二次函数知识点总结及相关典型题目(学生用)

二次函数知识点总结及相关典型题目(学生用)

二次函数

一、定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数.例：已知关于x的函数yax2bxc(a,b,c是常数）当a,b,c满足什么条件时（1）是一次函数（2）是正比例函数（3）是二次函数二、二次函数yax2bxc(a,b,c是常数，a0)的性质（1）①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.③｜a｜越大，开口越小。

Ox

ybb4acb2（，）（2）顶点是，对称轴是直线x

2a2a4a（3）①当a0时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在在对称轴右边，y随x的增大而增大；

②当a0时，在对称轴左边，y随x的增大而增大；在在对称轴右边，y随x的增大而减小。（4）y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c)

2

c0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，抛物线与y轴的交点在x轴下方中正确的是()

例：1、（201*四川重庆，7，4分）已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论

A．a>0B．b＜0C．c＜0D．a＋b＋c>0

2山东威海题图

练习：1、（201*山东威海，7，3分）二次函数yx2x3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（）．

A．－1＜x＜3

B．x＜－1

C．x＞3

D．x＜－1或x＞3

2、（201*湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4

三、求抛物线的顶点、对称轴的方法

2

1,1，下2bb4acb2（，）（1）公式法：yaxbxc，顶点是，对称轴是直线x.

2a2a4a21

（2）配方法：yaxhk的顶点为(h,k)，对称轴是直线xh.

2(3)利用交点式求对称轴及顶点：yaxx1xx2例1、求下列各抛物线的顶点和对称轴：（1）yxx，对称轴为x122

x23x5（2）y2(x1)7（3）y3(x7)(x9)

2

2例2、201*江苏淮安，14，3分）抛物线y=x-2x-3的顶点坐标是.（1，－4）四、抛物线的平移

方法1：计算机两条抛物线的顶点，由顶点判定平移情况方法2：将函数换成顶点式，用口决“（x）左加右减，上加下减”．．．例1、抛物线yx22x3经过怎样平移得到yx24x1

例2、（201*四川乐山5，3分）将抛物线yx向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A．y(x2)B．yx2C．y(x2)D．yx2

例3、（201*重庆江津，18，4分）将抛物线y=x－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.练习：

1、抛物线y2x2x3经过怎样平移得到y2x4x1

2、抛物线yx2x3向左平移2个单位，再向上移3个单位得到yxbxc，求b和c。

23、（201*山东滨州，7，3分）抛物线yx23可以由抛物线yx平移得到,则下列平移过程正确的是()

22

222222222A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位五、用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

22（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2.(4)一般式与顶点式的变换

2

例：1、根据已知条件确定下列函数的解析式：（1）已知抛物线过（－3，0），（0，－3）,(5，0)

（2）已知抛物线的顶点在x轴上，且过点（1，0）、（－2，4）；（3）已知抛物线的顶点坐标为（－2，0），过点（1，4）

1例2、将yx6x2和y2x2x4换成顶点式（y（x37,y2(x)）2练习：1、将yx4x－5和y3x7x4换成顶点式

22229）22222、（201*山东济宁，12，3分）将二次函数yx24x5化为y(xh)2k的形式，则yy(x2)1）（

七、yax2bxc(a0)与一元二次方程ax2bxc0(a0)的关系

b4ac>0方程有两个不相等的实数根2＝0方程有两个相等的实数根2.（201*湖北襄阳，12，3分）已知函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）

A.k4

B.k4

C.k4且k3

D.k4且k3

3、（201*广东东莞，15，6分）已知抛物线y(1)求c的取值范围；

12xxc与x轴有交点．2(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．

八、二次函数的应用

1、求yax2bxc(a,b,c是常数，a0)最大值或最小值

①a0，函数有最小值为顶点的纵坐标，此时x等于顶点的横坐标；②a0，函数有最大值为顶点的纵坐标，此时x等于顶点的横坐标。2、面积问题，主要利用各种图形的面积公式，如三角形面积＝底高3、利润问题：利润＝销量（售价－进价）－其他4、拱桥问题

例1、（201*广东肇庆，10，3分）二次函数yx22x5有（）

A．最大值5

B．最小值5

C．最大值6

D．最小值6

12例2、一块矩形耕地大小尺寸如图所示（单位：m），要在这块土地上沿东

西方向挖一条水渠，沿南北方向挖两条水渠，水渠的宽为x（m），余

下的可耕地面积为y（

m2）。

（1）请你写出y与x之间的解析式；

（2）根据你写出的函数解析式，当水渠的宽度为1m时，余下的可

耕地面积为多少？（3）若余下的耕地面积为4408

m2，求此时水渠的宽度。

例3、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与每件的销售价x(元)满足

一次函数：m=162-3x.

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；

（2）如果商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的定价为多少最合适？最大销售利润为多少？

练习：1、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500

千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题:（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

（2）设销售单价为每千克X元，月销售利润为Y元，求Y与X的函数关系式(不必写出X的取值范围）；（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

4

3、.如图6，一单杠高2.2m，两立柱之间的距离为1.6m，将一根绳子的两端拴于立柱与横杠结合处，绳子自然下

垂呈抛物线形状，一身高0.7m的小孩站在离左边立柱0.4m处，其头部刚好触到绳子，求绳子最低点到地面的距离。（答案：0.2m）

图6

附表.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)yax2yax2k2yaxhx0（y轴）当a0时开口向上当a0时x0（y轴）xhxhyaxhk2开口向下yaxbxc

2bx2ab4acb2，()2a4a5

扩展阅读：二次函数知识点总结及相关典型题目学生

二次函数知识点总结及相关典型题目

第一部分基础知识

21.定义：一般地，如果yaxbxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数yax2的性质

（1）抛物线yax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数yax2的图像与a的符号关系.

