高中函数总结归纳

高中函数总结归纳

高中函数总结表许腾

函数图像定义域yy值域单调性奇偶性对称性最值周期一次函数OxOxRy=kx+b(k≠0）(k＞0,b＞0)(k＞0,b＜0)yRk＞0时，在R上单调递增；k＜0时，在R上单调递减。当b=0既是轴对称图形，又是中心对称图形，有无数条对称轴和对称中心。时，是奇函数。yOxOx(k＜0,b＞0)(k＜0,b＜0)R当a＞0时，二次函数当a＞0时，在(∞，,+y=ax2+bx+c（a≠0）y∈［4acb24ab］上单调递2a减；在[b，+∞）∞);解析式:2y=a(x+b)2+4acb2a4a当a＜0时，y∈(∞，2aa＞0上单调递增。当a＜0时，在(∞，4acb］4a2b］上单调递2a增；b=0时，是偶函数关于x=b2a当a＞0时，有最小值，为4acb24a成轴对称当a＞0时，有最大值，为4acb24a在[b，+∞）a＜0反比例函数y=(k≠0)kx2a上单调递减。k＞0x≠0y≠0当k＞0时，在(∞，0）和（0，+∞）上单调递减当k＜0时，在(∞，0）和（0，+∞）上单调递奇函数既是轴对称又是中心对称。关于原点O中心对称；关于y=±x成轴对称。增k＜0第1页高中函数总结表许腾

指数函数y=ax0＜a＜1R当0＜a＜1时，在R上单调递减。（0，+∞）非奇非偶(a>0且a≠1)当a>1时，在R上单调递增。a>1对数函数y=loga一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。x(a>0且a≠1)0＜a＜1（0，+∞）R当0＜a＜1时，（0，+∞）上单调递减。非奇非偶当a>1时，（0，+∞）上单调递增。a>1幂函数y=xa(a为常数)部分函数图像（第一象限）部分函数图像（第一象限）第2页高中函数总结表许腾

正弦函数y=sinx,x∈RR[-1,1]]，k在[2kπ-，2kπ+22∈z上单调递增；在[2kπ+，2kπ+3]，k22奇函数关于（kπ，0）成中心对称；关于x=kπ+成2轴对称。ymax=1；ymin=-1.2π∈z上单调递减；余弦函数y=cosx,x∈RR[-1,1]在[2kπ+π，2kπ+2π]，k∈z上单调递增；在[2kπ，2kπ+π]，k∈z上单调递减；偶函数关于（kπ+，0）2成中心对称；关于x=kπ成轴对称。ymax=1；ymin=-1.2π正切函数y=tanx,xx2k,kZ2k,kZR在[2kπ-，kπ+]上单22调递增。奇函数，关于（k20）中心对称。π

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扩展阅读：高中函数归纳总结梳理知识点(百科众多函数再总结而来)

七彩希翼

一次函数

一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b（k为常数，k≠0）则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx（k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b（k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。三、一次函数的图像及性质：

1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；

（3）连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。3．k，b与函数图像所在象限：

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。四、确定一次函数的表达式：

已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b①和y2=kx2+b②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。（4）最后得到一次函数的表达式。五、一次函数在生活中的应用：

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

六、常用公式：（不全，希望有人补充）

1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/23.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2（注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）七彩希翼

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c

（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a七彩希翼

例5若函数yax2ax1的定义域是R，求实数a的取值范围（画图就可以求解）a10恒成立，a2解：∵定义域是R,∴axaxa01∴等价于0a2

a24a0a例5若函数yf(x)的定义域为[1，1]，求函数yf(x解：要使函数有意义，必须：

11)f(x)的定义域44151x1x44131x1x44∴函数yf(x343x3544434113)f(x)的定义域为：x|x444抽象函数：例6已知f(x)满足2f(x)f(1)3x，求f(x)；

x∵已知2f(x)f(1)3x①，

x将①中x换成

1得2f(1)f(x)3②，xxx①2-②得3f(x)6x3∴f(x)2x1.

xx

函数值域求解方法：

一、直接法：从自变量x的范围出发，推出yf(x)的取值范围。

二、配方法（二次函数法）：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如F(x)af(x)bf(x)c的函数的值域问题，均可使用配方法

