二次函数知识点总结及相关典型题目

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二次函数

一、定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数.例：已知关于x的函数yax2bxc(a,b,c是常数）当a,b,c满足什么条件时（1）是一次函数（2）是正比例函数（3）是二次函数二、二次函数yax2bxc(a,b,c是常数，a0)的性质（1）①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.③｜a｜越大，开口越小。

Ox

ybb4acb2（，）（2）顶点是，对称轴是直线x

2a2a4a（3）①当a0时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在在对称轴右边，y随x的增大而增大；

②当a0时，在对称轴左边，y随x的增大而增大；在在对称轴右边，y随x的增大而减小。（4）y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c)

2

c0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，抛物线与y轴的交点在x轴下方则下列结论中正确的是(D)

例：1、（201*四川重庆，7，4分）已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，

A．a>0B．b＜0C．c＜0D．a＋b＋c>0

山东威海题图

练习：1、（201*山东威海，7，3分）二次函数yx22x3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的

取值范围是（A）．A．－1＜x＜3

B．x＜－1

C．x＞3

D．x＜－1或x＞3

2、（201*湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为1,1，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；2④a+b+c＜0.其中正确的个数是（C）A.1B.2C.3D.4

1

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三、求抛物线的顶点、对称轴的方法

bb4acb2（，）（1）公式法：yaxbxc，顶点是，对称轴是直线x.

2a2a4a2（2）配方法：yaxhk的顶点为(h,k)，对称轴是直线xh.

2(3)利用交点式求对称轴及顶点：yaxx1xx2例1、求下列各抛物线的顶点和对称轴：（1）yxx，对称轴为x122

x23x5（2）y2(x1)7（3）y3(x7)(x9)

2

2例2、201*江苏淮安，14，3分）抛物线y=x-2x-3的顶点坐标是.（1，－4）四、抛物线的平移

将函数换成顶点式，用口决“（x）左加右减，上加下减”．．．例1、抛物线yx22x3经过怎样平移得到yx24x1答案：向右平移3，再向下移5个单位得到；

3、（201*山东滨州，7，3分）抛物线yx23可以由抛物线yx2平移得到,则下列平移过程正确的是(B)

A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位五、用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

22（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2.(4)一般式与顶点式的变换

例：1、根据已知条件确定下列函数的解析式：

（－3，0），（0，－3）,(5，0)（1）已知抛物线过

2

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（2）已知抛物线的顶点在x轴上，且过点（1，0）、（－2，4）；（3）已知抛物线的顶点坐标为（－2，0），过点（1，4）

（201*山东济宁，12，3分）将二次函数yx24x5化为y(xh)2k的形式，则y2y(x2)1）（

七、yax2bxc(a0)与一元二次方程ax2bxc0(a0)的关系

b4ac>0方程有两个不相等的实数根2＝0方程有两个相等的实数根用专业的心，做专业的教育

A.k4

八、二次函数的应用

B.k4C.k4且k3D.k4且k3

1、求yax2bxc(a,b,c是常数，a0)最大值或最小值

①a0，函数有最小值为顶点的纵坐标，此时x等于顶点的横坐标；②a0，函数有最大值为顶点的纵坐标，此时x等于顶点的横坐标。例1、（201*广东肇庆，10，3分）二次函数yx22x5有（D）

A．最大值5

B．最小值5

C．最大值6

D．最小值6

例3、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与每件的销售价x(元)满足一次函数：m=162-3x.

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；

（2）如果商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的定价为多少最合适？最大销售利润为多

少？附表.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)yax2yax2k2yaxhx0（y轴）当a0时开口向上当a0时x0（y轴）xhxhyaxhk2开口向下yaxbxc2bx2ab4acb2，()2a4a1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）

如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）则AB间的距离，即线段AB的长度为

1、二次函数的性质二次函数函数x1x22y1y22

yax2bxc(a,b,c是常数，a0)a>0a用专业的心，做专业的教育

y0xy0x（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；b（2）对称轴是x=2a，顶点坐标是（（2）对称轴是x=b2a，顶点坐标是4acbb2a，4a）；24acb2b4a（2a，）；bb（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增大，简记左减右增；时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最低点，当x=b2a时，（4）抛物线有最高点，当x=y有最小值，y最小值4acb24ab2a时，y有最大值，y最大值4acb24a5

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扩展阅读：中考数学二次函数知识点总结及相关题型

二次函数知识点总结及相关典型题目

第一部分基础知识

1.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数yax2的性质

（1）抛物线yax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数yax2的图像与a的符号关系.

