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二次函数知识点总结及相关典型题目201*.12.8

时间:2019-05-28 13:22:31 网站:公文素材库

二次函数知识点总结及相关典型题目201*.12.8

二次函数知识点总结及相关典型题目

一.基础知识

1.定义:一般地,如果yax2bxc(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的二次函数.2.二次函数yax2的性质

(1)抛物线yax2的顶点是坐标原点,对称轴是y轴.(2)函数yax2的图像与a的符号关系.

①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点;

②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.

(3)顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax2(a0).

3.二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.4.二次函数yax2bxc用配方法可化成:yaxh2k的形式,

其中hb4acb22a,k4a.5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①yax2;②yax2k;③yaxh2;

④yaxh2k;⑤yax2bxc.

6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向:当a0时,开口向上;当a0时,开口向下;

a相等,抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴(或重合)的直线记作xh.特别地,y轴记作直线x0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

2(1)公式法:yax2bxcab4acb4acb2xb22a4a,顶点是(2a,4a),对称轴是直线xb2a.

(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为yaxh2k的形式,得到顶点为

(h,k),对称轴是直线xh.

(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂

直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.9.抛物线yax2bxc中,a,b,c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小,这与yax2中的a完全一样.

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线

xb2a,故:①b0时,对称轴为y轴;②b

a

0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;③

ba0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.(3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.

当x0时,yc,∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0,c):①c0,抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴;③c0,与y轴交于负半轴.以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则ba0.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax2x0(y轴)(0,0)yax2kx0(y轴)(0,k)yaxh2当a0时xh(h,0)yaxh2k开口向上xh(h,k)yax2bxc当a0时开口向下xbb4acb22a(2a,4a)11.a,b,c,b2-4ac,a+b+c,a-b+c等符号的确定

12.二次函数值恒正或恒负的条件:

恒正的条件:a<0且0;恒负的条件:a>0且0。

13.抛物线的平移规律:①在顶点式的基础上---“左加右减,上加下减”。

②在一般式的基础上---

14.两抛物线关于坐标轴对称的条件:

抛物线yaxh2k关于x轴对称的解析式:

抛物线yaxh2k关于x轴对称的解析式:

15.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式:yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.(2)顶点式:yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.

(3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:yaxx1xx2.

16.二次函数的最值问题

(1)公式法:y=ax2+bx+c中,当a>0时,x=___________,y最小=___________;当a0,当x=___________,y最小=___________;若a17.直线与抛物线的交点

(1)y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c).

(2)与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah2bhc).(3)抛物线与x轴的交点

二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:

①有两个交点0抛物线与x轴相交;

②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切;③没有交点0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相

等,设纵坐标为k,则横坐标是ax2bxck的两个实数根.

(5)一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点,

由方程组ykxnyax2bxc的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时l与G有

两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点;③方程组无解时l与G没有交点.

(6)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线yax2bxc与x轴两交点为

Ax1,0,Bx2,0,由于x1、x2是方程ax2bxc0的两个根,故

xbc1x2a,x1x2a2ABx1x2x1x22x1x224xb4cb24ac1x2aaaa

二.典型题目一、选择题

1.抛物线y=x2+2x-3与x轴的交点的个数有()

A.0个B.1个C.2个D.3个2.二次函数y=(x-1)2+2的最小值是()

A.-2B.2C.-1D.1

3.用配方法将二次函数y=3x2-4x-2写成形如y=a(x+m)2+n的形式,则m,n的值分别是()

A.m=23,n=103B.m=-23,n=-103C.m=2,n=6D.m=2,n=-2

4.关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.抛物线y12(x2)21可由抛物线y12x2()而得到。A.先向左平移2个单位,再向下平移1个单位;

B.先向左平移2个单位,再向上平移1个单位;C.先向右平移2个单位,再向下平移1个单位;D.先向右平移2个单位,再向上平移1个单位。

6.已知二次函数y=ax2

+bx+c(a≠0)的图象如右上图所示,给出以下结论:①a+b+cy3B.y2>y1>y3C.y3>y1>y22D.y3>y2>y112.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:“已知二次函数y=x+bx+c的图象过点(1,0)求证:这个二次函数的图象关于直线x=2对称.”根据现有信息,题中的二次函数图象不具有的性质是()