三、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

四、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以用反函数法。五、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如

2yaxbcxd（a、b、c、d均为常数，且a0）的函数常用此法求解。

六、判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)0；通过方程有实数根，判别式0，从而求得

a1x2b1xc1原函数的值域，形如y（a1、a2不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。2a2xb2xc2七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。八、利用函数的导数求最值：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值。九、利用重要的不等式：基本不等式求值域。十、图像法（数形结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。

注：求函数的值域没有通性解法，只有根据函数解析式的结构特征来确定相应的解法。但不论哪种方法，都应遵循一个原则：定义域优先的原则。

例1．求下列函数的值域

①y=3x+2(-1x1)②f(x)24x七彩希翼

③y1x④yxx1x解：①∵-1x1，∴-33x3，

∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②∵4x[0,)∴f(x)[2,)即函数f(x)24x的值域是{y|y2}③y∵

xx1111x1x1x110（对角函数）∴y1x1即函数的值域是{y|yR且y1}（此法亦称分离常数法）④当x>0，∴yx121)22，=(xxx121)22)=－(xxx当x七彩希翼

②∵顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；

∴在[3,4]上，ymin=-2，ymax=1；值域为[-2，1].

③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，ymin=-2，ymax=1；值域为[-2，1].

④∵顶点横坐标2[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,∴在[0,1]上，ymin=-3，ymax=6；值域为[-3，6].对于二次函数f(x)ax2bxc(a0),⑴若定义域为R时，

2b(4acb)；①当a>0时，则当x时，其最小值ymin2a4a2b(4acb).②当a0）时或最大值（a七彩希翼

∵2定义域{x|x2且x3}∴y再检验y=1代入①求得x=2∴y1

151x25x6综上所述，函数y2的值域为{y|y1且y}

5xx6方法二：把已知函数化为函数y由此可得y1

(x2)(x3)x36(x2)1(x2)(x3)x3x3∵x=2时y11即y55x25x61∴函数y2的值域为{y|y1且y}5xx64．换元法

例4．求函数y2x41x的值域解：设t1x则t0x=1t

代入得yf(t)2(1t2)4t2t24t22(t1)24∵t0∴y45．分段函数

例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

y22x1(x1)解法1：将函数化为分段函数形式：y3(1x2)，

2x1(x2)（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.

3画出它的图象

-1O2x解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+].如图

x-1O12

-1Ox12

-1O12x

（1）二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]

交点式：y=a(x-x)(x-x)[仅限于与x轴有交点A（x，0）和B（x，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax,x=(-b±√b^2-4ac)/2a函数解析式的求法：

11①定义法（拼凑）：如：已知f(x)x22，求：f(x)；

xx七彩希翼

②换元法：如：已知f(3x1)4x3，求f(x)；③待定系数法：如：已知f{f[f(x)]}12x，求一次函数f(x)；

1④赋值法：如：已知2f(x)f()x1(x0)，求f(x)

x7.函数值域的求法：①换元配方法。如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域。形如yaxbcxd的函数均可用此法（换元、配方）求值域

ax2bxc②判别式法。一个二次分式函数y(其中a2d20)在自变量没有限制时就可2dxexf以用判别式法去值域。其方法是将等式两边同乘以dx2+ex+f移项整理成一个x的一元二次方程，方程有实数解则判别式大于等于零，得到一个关于y的不等式，解出y的范围就是函数的值域。③单调性法。如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域

8.函数单调性的证明方法:

第一步：设x1、x2是给定区间内的两个任意的值，且x1七彩希翼

①f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性②f(x)与cf(x)当c>0是单调性相同，当c0时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；a0时：最小值在离对称轴近的端点处取得，最大值在离对称轴远的端点处取得；af(x)恒成立a>f(x)的最大值

af(x)的最小值

a七彩希翼

可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。（3）抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数

Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）（4）二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式顶点坐标对称轴y=ax^2(0，0)x=0y=a(x-h)^2(h，0)x=hy=a(x-h)^2+k(h，k)x=hy=ax^2+bx+c(-b/2a，x=-b/2a[4ac-b^2]/4a)当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，当h0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得

