初中数学所有函数的知识点总结
函数名称解析式图像正比例函数ykx(k0)0x反比例函数一次函数ykxb(k0)0x与直线平行且过点(0,b)的直线二次函数yax2bxc(a0)y0xy0xky(k0)xyxy0xyy0xy0xy抛物线图像过点(0,0)及(1,k)的直线双曲线,x轴、y轴是它的渐近线定义域RxxR且xoyyR且yoRR4acb2a0时,y,4aR值域R4acb2a0时,y,4a单调性k0时,在,0,k0时为增函数ba0时,在-,上为增2a函数,在,-0,上为减函数k0时,为增函数b上为减函数2ak0时为减函数k0时,在,0,k0时,为减函数0,上为增函数ba0时,在-,上为减2a函数,在,-b上为增函数2a奇偶性奇函数奇函数b=0时奇函数b=0时偶函数a0且x-ymin最值无无无b时,2a24acb4ab时,2a24acb4aa0且x-ymax
b24acb2注:二次函数yaxbxca(x(a0))a(xm)(xn)2a4ab4acb2b对称轴x,顶点(,)
2a4a2a2抛物线与x轴交点坐标(m,0),(n,0)(II)例题讲解
例1、求满足下列条件的二次函数的解析式:(1)抛物线过点A(1,1),B(2,2),C(4,2)(2)抛物线的顶点为P(1,5)且过点Q(3,3)
(3)抛物线对称轴是x2,它在x轴上截出的线段AB长为2解:(1)设yax22,且抛物线过点(1,7)。
bxc(a0),将A、B、C三点坐标分别代入,可得方程组为
abc1a1解得b4yx24x24a2bc216a4bc2c2(2)设二次函数为ya(x1)25,将Q点坐标代入,即a(31)253,得
a2,故y2(x1)252x24x3
(3)∵抛物线对称轴为x2;
∴抛物线与x轴的两个交点A、B应关于x2对称;∴由题设条件可得两个交点坐标分别为A(2∴可设函数解析式为:ya(x2代入方程可得a1
∴所求二次函数为yx22,0)、B(222,0)
2)(x22)a(x2)22a,将(1,7)
4x2,
例2:二次函数的图像过点(0,8),(1,(4,0)5),(1)求函数图像的顶点坐标、对称轴、最值及单调区间(2)当x取何值时,①y≥0,②y
(2)由y0可得x由y0可得x222x80,解得x4或x2
2x80,解得2x4
2例3:求函数f(x)xx1,x[1,1]的最值及相应的x值131解由yx2x1(x)2,知函数的图像开口向上,对称轴为x
22411∴依题设条件可得f(x)在[1,]上是减函数,在[,1]上是增函数。
2213∴当x[1,1]时,函数取得最小值,且ymin
24131又∵11
222∴依二次函数的对称性可知f(1)f(1)∴当x1时函数取得最大值,且ymax(1)例4、已知函数f(x)x22(1)13
2(a1)x2
(1)若函数f(x)的递减区间是(,4],求实数a的取值(2)若函数f(x)在区间(,4]上是减函数,求实数a的取值范围
分析:二次函数的单调区间是由其开口方向及对称轴决定的,要分清函数在区间A上是单调函数及单调区间是A的区别与联系
解:(1)f(x)的对称轴是x可得函数图像开口向上
∴f(x)的单调减区间为(,1a]∴依题设条件可得1a4,解得a3(2)∵f(x)在区间(,4]上是减函数∴(,4]是递减区间(,1a]的子区间∴1a4,解得a3例5、函数f(x)x22(a1)21a,且二次项系数为1>0
bx2,满足:f(3x)f(3x)
(1)求方程f(x)0的两根x1,x2的和(2)比较f(1)、f(1)、f(4)的大小解:由f(3x)f(3x)知函数图像的对称轴为x(3x)(3x)23
b3可得b62f(x)x26x2(x3)211
0)、(x2,0)关于对称轴x3对称而f(x)的图像与x轴交点(x1,x1x223,可得x1x26
由二次项系数为1>0,可知抛物线开口向上又EMBEDEquation.3
∴依二次函数的对称性及单调性可EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3(III)课后作业练习六
(Ⅳ)教学后记:
扩展阅读:初中数学函数知识点归纳
学大教育
初中数学函数板块的知识点总结与归类学习方法
初中数学知识大纲中,函数知识占了很大的知识体系比例,学好了函数,掌握了函数的基本性质及其应用,真正精通了函数的每一个模块知识,会做每一类函数题型,就读于中考中数学成功了一大半,数学成绩自然上高峰,同时,函数的思想是学好其他理科类学科的基础。初中数学从性质上分,可以分为:一次函数、反比例函数、二次函数和锐角三角函数,下面介绍各类函数的定义、基本性质、函数图象及函数应用思维方式方法。