A.过点(3,0)B.顶点为(2,-2)

C.在x轴上截得的线段长是2D.与y轴的交点是(0,3)13.如图函数y=ax2-bx+c的图象过点(-1,0),则

abcbccaab的值是()

A.-3B.3C.-1D.1

14.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下面结论:

(1)a+b+c0;(3)abc>0;(4)b=2a.其中正确的结论有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

15.二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴的上方的条件是()

A.a>0,b2-4ac>0B.a>0,b2-4ac<0C.a<0,b2-4ac>0D.a<0,b2-4ac<016.如图,如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内,那么函数y=kx2+bx-1的大致图象是()

17.已知抛物线y=ax2+bx+c,如图所示,则x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是()

A.有两个不相等的正实根B.有两个异号实数根C.有两个相等实数根D.没有实数根

18.下列四个函数:①y=x+1;②y=

3x;③y=-x2;④y=2x(-1≤x≤2).其中图象是中心对称图形,且对称中心是原点的共有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

19.已知函数y=ax2

+bx+c的图象如图所示,关于系数a、b、c有下列不等式:①a<0;②b<

0;③c>0;④2a+b<0;⑤a+b+c>0.其中正确个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个

20.已知二次函数y=ax2

+bx+c的图象如图所示,那么下列判断正确的是()(多选)

A.abc>0B.b2

-4ac>0C.2a+b>0D.4a-2b+c<0

21.如图,二次函数y=x2

-4x+3的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,则△ABC的面积为()

A.6B.4C.3D.1

22.函数y=ax2与y=ax+a(a<0=在同一直角坐标系中的图象大致是()

23.一台机器原价为60万元,如果每年的折旧率为x,两年后这台机器的价位为y万元,则y与x之间的函数表达式为()

A.y=60(1-x)2B.y=60(1-x)

C.y=60-x2

D.y=60(1+x)224.抛物线y=x2+ax+b向左平移2个单位再向上平移3个单位得到抛物线y=x2-2x+1,则()

A.a=2,b=-2B.a=-6,b=6C.a=-8,b=14D.a=-8,b=18二、填空题

1.抛物线y=3(x+4)(x-2)与x轴的两交点坐标为_________,与y轴的交点坐标为___________.2.已知抛物线y=x2+(m-1)x-

14的顶点的横坐标是2,则m的值是.

3.二次函数y=x2-2x+3的最小值是

4.抛物线y=x2-2ax+a2的顶点在直线x=2上,则a的值是.

5.二次函数y=-x2

+6x-5,当x时,y0,且y随x的增大而减小。6.已知二次函数y=x2

+(a-b)x+a的图象如图所示,那么化简

a22abb2ab的

结果是

7.若一抛物线y=ax2与四条直线x=1,x=2,y=1,y=2围成的正方形有公共点,则a的取值范围是.

8.把抛物线y=2x2-4x-5向左又向上分别移动4个单位,再绕顶点旋转180°,则所得新的图象的表达式是.

9.请你写出函数y=3(x-1)2

与y=x2-1具有的一个共同性质.10.抛物线y=x2-(2m-1)x-2m与x轴的两个交点坐标分别为A(x1,0),B(x2,0),且

x1x=1,2则m的值为.

11.抛物线与直线在同一直角坐标系中,如图所示.点P1(x1,y1),P2(x2,y2)均在抛物线上,点P3(x3,y3)在直线上,其中-2<x1<x2,x3<-2,则y1、y2、y3的大小关系为.

12.如图,已知一次函数y=-2x+3的图象与x轴交于A点,则y轴交于C点,二次函数y=x2+bx+c的图象过点C,且与一次函数在第二象限交于另一点B.若AC:CB=1:2,那么这个抛物线的顶点坐标是.三、解答题

1.已知抛物线y=x2-(a+2)x+12的顶点在x=-3上,求a的值及顶点的坐标.