①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.

（a0）（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax2.

3.二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.

b4acb2，k4.二次函数yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中h.2a4a225.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①yax2；②yax2k；③yaxh；④yaxhk；

22⑤yaxbxc.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；

2a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

bb4acb2b4acb22（，）（1）公式法：yaxbxcax，∴顶点是，对称轴是直线x.2a2a4a2a4a（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线

22xh.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对

称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线

xbbb，故：①b0时，对称轴为y轴；②0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③0（即a、2aab异号）时，对称轴在y轴右侧.

（3）c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.

当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点（0，c）：①c0，抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则ba0.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax2x0（y轴）（0,0）yax2kx0（y轴）(0,k)yaxh2当a0时xh(h,0)yaxh2k开口向上xh(h,k)当a0时yax2bxcb开口向下x2a(b4acb22a，4a)11.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2.12.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c).

-2-

a2（2）与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ahbhc).

（3）抛物线与x轴的交点

二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程axbxc0的两

个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横

坐标是axbxck的两个实数根.

（5）一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点，由方程组

22ykxnyaxbxc2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时

l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.

（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bxc与x轴两交点为Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是

方程axbxc0的两个根，故

2bcx1x2,x1x2aaABx1x2x1x22x1x22b24acb4c4x1x2

aaaa2第二部分典型习题

１.抛物线y＝x＋2x－2的顶点坐标是（D）

A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则下列结论正确的是（C）

Ａ．ab＞0，c＞0Ｂ．ab＞0，c＜0Ｃ．ab＜0，c＞0Ｄ．ab＜0，c＜0

AEFDC2

B

第２,３题图第4题图

３.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是（Ｄ）A．a＞0，b＜0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＞0，c＞0

４.如图，已知ABC中，BC=8，BC上的高h4，D为BC上一点，EF//BC，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为x，则DEF的面积y关于x的函数的图象大致为（Ｄ）

4y444O2A4xO2B4O2C4O2D4

EF4xEF82x,yx24x84５.抛物线yx22x3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为4．

6.已知二次函数y＝kx2＋(2k－，则对于下列结论：①当x＝－2时，y1)x－1与x轴交点的横坐标为x1、x2（x1＜x2）＝1；②当x＞x2时，y＞0；③方程kx2＋(2k－1；⑤1)x1＝0有两个不相等的实数根x1、x2；④x1＜1，x2＞－1＋4k2，其中所有正确的结论是①③④（只需填写序号）．x2－x1＝k7.已知直线y2xbb0与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为yxb10xc.

2（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y2xb上，试确定这条抛物线的解析式；

（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y2xb的解析式.解：（1）yx10或yx4x6

22b10b216b100b10b216b100,)，b（0，b)代入，将得cb.顶点坐标为(由题意得2，2424解得b110,b26.（2）y2x2

8.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为2,0,1时,相应的输出值分别为5,3,4．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为yax2bxc,

a(2)2b(2)c5a1c3则a02b0c3,即2ab4,解得b2abc4c3ab1故所求的解析式为:yx22x3.（2)函数图象如图所示.

由图象可得，当输出值y为正数时，输入值x的取值范围是x1或x3．

9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼图．请根据图象回答：

⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼从最低上升到最高需要多少时间?⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．

解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的

体温是上升的

它的体温从最低上升到最高需要12小时⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃

第9题

夜的体温变化情况绘制成下

的体温是上升的?它的体温

12x2x2410x22164210.已知抛物线yax(3a)x4与x轴交于A、

3⑶yB两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

解：依题意，得点C的坐标为（0，4）．

设点A、B的坐标分别为（x1，0），（x2，0），

由ax(3a)x40，解得x13，x2∴点A、B的坐标分别为（-3，0），（∴AB|2434．3a4，0）．3a43|，ACAO2OC25，3aBCBO2OC2|∴AB|242|42．3a41641683|2223929，3a9a3a9aa162216．AC25，BC29a〈〉当ABACBC时，∠ACB＝90°．由ABACBC，

22222216816925(16)．9a2a9a21解得a．

4116625400222∴当a时，点B的坐标为（，0），AB，AC25，BC．

4399得

于是ABACBC．∴当a22221时，△ABC为直角三角形．422〈〉当ACABBC时，∠ABC＝90°．由ACABBC，得25(解得a222168169)(16)．9a2a9a24．9444当a时，3，点B（-3，0）与点A重合，不合题意．

493a39〈〉当BCACAB时，∠BAC＝90°．由BCACAB，得解得a222222161681625(9)．22a9a9a4．不合题意．91时，△ABC为直角三角形．4综合〈〉、〈〉、〈〉，当a11.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.

