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二次函数知识点总结及相关典型题目(学生用)

时间:2019-05-28 13:22:51 网站:公文素材库

二次函数知识点总结及相关典型题目(学生用)

二次函数

一、定义:一般地,如果yax2bxc(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的二次函数.例:已知关于x的函数yax2bxc(a,b,c是常数)当a,b,c满足什么条件时(1)是一次函数(2)是正比例函数(3)是二次函数二、二次函数yax2bxc(a,b,c是常数,a0)的性质(1)①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点;②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.③|a|越大,开口越小。

Ox

ybb4acb2(,)(2)顶点是,对称轴是直线x

2a2a4a(3)①当a0时,在对称轴左边,y随x的增大而减小;在在对称轴右边,y随x的增大而增大;

②当a0时,在对称轴左边,y随x的增大而增大;在在对称轴右边,y随x的增大而减小。(4)y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c)

2

c0,抛物线与y轴的交点在x轴上方,c0,抛物线与y轴的交点在x轴下方中正确的是()

例:1、(201*四川重庆,7,4分)已知抛物线y=ax+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论

A.a>0B.b<0C.c<0D.a+b+c>0

2山东威海题图

练习:1、(201*山东威海,7,3分)二次函数yx2x3的图象如图所示.当y<0时,自变量x的取值范围是().

A.-1<x<3

B.x<-1

C.x>3

D.x<-1或x>3

2、(201*湖北孝感,12,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为列结论:①ac<0;②a+b=0;③4ac-b=4a;④a+b+c<0.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4

三、求抛物线的顶点、对称轴的方法

2

1,1,下2bb4acb2(,)(1)公式法:yaxbxc,顶点是,对称轴是直线x.

2a2a4a21

(2)配方法:yaxhk的顶点为(h,k),对称轴是直线xh.

2(3)利用交点式求对称轴及顶点:yaxx1xx2例1、求下列各抛物线的顶点和对称轴:(1)yxx,对称轴为x122

x23x5(2)y2(x1)7(3)y3(x7)(x9)

2

2例2、201*江苏淮安,14,3分)抛物线y=x-2x-3的顶点坐标是.(1,-4)四、抛物线的平移

方法1:计算机两条抛物线的顶点,由顶点判定平移情况方法2:将函数换成顶点式,用口决“(x)左加右减,上加下减”...例1、抛物线yx22x3经过怎样平移得到yx24x1

例2、(201*四川乐山5,3分)将抛物线yx向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是()A.y(x2)B.yx2C.y(x2)D.yx2

例3、(201*重庆江津,18,4分)将抛物线y=x-2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.练习:

1、抛物线y2x2x3经过怎样平移得到y2x4x1

2、抛物线yx2x3向左平移2个单位,再向上移3个单位得到yxbxc,求b和c。

23、(201*山东滨州,7,3分)抛物线yx23可以由抛物线yx平移得到,则下列平移过程正确的是()

22

222222222A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位五、用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式:yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.(2)顶点式:yaxhk.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.

22(3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:yaxx1xx2.(4)一般式与顶点式的变换

2

例:1、根据已知条件确定下列函数的解析式:(1)已知抛物线过(-3,0),(0,-3),(5,0)

(2)已知抛物线的顶点在x轴上,且过点(1,0)、(-2,4);(3)已知抛物线的顶点坐标为(-2,0),过点(1,4)

1例2、将yx6x2和y2x2x4换成顶点式(y(x37,y2(x))2练习:1、将yx4x-5和y3x7x4换成顶点式

22229)22222、(201*山东济宁,12,3分)将二次函数yx24x5化为y(xh)2k的形式,则yy(x2)1)(

七、yax2bxc(a0)与一元二次方程ax2bxc0(a0)的关系

b4ac>0方程有两个不相等的实数根2=0方程有两个相等的实数根2.(201*湖北襄阳,12,3分)已知函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()

A.k4

B.k4

C.k4且k3

D.k4且k3

3、(201*广东东莞,15,6分)已知抛物线y(1)求c的取值范围;

12xxc与x轴有交点.2(2)试确定直线y=cx+l经过的象限,并说明理由.

