初中数学二次函数知识点总结
二次函数的图象与性质
二次函数开口方向对称轴顶点增减性最大（小）值y=ax2a>0时，开口向上；a0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；
当a0时，当x=0时，=0；当a0时，当x=0时，=c；当a0时，当x=h时，y最小=0；当a0时，当x=h时，y最小=k；当a0时，当x=h时，y最小=k；当a0时，开口方向向上；a1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=h或者x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当h=0时，
二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）a,b同号，对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴a,b异号，对称轴在y轴右侧顶点
2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a开口
3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a>0时，二次函数图像向上开口；当a0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
决定二次函数图像与y轴交点的因素
5.常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于（0,C）注意：顶点坐标为（h,k)与y轴交于（0,C)二次函数图像与x轴交点个数
6.二次函数图像与x轴交点个数a0或a>0;k0时，函数在x=h处取得最小值ymix=k，在xh范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k当ah范围内事增函数，在x且X（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。交点式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1X2值。两图像对称
①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称；②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称；③y=ax2+bx+c与y=-a(x-h2+k关于顶点对称；④y=ax2+bx+c与y=-a(x+h2-k关于原点对称。
扩展阅读：史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳及相关典型题
第一部分基础知识
1.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数yax2的性质
（1）抛物线yax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数yax2的图像与a的符号关系.
①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax2（a0）.3.二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.
b2a4acb4a224.二次函数yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中h22，k.
25.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①yax2；②yax2k；③yaxh；④yaxhk；⑤yax2bxc.
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；
a相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：yax2b4acbbxcax2a4a22b4acb（，），对称轴是直线x，∴顶点是.
2a2a4a2b2（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线
xh.
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对
称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用
（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线
xb2a，故：①b0时，对称轴为y轴；②
ba0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③
ba0（即a、
b异号）时，对称轴在y轴右侧.
（3）c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.
当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点（0，c）：①c0，抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式yaxyax22ba0.
开口方向对称轴x0（y轴）x0（y轴）顶点坐标（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)4acb，(2a4ab2k2当a0时开口向上当a0时xhxhxb2ayaxhyaxhk2yax2bxc开口向下)11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
22（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2.12.直线与抛物线的交点
（1）y轴与抛物线yaxbxc得交点为(0,c).
-2-
（2）与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah（3）抛物线与x轴的交点
2bhc).
二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2bxc0的两
个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点0抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横
坐标是ax2bxck的两个实数根.
（5）一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点，由方程组
ykxnyax2bxc的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时
l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.
（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bxc与x轴两交点为Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是
方程ax2bxc0的两个根，故
x1x2ba,x1x2ca2ABx1x2x1x2x1x24x1x224cbaa2b4aca2a
第二部分典型习题
１.抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是（D）
A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则下列结论正确的是（C）
Ａ．ab＞0，c＞0Ｂ．ab＞0，c＜0Ｃ．ab＜0，c＞0Ｄ．ab＜0，c＜0
AEFDC
B第２,３题图第4题图
３.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是（Ｄ）A．a＞0，b＜0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＞0，c＞0
４.如图，已知ABC中，BC=8，BC上的高h4，D为BC上一点，EF//BC，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、
B），设E到BC的距离为x，则DEF的面积y关于x的函数的图象大致为（Ｄ）
y4444O2A4xO2B4O2C24O2D4
EF84x4EF82x,yx4x
５.抛物线yx22x3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为4．
6.已知二次函数y＝kx2＋(2k－1)x－1与x轴交点的横坐标为x1、x2（x1＜x2），则对于下列结论：①当x＝－2时，y＝1；②当x＞x2时，y＞0；③方程kx2＋(2k－1)x1＝0有两个不相等的实数根x1、x2；④x1＜1，x2＞－1；⑤
1＋4kk2x2－x1＝，其中所有正确的结论是①③④（只需填写序号）．
7.已知直线y2xbb0与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为yx2b10xc.（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y2xb上，试确定这条抛物线的解析式；
（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y2xb的解析式.解：（1）yx10或yx4x6
b102b16b1004222将得cb.顶点坐标为(（0，b)代入，,)，由题意得2b102bb16b10042，
解得b110,b26.
（2）y2x2
8.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为2,0,1时,相应的输出值分别为5,3,4．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为yax2bxc,
a(2)2b(2)c5c3a1则a02b0c3,即2ab4,解得b2abc4c3ab1故所求的解析式为:yx22x3.（2)函数图象如图所示.