①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax2（a0）.

3.二次函数

yax2bxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.

24.二次函数

yax2bxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中

hb2a，k4acb24a.

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①

yax2；②

yax2k；③

yaxh2yaxh2；④

k；⑤yax2bxc.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于

y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

2（1）公式法：

yax2bxcaxb2a4acb24a，∴顶点是

（b4acb22a，4a），对称轴是直线

xb2a.

yaxh2（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为

k的形式，得到顶

点为(h,k)，对称轴是直线xh.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.抛物线

yax2bxc中，a,b,c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxcxb的对称轴是直线

2a，bba0

故：①b=0时，对称轴为y轴；②（即a、b同号）时，对称轴在

y轴左侧；③a0（即

a、b异号）时，对称轴在

y轴右侧.

（3）c的大小决定抛物线

yax2bxc与y轴交点的位置.2当x=0时，y=c，∴抛物线

yaxbxc与y轴有且只有一个交点（0，c）：

①c=0，抛物线经过原点;②c＞0,与y轴交于正半轴；③c＜0,与y轴交于负半轴.

b以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则a0.

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax2（0,0）当a0时,x0（y轴）yax2k开口向上；x0(0,k)（y轴）yaxh2xh(h,0)yaxh2当a0k时，xh(h,k)开口向下。yax2bxc2xb2ab2a，4acb(4a)10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

11.用待定系数法求二次函数的解析式

2（1）一般式：

yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，

通常选用交点式：

yaxx1xx2.12.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线

yax2bxc得交点为(0,c).

（2）与y轴平行的直线

xh与抛物线

yax2bxc有且只有一个交点

(h,

ah2bhc).（3）抛物线与x轴的交点(x1,0)、(x2,0)

二次函数

yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次

方程ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程

的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；

③没有交点0抛物线与x轴相离.

（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设

纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根.

（5）一次函数ykxnk0的图像l与二次函数

yax2bxca0的图像G

ykxn的交点，由方程组

yax2bxc的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.

（6）抛物线与

xyax2轴两交点之间的距离：若抛物线bxc与

x轴两交点为

Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的两个根，故

xbc1x2a,x1x2a

22ABx1x2x1x22x1x4xb4cb4ac221x2aaaa

第二部分典型习题

１.抛物线y＝x2

＋2x－2的顶点坐标是（）

A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）

２.已知二次函数

yax2bxc的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

Ａ．ab＞0，c＞0Ｂ．ab＞0，c＜0Ｃ．ab＜0，c＞0Ｄ．ab＜0，c＜0

AEFB

DC

第２,３题图第4题图

３.二次函数

y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A．a＞0，b＜0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＞0，c＞0

４.如图，已知ABC中，BC=8，BC上的高h4，D为BC上一点，EF//BC，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为x，则DEF的面积y关于x的函数的图

象大致为（）

4y444O24xO24O24O24ABCD

５.抛物线

yx22x3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为．

6.已知二次函数y＝kx2＋(2k－1)x－1与x轴交点的横坐标为x1、x2（x1＜x2），则对于下列结

论：①当x＝－2时，y＝1；②当

x＞x2时，y＞0；③方程kx2＋(2k－1)x1＝0有两个不相等的实数根x1＋4k2x1、x2；④x1＜1，x2＞－1；⑤2－x1＝k，其中所有正确的结

论是（只需填写序号）．7.已知直线

y2xbb0与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为.

（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线

y2xb上，试确定这条抛物线的解析式；

（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线

y2xb的解析式.

8.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为

2,0,1时,相应的输出值分别为5,3,4．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值

y为正数时输入值

x的取值范围.

9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：

⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少

时间?

⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?

⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．

10.已知抛物线yax2(433a)x4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，

使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．11.已知抛物线y＝－x2

＋mx－m＋2.

（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝5，试求m的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC的面积等于27，试求m的值.

12.已知：抛物线y＝ax2＋4ax＋t与x轴的一个交点为A（－1，0）．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；

（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在(2)中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

13.已知二次函数的图象如图所示．

（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标．

（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．

14.已知二次函数y=ax2

－2的图象经过点(1，－1)．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数．

15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图(1)．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．

（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；

（2）如果DE与AB的距离OM＝0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长(备用数据：21.4，计算结果精确到1米)．

16.已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，2如图．二次函数y＝ax＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．（1）a、c的符号之间有何关系?

（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b＝－4，AB＝43，求a、c的值．

317.如图，直线

y3x3分别与x轴、y轴交于点A、B，⊙E经过原点O及A、B两点．

（1）C是⊙E上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD＝∠CBO，求点A、B、C的坐标；（2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式：

（3）若延长BC到P，使DP＝2，连结AP，试判断直线PA与⊙E的位置关系，并说明理由．

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