（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝5，试求m的值；

（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC的面积等于27，试求m的值.解:(1)Ａ（x1，0）,B(x2，0).则x1，x2是方程x2－mx＋m－2＝0的两根.∵x1＋x2＝m,x1x2=m－2＜0即m＜2;

2又AB＝x1x2＝（x1+x2）4x1x25,∴m2－4m＋3=0.

解得：m=1或m=3(舍去),∴m的值为1.（2）M(a，b)，则N(－a，－b).∵M、N是抛物线上的两点,

∴yCamam2b,①

2amam2b.②2MOxN①＋②得：－2a2－2m＋4＝0.∴a2＝－m＋2.∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N.∴a2m.

这时M、N到y轴的距离均为2m,又点C坐标为（0，2－m）,而S△MNC=27,∴2

1（2－m）2m=27.2∴解得m=－7.

12.已知：抛物线y＝ax＋4ax＋t与x轴的一个交点为A（－1，0）．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为求此抛物线的解析式；

（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解法一：

（1）依题意，抛物线的对称轴为x＝－2．∵抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0），

∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．

（2）∵抛物线y＝ax＋4ax＋t与x轴的一个交点为A（－1，0），

-7-

22一底的梯形ABCD的面积为9，

点E在（2）中的抛物线上，是否存在点P，使△APE的周∴a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0．∴t＝3a．∴y＝ax2＋4ax＋3a．

∴D（0，3a）．∴梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线y＝ax2＋4ax＋3a上，∵C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．∵梯形ABCD的面积为9，∴∴a±1．

∴所求抛物线的解析式为y＝x2＋4x＋3或y＝x24ax3．（3）设点E坐标为（x0，y0）.依题意，x0＜0，y0＜0，且

11(ABCD)OD＝9．∴(2＋4)3a＝9．

2255＝．∴y0＝－x0．

2x02y0①设点E在抛物线y＝x2＋4x＋3上，

2∴y0＝x0＋4x0＋3．

15x＝，x0＝6，0y0＝－x0,2解方程组得2y＝15；50y＝．y＝x2＋4x＋300004∵点E与点A在对称轴x＝－2的同侧，∴点E坐标为（15，）．24设在抛物线的对称轴x＝－2上存在一点P，使△APE的周长最小．∵AE长为定值，∴要使△APE的周长最小，只须PA＋PE最小．∴点A关于对称轴x＝－2的对称点是B（－3，0），∴由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．设过点E、B的直线的解析式为y＝mx＋n，

15m＝,1m＋n＝,2∴24解得3n＝.－3m＋n＝0.2∴直线BE的解析式为y＝∴点P坐标为（－2，

131x＋．∴把x＝－2代入上式，得y＝．2221）．222②设点E在抛物线y＝x4x3上，∴y0＝x04x03．

5y0＝－x0,32解方程组消去y0，得x02x0＋3＝0．

2y＝x24x3.000∴△＜0.∴此方程无实数根．综上，在抛物线的对称轴上存在点P（－2，解法二：

（1）∵抛物线y＝ax2＋4ax＋t与x轴的一个交点为A（－1，0），∴a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0．∴t＝3a．∴y＝ax2＋4ax＋3a．令y＝0，即ax＋4ax＋3a＝0．解得x1＝－1，x2＝－3．∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．

（2）由y＝ax2＋4ax＋3a，得D（0，3a）．∵梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线

21），使△APE的周长最小．2y＝ax2＋4ax＋3a上，

∴C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．∵梯形ABCD的面积为9，∴∴3a＝3．∴a±1．

∴所求抛物线的解析式为y＝x＋4x＋3或y＝－x－4x－3．

（3）同解法一得，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．∴如图，过点E作EQ⊥x轴于点Q．设对称轴与x轴的交

点为F．

221(AB＋CD)OD＝9．解得OD＝3．21BFPF1PF＝．∴＝．∴PF＝．

552BQEQ241∴点P坐标为（－2，）．

2由PF∥EQ，可得以下同解法一．

13.已知二次函数的图象如图所示．

（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标．

（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M

重合），设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过解：（1）设抛物线的解析式ya(x1)(x2)，