2.已知二次函数y=x2-x-6.

(1)求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标;(2)画出函数图象;

(3)观察图象,指出方程x2-x-6=0的解及使不等式x2-x-6<0成立的x的取值范围;(4)求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形面积.

3.如图所示,一单杠高2.2m,两立柱之间的距离为1.6m,将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处,绳子自然下垂呈抛物线状.

(1)一身高0.7m的小孩站在离立柱0.4m处,其头部刚好碰到绳子,求绳子最低点到地面的距离;

(2)为供孩子们打秋千,把绳子剪断后,中间系一块长为0.4m的木板,除掉系木板用去的绳子后,两边的绳子长正好各为2m,木板与地面平行,求这时木板到地面的距离.(供选用数据:3.36=1.8,3.64≈1.9,4.36≈2.1)

4.已知抛物线y=x2-2mx+m+2的顶点在坐标轴上,直线y=3x+b经过抛物线的顶点,求直线与两条坐标轴围成的面积.5.已知二次函数y=2x2-mx-m2.

(1)求证:对于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点;

(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A、B,且A点坐标为(1,0),求B点坐标.

6.如图1是泰州某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1m,拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中.(如图2)

(1)求抛物线的解析式;

(2)求两盏景观灯之间的水平距离.

7.如图,直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,将△AOB绕点O顺时针转90°得到△A1OB1.

(1)在图中画出△A1OB1;

(2)求经过A、A1、B1三点的抛物线的解析式.

8.已知抛物线L:y=ax+bx+c(其中a、b、c都不等于0)它的顶点P的坐标是(-b/2a,4ac-b/4a),与y轴的交点是M(0、c)。我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线。

(1)请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式:伴随抛物线的解析式:。伴随直线的解析式:。

(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3。则这条抛物线的解析式是:

(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不为0)的伴随抛物线和伴随直线的解析式。(4)利用(3)的结论直接写出y=-x2+4x+2的伴随抛物线和伴随直线。86

9.如图直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点,抛物线y=-x2

+bx+c经过点B和点C,点A是抛物线4与x轴的另一个交点;C(1)求此抛物线的解析式;2P(2)若点P在直线BC上,且S1△PAC=2S△PAB,求P点的坐标.

AB-10-5D5-2

-4-6

-8

10.已知直线y=-2x+b(b≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B;一抛物线的解析式为

y=x2

-(b+10)x+c.

⑴若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y=-2x+b上,试确定这条抛物线的解析式;⑵过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线y=-2x+b的解析式.

11.二次函数yax2bxc(a≠0)的图像如图所示.

(1)试判断a、b、c及b24ac的范围.(2)若|OA|=|OB|,试证:ac+b+1=0.1012.已知二次函数yax2bxc的图象经过点A(2,0)且与直线y34x3相交于B、C两点,点B在x轴上,点C在y轴上;(1)求二次函数的解析式;(2)如果P(x,y)是线段BC上的动点,O为坐标原点,试求POA的面积SPOA与x之间的函数关系式,并求自变量取

值范围;(3)是否存在这样的点P,使PO=AO?若存在,求出P点的坐标,若不存在,请说明理由;

扩展阅读:二次函数知识点总结及相关典型题目201*.12.9

二次函数知识点总结及相关典型题目

一.基础知识

1.定义:一般地,如果yax2bxc(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的二次函数.2.二次函数yax2的性质

(1)抛物线yax2的顶点是坐标原点,对称轴是y轴.(2)函数yax2的图像与a的符号关系.

①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点;

②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.

(3)顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax2(a0).

3.二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.4.二次函数yax2bxc用配方法可化成:yaxh2k的形式,

其中hb4acb22a,k4a.5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①yax2;②yax2k;③yaxh2;

④yaxh2k;⑤yax2bxc.

6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向:当a0时,开口向上;当a0时,开口向下;

a相等,抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴(或重合)的直线记作xh.特别地,y轴记作直线x0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

2(1)公式法:yax2bxcab4acb4acb2xb22a4a,顶点是(2a,4a),对称轴是直线xb2a.

