bx+c中,当a>0时,x=___________,y最小=___________;当a0,当x=___________,y最小=___________;若a17.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c).

（2）与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah2bhc).（3）抛物线与x轴的交点

二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相

等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根.

（5）一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点，

由方程组ykxnyax2bxc的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有

两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.（6）抛物线与

x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bxc与x轴两交点为

Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的两个根，故

xbc1x2a,x1x2a2ABx1x2x1x22x1x224xb4cb24ac1x2aaaa

二．典型题目

一、选择题

1．抛物线y=x2+2x-3与x轴的交点的个数有()

A.0个B.1个C.2个D.3个2．二次函数y=(x-1)2+2的最小值是()

A.-2B.2C.-1D.1

3．用配方法将二次函数y=3x2-4x-2写成形如y=a(x+m)2+n的形式,则m,n的值分别是()

A.m=

23,n=103B.m=-23,n=-103C.m=2,n=6D.m=2,n=-24．关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5．抛物线y12(x2)21可由抛物线y12x2（）而得到。

A．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位；

B．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位；C．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位；D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位。

6．已知二次函数y=ax2

+bx+c(a≠0)的图象如右上图所示，给出以下结论：①a+b+c20．已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（）（多选）

2

A．abc＞0B．b－4ac＞0C．2a＋b＞0D．4a－2b＋c＜0

2

21．如图，二次函数y=x－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为（）

A．6B．4C．3D．1

2

22．函数y=ax与y=ax＋a（a＜0＝在同一直角坐标系中的图象大致是（）

二、填空题

1．抛物线y=3(x+4)(x-2)与x轴的两交点坐标为_________,与y轴的交点坐标为___________.2．已知抛物线y=x2＋（m－1）x－

3．二次函数y=x2－2x＋3的最小值是

1的顶点的横坐标是2，则m的值是4

．．

4．抛物线y=x2－2ax＋a2的顶点在直线x=2上，则a的值是．

2

5．二次函数y=－x＋6x－5，当x时，y0，且y随x的增大而减小。

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