八、二次函数的应用

1、求yax2bxc(a,b,c是常数,a0)最大值或最小值

①a0,函数有最小值为顶点的纵坐标,此时x等于顶点的横坐标;②a0,函数有最大值为顶点的纵坐标,此时x等于顶点的横坐标。2、面积问题,主要利用各种图形的面积公式,如三角形面积=底高3、利润问题:利润=销量(售价-进价)-其他4、拱桥问题

例1、(201*广东肇庆,10,3分)二次函数yx22x5有()

A.最大值5

B.最小值5

C.最大值6

D.最小值6

12例2、一块矩形耕地大小尺寸如图所示(单位:m),要在这块土地上沿东

西方向挖一条水渠,沿南北方向挖两条水渠,水渠的宽为x(m),余

下的可耕地面积为y(

m2)。

(1)请你写出y与x之间的解析式;

(2)根据你写出的函数解析式,当水渠的宽度为1m时,余下的可

耕地面积为多少?(3)若余下的耕地面积为4408

m2,求此时水渠的宽度。

例3、某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与每件的销售价x(元)满足

一次函数:m=162-3x.

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;

(2)如果商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的定价为多少最合适?最大销售利润为多少?

练习:1、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500

千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对这种水产品的销售情况,请解答下列问题:(1)当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润;

(2)设销售单价为每千克X元,月销售利润为Y元,求Y与X的函数关系式(不必写出X的取值范围);(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?

4

3、.如图6,一单杠高2.2m,两立柱之间的距离为1.6m,将一根绳子的两端拴于立柱与横杠结合处,绳子自然下

垂呈抛物线形状,一身高0.7m的小孩站在离左边立柱0.4m处,其头部刚好触到绳子,求绳子最低点到地面的距离。(答案:0.2m)

图6

附表.几种特殊的二次函数的图像特征如下:

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)yax2yax2k2yaxhx0(y轴)当a0时开口向上当a0时x0(y轴)xhxhyaxhk2开口向下yaxbxc

2bx2ab4acb2,()2a4a5

扩展阅读:二次函数知识点总结及相关典型题目学生

二次函数知识点总结及相关典型题目

第一部分基础知识

21.定义:一般地,如果yaxbxc(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数yax2的性质

(1)抛物线yax2的顶点是坐标原点,对称轴是y轴.(2)函数yax2的图像与a的符号关系.

①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点;②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.

(3)顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax2(a0).

3.二次函数

yax2bxc的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.

24.二次函数

yax2bxc用配方法可化成:yaxhk的形式,其中

hb2a,k4acb24a.

5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①

yax2;②

yax2k;③

yaxh2yaxh2;④

k;⑤yax2bxc.

6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.①a的符号决定抛物线的开口方向:当a0时,开口向上;当a0时,开口向下;

a相等,抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于

y轴(或重合)的直线记作xh.特别地,y轴记作直线x0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

2(1)公式法:

yax2bxcaxb2a4acb24a,∴顶点是

(b4acb22a,4a),对称轴是直线

xb2a.

yaxh2(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为

k的形式,得到顶

点为(h,k),对称轴是直线xh.

(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.

9.抛物线

yax2bxc中,a,b,c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小,这与yax2中的a完全一样.

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxcxb的对称轴是直线

2a,bba0

故:①b=0时,对称轴为y轴;②(即a、b同号)时,对称轴在

y轴左侧;③a0(即

a、b异号)时,对称轴在

y轴右侧.

(3)c的大小决定抛物线

yax2bxc与y轴交点的位置.2当x=0时,y=c,∴抛物线

yaxbxc与y轴有且只有一个交点(0,c):

①c=0,抛物线经过原点;②c>0,与y轴交于正半轴;③c<0,与y轴交于负半轴.

b以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则a0.

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax2(0,0)当a0时,x0(y轴)yax2k开口向上;x0(0,k)(y轴)yaxh2xh(h,0)yaxh2当a0k时,xh(h,k)开口向下。yax2bxc2xb2ab2a,4acb(4a)10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:

11.用待定系数法求二次函数的解析式

2(1)一般式:

yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.

(2)顶点式:yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.(3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,

通常选用交点式:

yaxx1xx2.12.直线与抛物线的交点

(1)y轴与抛物线

yax2bxc得交点为(0,c).

(2)与y轴平行的直线

xh与抛物线

yax2bxc有且只有一个交点

(h,

ah2bhc).(3)抛物线与x轴的交点(x1,0)、(x2,0)

二次函数

yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次

方程ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程

的根的判别式判定:①有两个交点0抛物线与x轴相交;

②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切;

③没有交点0抛物线与x轴相离.

(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设

纵坐标为k,则横坐标是ax2bxck的两个实数根.

(5)一次函数ykxnk0的图像l与二次函数

yax2bxca0的图像G

ykxn的交点,由方程组

yax2bxc的解的数目来确定:

①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点;③方程组无解时l与G没有交点.