一、一次函数
1.定义:在定义中应注意的问题y=kx+b中,k、b为常数,且k≠0,x的指数一定为1。2.图象及其性质(1)形状、直线
k0时,y随x的增大而增大,直线一定过一、三象限(2)
k0时,y随x的增大而减小,直线一定过二、四象限(3)若直线l1:yk1xb1l2:yk2xb2
当k1k2时,l1//l2;当b1b2b时,l1与l2交于(0,b)点。
(4)当b>0时直线与y轴交于原点上方;当b学大教育
(1)是中心对称图形,对中称心是原点(2)对称性:是轴直线yx和yx(2)是轴对称图形,对称k0时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内y随x的增大而减小(3)
k0时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内y随x的增大而增大(4)过图象上任一点作x轴与y轴的垂线与坐标轴构成的矩形面积为|k|。
P(1)应用在u3.应用(2)应用在(3)其它F上SS上t其要点是会进行“数结形合”来解决问题二、二次函数
1.定义:应注意的问题
(1)在表达式y=ax2+bx+c中(a、b、c为常数且a≠0)(2)二次项指数一定为22.图象:抛物线
3.图象的性质:分五种情况可用表格来说明表达式(1)y=ax2顶点坐标对称轴(0,0)最大(小)值y最小=0y最大=0(2)y=ax2+c(0,0)y最小=0y最大=0(3)y=a(x-(h,0)h)2直线x=hy最小=0y最大=0y随x的变化情况随x增大而增大随x增大而减小随x的增大而增大随x的增大而减小随x的增大而增大随x的增大而减小直线x=0(y轴)①若a>0,则x=0时,若a>0,则x>0时,y②若a0,则x=0时,①若a>0,则x>0时,y②若a0,则x=h时,①若a>0,则x>h时,y②若a学大教育
表达式h)2+k顶点坐标对称轴直线x=h最大(小)值y最小=ky最大=k(5)y=ax2+b(x+cb2ay随x的变化情况随x的增大而增大随x的增大而减小b2a时,①若a>0,则x>b2a(4)y=a(x-(h,k)①若a>0,则x=h时,①若a>0,则x>h时,y②若a0,则x=4acb24ay最小=4acb24ab时,y随x的增大而增大时,②若a2a2a时,y随x的增大而减小b②若a学大教育
一次函数图象和性质
【知识梳理】
1.正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0),一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0).2.一次函数ykxb的图象是经过(3.一次函数ykxb的图象与性质
图像的大致位置经过象限第象限第象限第象限第象限y随x的增大y随x的增大而y随x的增大y随x的增大性质而而而而
【思想方法】数形结合
k、b的符号k>0,b>0k>0,b<0k<0,b>0k<0,b<0b,0)和(0,b)两点的一条直线.k反比例函数图象和性质
【知识梳理】
1.反比例函数:一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=或(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.2.反比例函数的图象和性质
k的符号k>0yoxk<0yox
图像的大致位置经过象限性质
第象限在每一象限内,y随x的增大而第象限在每一象限内,y随x的增大而3.k的几何含义:反比例函数y=的几何意义,即过双曲线y=
k(k≠0)中比例系数kxk(k≠0)上任意一点P作x4
x轴、y轴垂线,设垂足分别为A、B,则所得矩形OAPB
函数学习方法学大教育
的面积为.
【思想方法】数形结合
二次函数图象和性质
【知识梳理】
1.二次函数ya(xh)2k的图像和性质
图象开口对称轴顶点坐标最值增减性
在对称轴左侧在对称轴右侧当x=时,y有最值y随x的增大而y随x的增大而a>0yOa<0x当x=时,y有最值y随x的增大而y随x的增大而锐角三角函数
【思想方法】
1.常用解题方法设k法2.常用基本图形双直角
【例题精讲】例题1.在△ABC中,∠C=90°.(1)若cosA=
14,则tanB=______;(2)若cosA=,则tanB=______.255
函数学习方法学大教育
例题2.(1)已知:cosα=
23,则锐角α的取值范围是()A.0°
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