由图象可得，当输出值y为正数时，输入值x的取值范围是x1或x3．
9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼图．请根据图象回答：
⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼从最低上升到最高需要多少时间?⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．
解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的
体温是上升的
它的体温从最低上升到最高需要12小时⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶y116x2x2410x22
22夜的体温变化情况绘制成下
的体温是上升的?它的体温
第9题
10.已知抛物线yax(433a)x4与x轴交于A、
B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
解：依题意，得点C的坐标为（0，4）．
设点A、B的坐标分别为（x1，0），（x2，0），
由ax2(433a)x40，解得x13，x243a243a．
∴点A、B的坐标分别为（-3，0），（∴AB|43a3|，AC2，0）．5，
AOOC43aBCBOOC43a222169a169a2||4．
43a169a222∴AB2|AC23|22316．
98a9，
25，BC2〈〉当AB2AC2BC2时，∠ACB＝90°．由AB2AC2BC2，得
169a28a925(14169a216)．
解得a∴当a14．
163时，点B的坐标为（，0），AB25269，AC225，BC24009．
于是AB2AC2BC2．∴当a214时，△ABC为直角三角形．
22〈〉当ACABBC时，∠ABC＝90°．
222由ACABBC，得25(169a28a9)(169a216)．
解得a当a4949．
43a432时，493，点B（-3，0）与点A重合，不合题意．
〈〉当BCACAB时，∠BAC＝90°．由BCACAB，得解得a4922222169a21625(169a28a9)．
．不合题意．
14综合〈〉、〈〉、〈〉，当a时，△ABC为直角三角形．
11.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.
（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝5，试求m的值；
（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC的面积等于27，试求m的值.解:(1)Ａ（x21，0）,B(x2，0).则x1，x2是方程x－mx＋m－2＝0的两根.
∵x1＋x2＝m,x1x2=m－2＜0即m＜2;
又AB＝x1x2＝（x21+x2）4x1x25,∴m2－4m＋3=0.
解得：m=1或m=3(舍去),∴m的值为1.yC（2）M(a，b)，则N(－a，－b).∵M、N是抛物线上的两点,
2M∴amam2b,①
xa2mam2b.②ON①＋②得：－2a2－2m＋4＝0.∴a2＝－m＋2.∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N.∴a2m.
这时M、N到y轴的距离均为2m,又点C坐标为（0，2－m）,而S△MNC=27,∴2
12（2－m）2m=27.∴解得m=－7.
12.已知：抛物线y＝ax2＋4ax＋t与x轴的一个交点为A（－1，0）．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为
求此抛物线的解析式；
（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果
且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解法一：
（1）依题意，抛物线的对称轴为x＝－2．∵抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0），
∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．
-7-
一底的梯形ABCD的面积为9，
点E在（2）中的抛物线上，是否存在点P，使△APE的周
（2）∵抛物线y＝ax2＋4ax＋t与x轴的一个交点为A（－1，0），∴a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0．∴t＝3a．∴y＝ax2＋4ax＋3a．
∴D（0，3a）．∴梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线y＝ax2＋4ax＋3a上，∵C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．∵梯形ABCD的面积为9，∴∴a±1．
∴所求抛物线的解析式为y＝x2＋4x＋3或y＝x24ax3．（3）设点E坐标为（x0，y0）.依题意，x0＜0，y0＜0，且
y0x0＝5212(ABCD)OD＝9．∴
12(2＋4)3a＝9．
．∴y0＝－52x0．
①设点E在抛物线y＝x2＋4x＋3上，
2∴y0＝x0＋4x0＋3．
15x＝，0x0＝6，y0＝－x0,2解方程组得2y＝15；50y＝x2＋4x＋3y＝．00004∵点E与点A在对称轴x＝－2的同侧，∴点E坐标为（12，
54）．
设在抛物线的对称轴x＝－2上存在一点P，使△APE的周长最小．∵AE长为定值，∴要使△APE的周长最小，只须PA＋PE最小．∴点A关于对称轴x＝－2的对称点是B（－3，0），∴由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．设过点E、B的直线的解析式为y＝mx＋n，15m＝,1m＋n＝,2∴24解得3－3m＋n＝0.n＝.2∴直线BE的解析式为y＝∴点P坐标为（－2，
1212x＋32．∴把x＝－2代入上式，得y＝12．
）．
2②设点E在抛物线y＝x24x3上，∴y0＝x04x03．
5x0,3y0＝－2解方程组消去y0，得x0x0＋3＝0．22y＝x24x3.000∴△＜0.∴此方程无实数根．综上，在抛物线的对称轴上存在点P（－2，解法二：
（1）∵抛物线y＝ax2＋4ax＋t与x轴的一个交点为A（－1，0），∴a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0．∴t＝3a．∴y＝ax2＋4ax＋3a．令y＝0，即ax2＋4ax＋3a＝0．解得x1＝－1，x2＝－3．∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．
（2）由y＝ax2＋4ax＋3a，得D（0，3a）．∵梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线
y＝ax＋4ax＋3a上，
212），使△APE的周长最小．
∴C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．
∵梯形ABCD的面积为9，∴(AB＋CD)OD＝9．解得OD＝3．
21∴3a＝3．∴a±1．
∴所求抛物线的解析式为y＝x＋4x＋3或y＝－x－4x－3．