(6)抛物线与

xyax2轴两交点之间的距离:若抛物线bxc与

x轴两交点为

Ax1,0,Bx2,0,由于x1、x2是方程ax2bxc0的两个根,故

xbc1x2a,x1x2a

22ABx1x2x1x22x1x4xb4cb4ac221x2aaaa

第二部分典型习题

1.抛物线y=x2

+2x-2的顶点坐标是()

A.(2,-2)B.(1,-2)C.(1,-3)D.(-1,-3)

2.已知二次函数

yax2bxc的图象如图所示,则下列结论正确的是()

A.ab>0,c>0B.ab>0,c<0C.ab<0,c>0D.ab<0,c<0

AEFB

DC

第2,3题图第4题图

3.二次函数

y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是()

A.a>0,b<0,c>0B.a<0,b<0,c>0C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b>0,c>0

4.如图,已知ABC中,BC=8,BC上的高h4,D为BC上一点,EF//BC,交AB于点E,交AC于点F(EF不过A、B),设E到BC的距离为x,则DEF的面积y关于x的函数的图

象大致为()

4y444O24xO24O24O24ABCD

5.抛物线

yx22x3与x轴分别交于A、B两点,则AB的长为.

6.已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1<x2),则对于下列结

论:①当x=-2时,y=1;②当

x>x2时,y>0;③方程kx2+(2k-1)x1=0有两个不相等的实数根x1+4k2x1、x2;④x1<1,x2>-1;⑤2-x1=k,其中所有正确的结

论是(只需填写序号).7.已知直线

y2xbb0与x轴交于点A,与y轴交于点B;一抛物线的解析式为.

(1)若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线

y2xb上,试确定这条抛物线的解析式;

(2)过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线

y2xb的解析式.

8.有一个运算装置,当输入值为x时,其输出值为y,且y是x的二次函数,已知输入值为

2,0,1时,相应的输出值分别为5,3,4.

(1)求此二次函数的解析式;

(2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值

y为正数时输入值

x的取值范围.

9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现:骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同.他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图.请根据图象回答:

⑴第一天中,在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少

时间?

⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?

⑶兴趣小组又在研究中发现,图中10时到22时的曲线是抛物线,求该抛物线的解析式.

10.已知抛物线yax2(433a)x4与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.是否存在实数a,

使得△ABC为直角三角形.若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.11.已知抛物线y=-x2

+mx-m+2.

(1)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧,并且AB=5,试求m的值;(2)设C为抛物线与y轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且△MNC的面积等于27,试求m的值.

12.已知:抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A(-1,0).(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;

(2)D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上的一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线的解析式;

(3)E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点,如果点E在(2)中的抛物线上,且它与点A在此抛物线对称轴的同侧,问:在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

13.已知二次函数的图象如图所示.

(1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标.

(2)若点N为线段BM上的一点,过点N作x轴的垂线,垂足为点Q.当点N在线段BM上运动时(点N不与点B,点M重合),设NQ的长为l,四边形NQAC的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;

(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使△PAC为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(4)将△OAC补成矩形,使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过程).

14.已知二次函数y=ax2

-2的图象经过点(1,-1).求这个二次函数的解析式,并判断该函数图象与x轴的交点的个数.

15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1∶11000的比例图上,跨度AB=5cm,拱高OC=0.9cm,线段DE表示大桥拱内桥长,DE∥AB,如图(1).在比例图上,以直线AB为x轴,抛物线的对称轴为y轴,以1cm作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图(2).

(1)求出图(2)上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域;

(2)如果DE与AB的距离OM=0.45cm,求卢浦大桥拱内实际桥长(备用数据:21.4,计算结果精确到1米).

16.已知在平面直角坐标系内,O为坐标原点,A、B是x轴正半轴上的两点,点A在点B的左侧,2如图.二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象经过点A、B,与y轴相交于点C.(1)a、c的符号之间有何关系?

(2)如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项,试证a、c互为倒数;(3)在(2)的条件下,如果b=-4,AB=43,求a、c的值.

317.如图,直线

y3x3分别与x轴、y轴交于点A、B,⊙E经过原点O及A、B两点.

(1)C是⊙E上一点,连结BC交OA于点D,若∠COD=∠CBO,求点A、B、C的坐标;(2)求经过O、C、A三点的抛物线的解析式:

(3)若延长BC到P,使DP=2,连结AP,试判断直线PA与⊙E的位置关系,并说明理由.

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