(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为yaxh2k的形式,得到顶点为

(h,k),对称轴是直线xh.

(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂

直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.9.抛物线yax2bxc中,a,b,c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小,这与yax2中的a完全一样.

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线

xb2a,故:①b0时,对称轴为y轴;②ba0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;③

ba0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.(3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.

当x0时,yc,∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0,c):①c0,抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴;③c0,与y轴交于负半轴.以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则ba0.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax2x0(y轴)(0,0)yax2kx0(y轴)(0,k)yaxh2当a0时xh(h,0)yaxh2k开口向上xh(h,k)yax2bxc当a0时开口向下xbb4acb22a(2a,4a)11.a,b,c,b2-4ac,a+b+c,a-b+c等符号的确定

12.二次函数值恒正或恒负的条件:

恒正的条件:a<0且0;恒负的条件:a>0且0。

13.抛物线的平移规律:①在顶点式的基础上---“左加右减,上加下减”。

②在一般式的基础上---

14.两抛物线关于坐标轴对称的条件:

抛物线yaxh2k关于x轴对称的解析式:

抛物线yaxh2k关于x轴对称的解析式:

15.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式:yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.(2)顶点式:yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.

(3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:yaxx1xx2.

16.二次函数的最值问题

(1)公式法:y=ax2+bx+c中,当a>0时,x=___________,y最小=___________;当a0,当x=___________,y最小=___________;若a17.直线与抛物线的交点

(1)y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c).

(2)与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah2bhc).(3)抛物线与x轴的交点

二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:

①有两个交点0抛物线与x轴相交;

②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切;③没有交点0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相

等,设纵坐标为k,则横坐标是ax2bxck的两个实数根.

(5)一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点,

由方程组ykxnyax2bxc的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时l与G有

两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点;③方程组无解时l与G没有交点.(6)抛物线与

x轴两交点之间的距离:若抛物线yax2bxc与x轴两交点为

Ax1,0,Bx2,0,由于x1、x2是方程ax2bxc0的两个根,故

xbc1x2a,x1x2a2ABx1x2x1x22x1x224xb4cb24ac1x2aaaa

二.典型题目

一、选择题

1.抛物线y=x2+2x-3与x轴的交点的个数有()

A.0个B.1个C.2个D.3个2.二次函数y=(x-1)2+2的最小值是()

A.-2B.2C.-1D.1

3.用配方法将二次函数y=3x2-4x-2写成形如y=a(x+m)2+n的形式,则m,n的值分别是()

A.m=

23,n=103B.m=-23,n=-103C.m=2,n=6D.m=2,n=-24.关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.抛物线y12(x2)21可由抛物线y12x2()而得到。

A.先向左平移2个单位,再向下平移1个单位;

B.先向左平移2个单位,再向上平移1个单位;C.先向右平移2个单位,再向下平移1个单位;D.先向右平移2个单位,再向上平移1个单位。

6.已知二次函数y=ax2

+bx+c(a≠0)的图象如右上图所示,给出以下结论:①a+b+c20.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么下列判断正确的是()(多选)

2

A.abc>0B.b-4ac>0C.2a+b>0D.4a-2b+c<0

2

21.如图,二次函数y=x-4x+3的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,则△ABC的面积为()

A.6B.4C.3D.1

2

22.函数y=ax与y=ax+a(a<0=在同一直角坐标系中的图象大致是()

二、填空题

1.抛物线y=3(x+4)(x-2)与x轴的两交点坐标为_________,与y轴的交点坐标为___________.2.已知抛物线y=x2+(m-1)x-

3.二次函数y=x2-2x+3的最小值是

1的顶点的横坐标是2,则m的值是4

..

4.抛物线y=x2-2ax+a2的顶点在直线x=2上,则a的值是.

2

5.二次函数y=-x+6x-5,当x时,y0,且y随x的增大而减小。

友情提示:本文中关于《二次函数知识点总结及相关典型题目201*.12.8》给出的范例仅供您参考拓展思维使用,二次函数知识点总结及相关典型题目201*.12.8:该篇文章建议您自主创作。

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