∴2a1(2)．∴a1．∴yx2x2．其顶点M的坐标是，点，第三个顶点落在矩程）．

129．4（2）设线段BM所在的直线的解析式为ykxb，点N的坐标为N（t，h），

02kb，3∴91．解得k，b3．

2kb.423x3．231112321∴ht3，其中t2．∴s12(2t3)ttt1．

22223423211∴s与t间的函数关系式是Stt1，自变量t的取值范围是t2．

422∴线段BM所在的直线的解析式为y（3）存在符合条件的点P，且坐标是P1，，P2，设点P的坐标为P(m，n)，则nmm2．

25724325．4PA2(m1)2n2，PC2m2(n2)2，AC25．

分以下几种情况讨论：

i）若∠PAC＝90°，则PCPAAC．

2nmm2，∴

2222m(n2)(m1)n5.222解得：m1557，m21（舍去）．∴点P1，．224222ii）若∠PCA＝90°，则PAPCAC．

2nmm2，∴

2222(m1)nm(n2)5.解得：m3353，m40（舍去）．∴点P2，－．242iii）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PAAC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．

（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA（或边OC）的对边上，如图a，此

时未知顶点坐标是点D（－1，－2），

以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图b，此时未知顶点坐标是E，，

1255F，．

4585

图a图b

14.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．

（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；

（2）如果DE与AB的距离OM＝0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：21.4，计算结果精确到1米）．解：（1）由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为

9．105529185因为点A（，0）（或B（，0））在抛物线上，所以0＝a()＋，得a＝－．

22210125y＝ax＋2182955x＋(x)．12510229918295－x＋，得x＝2．（2）因为点D、E的纵坐标为，所以

20201*510459952，2，所以点D的坐标为（－），点E的坐标为（）．

442020因此所求函数解析式为y＝－所以DE＝555252．因此卢浦大桥拱内实际桥长为．2－(2)＝110000.01＝2752385（米）

442215.已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图．二次函数

y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．

（1）a、c的符号之间有何关系?

（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证

a、c互为倒数；

（3）在（2）的条件下，如果b＝－4，AB＝43，求a、c的值．解:（1）a、c同号．或当a＞0时，c＞0；当a＜0时，c＜0．

（2）证明：设点A的坐标为（x1，0），点B的坐标为（x2，0），则0＜x1＜x2．∴OAx1，OBx2，OCc．

2据题意，x1、x2是方程ax＋bx＋c0(a0)的两个根．∴x1x22由题意，得OAOB＝OC，即＝c＝c．

2c．aca2所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时，a、c互为倒数．（3）当b4时，由（2）知，x1＋x2＝－＝＞0，∴a＞0．

2解法一：AB＝OB－OA＝x2－x1＝(x1＋x2)4x1x2，

ba4a∴AB()－4()4a2ca164ac23．2aa∵AB43，∴

123＝43．得a．∴c＝2.

2a解法二：由求根公式，x＝4164ac416423＝＝，

2a2aa∴x1＝2323232－323－＝，x2＝．∴AB＝OB－OA＝x2－x1＝．aaaaa∵AB＝43，∴

123＝43，得a＝．∴c＝2．

2a16.如图，直线y3x3分别与x轴、y轴交于点A、B，⊙E经过原点O及A、B两点．3（1）C是⊙E上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD＝∠CBO，求点A、B、C的坐标；（2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式：

（3）若延长BC到P，使DP＝2，连结AP，试判断直线PA与⊙E的位置关系，并说明理由．

解：（1）连结EC交x轴于点N（如图）．∵A、B是直线y

3x3分别与x轴、y轴的交点．∴A（3，0），B(0,3)．3又∠COD＝∠CBO．∴∠CBO＝∠ABC．∴C是∴ON13OB3OA,EN．2222的中点．∴EC⊥OA．

连结OE．∴ECOE3．∴NCECEN333．∴C点的坐标为（,）．222（2）设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为yaxx3．333332a(3)．∴a∵C（,）．∴3．222229∴y23223xx为所求．98（3）∵tanBAO3，∴∠BAO＝30°，∠ABO＝50°．311由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴OBDABO6030．

22∴OD＝OBtan30°－1．∴DA＝2．∵∠ADC＝∠BDO＝60°，PD＝AD＝2．∴△ADP是等边三角形．∴∠DAP＝60°．

∴∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即PA⊥AB．即直线PA是⊙E的切线．

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