导数知识点总结

时间：2019-05-28 22:38:12 网站：公文素材库

导数知识点总结

导数

考试内容：导数的背影．导数的概念．

多项式函数的导数．

利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：

（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．

（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．

知识要点

导数的概念导数的几何意义、物理意义常见函数的导数导数导数的运算导数的运算法则函数的单调性函数的极值函数的最值

导数的应用

一、导数的概念1．平均变化率

f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfxxx2x1x注1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2.导数的概念

函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是，limf(x0x)f(x0)ylim

x0xx0x

我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即

f(x0)=limx0f(x0x)f(x0)

3.平均变化率的几何意义

平均变化率的几何意义是割线的斜率；4.导数的几何意义

函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率，也就是说，曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f"(x0)，

"切线方程为yy0f(x)(xx0).

5.导数的背景

（1）切线的斜率（2）瞬时速度（3）边际成本

6.导函数

当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数.yf(x)的导函数有时也记作y,即

f(x)limx0f(xx)f(x)

二.导数的计算

1.基本初等函数的导数公式:

1）若f(x)c(c为常数)，则f(x)0；

12）若f(x)x,则f(x)x;

3）若f(x)sinx,则f(x)cosx4）若f(x)cosx,则f(x)sinx;

xx5）若f(x)a,则f(x)alna

6）若f(x)e,则f(x)e

xx1xlna18）若f(x)lnx,则f(x)

xx7）若f(x)loga,则f(x)2.导数的运算法则

1）[f(x)g(x)]f(x)g(x)

2）[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)3）[f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)]g(x)[g(x)]23.复合函数求导

yf(u)和ug(x),称则y可以表示成为x的函数,即yf(g(x))为一个复合函数yf(g(x))g(x)

三、导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数

一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(a,b)内，

如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数yf(x)的极值的方法是:

(1)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值;3.函数的最大(小)值与导数

极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

求函数yf(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤（1）求函数yf(x)在(a,b)内的极值；

（2）将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四、生活中的优化问题

利用导数的知识，求函数的最大(小)值,从而解决实际问题

扩展阅读：导数知识点总结

导数

考试内容：导数的背影．导数的概念．

多项式函数的导数．

利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：

（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．

知识要点

导数的概念导数的几何意义、物理意义常见函数的导数导数导数的运算导数的运算法则函数的单调性导数的应用函数的极值函数的最值限limf"(x0)=lim1.导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数yf(x)定义域的一点，如果自变量

x在x0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)称为函数yf(x)在点x0到x0x之间的平均变化率；如果极xxf(x0x)f(x0)y存在，则称函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极limx0xx0x限叫做yf(x)在x0处的导数，记作f"(x0)或y"|xx0，即

f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x

-1-

注：①x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零.②以知函数yf(x)定义域为A，yf"(x)的定义域为B，则A与B关系为AB.2.函数yf(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：

⑴函数yf(x)在点x0处连续是yf(x)在点x0处可导的必要不充分条件.可以证明，如果yf(x)在点x0处可导，那么yf(x)点x0处连续.事实上，令xx0x，则xx0相当于x0.于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

xx0x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f"(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0xx⑵如果yf(x)点x0处连续，那么yf(x)在点x0处可导，是不成立的.例：f(x)|x|在点x00处连续，但在点x00处不可导，因为时，

yyy不存在.1；当x＜0时，1，故limx0xxxy|x|，当x＞0xx注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义：

函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线yf(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f"(x0)，切线方程为yy0f"(x)(xx0).4.求导数的四则运算法则：

(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)

(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c为常数）

vu"v"uu(v0)2vv"注：①u,v必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它

们的和、差、积、商不一定不可导.

例如：设f(x)2sinx，g(x)cosx，则f(x),g(x)在x0处均不可导，但它们和

2x2x

f(x)g(x)

sinxcosx在x0处均可导.

5.复合函数的求导法则：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6.函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f"(x)＞0，则

yf(x)为增函数；如果f"(x)＜0，则yf(x)为减函数.

⑵常数的判定方法；

如果函数yf(x)在区间I内恒有f"(x)=0，则yf(x)为常数.

注：①f(x)0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样f(x)0是f（x）递减的充分非必要条件.

②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.

7.极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理）当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f"(x)＞0，右侧f"(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f"(x)＜0，右侧f"(x)＞0，那么f(x0)是极小值.

也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f"(x)=0①.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①：若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f"(x)=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数yf(x)x3，x0使f"(x)=0，但x0不是极值点.

②例如：函数yf(x)|x|，在点x0处不可导，但点x0是函数的极小值点.8.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

注：函数的极值点一定有意义.9.几种常见的函数导数：

n)"coxs(arcxs)i"nI.C"0（C为常数）(six11x2

"x)os(xn)"nxn1（nR）s"sinx(arcc(cox)11x2

1"11"(arctx)anII.(lnx)(loagx)loage

xxx21"(ex)"ex

(arcoxt)"1x21(ax)"axlna

III.求导的常见方法：①常用结论：(ln|x|)".

②形如y(xa1)(xa2)...(xan)或y化求代数和形式.

③无理函数或形如yxx这类函数，如yxx取自然对数之后可变形为lnyxlnx，

y"1对两边求导可得lnxxy"ylnxyy"xxlnxxx.

yx(xa1)(xa2)...(xan)两边同取自然对数，可转

(xb1)(xb2)...(xbn)1x

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