（3）同解法一得，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．∴如图，过点E作EQ⊥x轴于点Q．设对称轴与x轴的交由PF∥EQ，可得
BFBQ＝PFEQ1222点为F．
．∴
152＝PF54．∴PF＝12．
∴点P坐标为（－2，以下同解法一．
）．
13.已知二次函数的图象如图所示．
（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标．
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过
点，第三个顶点落在矩程）．
解：（1）设抛物线的解析式ya(x1)(x2)，
∴2a1(2)．∴a1．∴yx2x2．其顶点M的坐标是1，9．24（2）设线段BM所在的直线的解析式为ykxb，点N的坐标为N（t，h），
02kb，∴91．解得k3，b342．
2kb.∴线段BM所在的直线的解析式为y32x3．∴h32t3，其中
12t2．∴s121212(223t3)t34t212t1．
∴s与t间的函数关系式是S3114t22t1，自变量t的取值范围是
2t2．
（3）存在符合条件的点P，且坐标是P573512，4，P2，2．4设点P的坐标为P(m，n)，则nm2m2．
PA2(m1)2n2，PC2m2(n2)2，AC25．
分以下几种情况讨论：i）若∠PAC＝90°，则PC2PA2AC2．
∴nm2m2，
m2(n2)2(m1)2n25.解得：m152，m21（舍去）．∴点P15，74．
2
ii）若∠PCA＝90°，则PA2PC2AC2．
2nmm2，∴
2222(m1)nm(n2)5.解得：m3353．∴点P2，－．，m40（舍去）
242iii）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PAAC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．
（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA（或边OC）的对边上，如图a，此
时未知顶点坐标是点D（－1，－2），
以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图b，此时未知顶点坐标是E12，，55F，548．5
图a图b
14.已知二次函数y＝ax－2的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个
数．
解：根据题意，得a－2＝－1.
∴a＝1．∴这个二次函数解析式是y＝x2．
因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x轴有两个交点．
15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，
线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．
22
（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；
（2）如果DE与AB的距离OM＝0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：21.4，计算结果精确到1米）．解：（1）由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为
2y＝ax＋910559185因为点A（，0）（或B（，0））在抛物线上，所以0＝a()2＋，得a＝－．
22210125．
因此所求函数解析式为y＝－（2）因为点D、E的纵坐标为所以点D的坐标为（－545454918125x＋2910920(52x18125522)．91020，所以
920－x＋54，得x＝2，
920542．
2，），点E的坐标为（）．
所以DE＝2－(2)＝522．
因此卢浦大桥拱内实际桥长为
522110000.01＝275．2385（米）
16.已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图．二次函数
y＝ax＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．
2（1）a、c的符号之间有何关系?
（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证
a、c互为倒数；
（3）在（2）的条件下，如果b＝－4，AB＝43，求a、c的值．解:
（1）a、c同号．或当a＞0时，c＞0；当a＜0时，c＜0．
（2）证明：设点A的坐标为（x1，0），点B的坐标为（x2，0），则0＜x1＜x2．∴OAx1，OBx2，OCc．
2据题意，x1、x2是方程ax＋bx＋c0(a0)的两个根．∴x1x2ca．
由题意，得OAOB＝OC2，即＝c＝c2．
ac2所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时，a、c互为倒数．（3）当b4时，由（2）知，x1＋x2＝－ba＝4a＞0，∴a＞0．
解法一：AB＝OB－OA＝x2－x1＝(x1＋x2)24x1x2，∴AB42c()－4()aa23a164aca223a．
∵AB43，∴＝43．得a12．∴c＝2.
解法二：由求根公式，x＝4164ac2a＝41642a＝2a3，
∴x1＝2a3，x2＝2a3．
∴AB＝OB－OA＝x2－x1＝2a3－2－3a12＝23a．
∵AB＝43，∴
3323a3＝43，得a＝．∴c＝2．
17.如图，直线yx分别与x轴、y轴交于点A、B，⊙E经过原点O及A、B两点．
（1）C是⊙E上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD＝∠CBO，求点A、B、C的坐标；（2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式：
（3）若延长BC到P，使DP＝2，连结AP，试判断直线PA与⊙E的位置关系，并说明理由．
解：（1）连结EC交x轴于点N（如图）．∵A、B是直线y33x3
分别与x轴、y轴的交点．∴A（3，0），B(0,3)．
的中点．∴EC⊥OA．
又∠COD＝∠CBO．∴∠CBO＝∠ABC．∴C是∴ON12OA32,ENOB232．
连结OE．∴ECOE3．∴NCECEN32．∴C点的坐标为（,2332）．
（2）设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为yaxx3．∵C（∴y32,322）．∴23832a33(3)22．∴a293．
239xx为所求．33（3）∵tanBAO，∴∠BAO＝30°，∠ABO＝50°．
12ABO126030．
由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴OBD∴OD＝OBtan30°－1．∴DA＝2．
∵∠ADC＝∠BDO＝60°，PD＝AD＝2．∴△ADP是等边三角形．∴∠DAP＝60°．
∴∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即PA⊥AB．即直线PA是⊙E的切线．
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