到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h>0,k七彩希翼

2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二

次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x-x|当△=0．图象与x轴只有一个交点；当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a七彩希翼

①y3x1(xR)；②yx31(xR)；③yx1(x0)；④yy132x3(xR,且x1).x1解：①由y3x1解得x∴函数y3x1(xR)的反函数是y②由yx31(xR)解得x=3y1,

x1(xR)，3∴函数yx31(xR)的反函数是y3x1(xR)③由y=

x+1解得x=(y1)2,

∵x0，∴y1.∴函数y④由yx1(x0)的反函数是x=(y1)2(x1);

y32x3解得xx1y22x3x3(xR,且x1)的反函数是y(xR,x2)x1x221∵x{xR|x1}，∴y{yR|y2}∴函数y例4已知f(x)=x-2x(x≥2),求f2(x).

解法1：⑴令y=x-2x，解此关于x的方程得x244y，

2244y∵x≥2，∴x，即x=1+1y--①,

2⑵∵x≥2，由①式知1y≥1，∴y≥0--②,⑶由①②得f1；(x)=1+1x（x≥0，x∈R）

222解法2：⑴令y=x-2x=(x1)-1，∴(x1)=1+y，∵x≥2，∴x-1≥1，∴x-1=1y--①,即x=1+1y,⑵∵x≥2，由①式知1y≥1，∴y≥0,⑶∴函数f(x)=x-2x(x≥2)的反函数是f21；(x)=1+1x（x≥0）

对数函数

1（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。（2）对数函数的值域为全部实数集合。（3）函数总是通过（1，0）这点。七彩希翼

（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

（5）显然对数函数无界。

对数函数

ylogaxa是常数且a0，a1)，x(0,)；

1.他的图形为于y轴的右方.并通过点(1,0)

2.当a>1时在区间(0,1),y的值为负.图形位于x的下方,在区

间(1,+),y值为正,图形位于x轴上方.在定义域是单调增函数.a七彩希翼

1.当a>1时函数为单调增,当a七彩希翼

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则

这个函数一定不是奇（或偶）函数。

（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照

奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义2．奇偶函数图像的特征：

定理奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。3.奇偶函数运算

(1)两个偶函数相加所得的和为偶函数.(2)两个奇函数相加所得的和为奇函数.

(3)一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.(4)两个偶函数相乘所得的积为偶函数.(5)两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

(6)一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

函数的单调性：

1）定义；特征：增（减）函数的y值，随自变量x值的增大而增大（减小），即从左边往右边看增函数的图象是上升的，减函数图象是下降的．2）若函数yf(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数yf(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数yf(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.3）判断证明函数单调性的一般步骤是：

⑴设x1,x2是给定区间内的任意两个值，且x1七彩希翼

f(x1)－f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1－x2),

由x1f(x2).∴f(x)=

1在(0,+)上是减函数.x七彩希翼

能否说函数f(x)=

1在(-，+)上是减函数？x1的定义域.x答：不能.因为x=0不属于f(x)=

复合函数单调性

例2．求函数y82(2x2)(2x2)2的值域，并写出其单调区间解：题设函数由y82uu2和u2x2复合而成的复合函数，函数u2x2的值域是(,2]，在(,2]y82uu29(u1)2上的值域是(,9].

故函数y82(2x2)(2x2)2的值域是(,9].

对于函数的单调性，不难知二次函数y82uu2在区间(,1)上是减函数，在区间[1,)上是增函数；

2二次函数u2x区间(,0)上是减函数，在区间[0,)上是增函数2当u(,1)时，2x2(,1)，即2x1，x1或x1.

22当u[1,)时，2x[1,)，即2x1，1x1.

yyuu2x2xy82uu2uy82(2x2)(2x2)2x因此，本题应在四个区间(,1)，[1,0)，[0,1)，[1,)上考虑①当x(,1)时，u2x(,1)，

22而u2x在(,1)上是增函数，y82uu在(,1)上是增函数，所以，函数

2y82(2x2)(2x2)2在区间(,1)上是增函数②当x[1,0)时，u2x[1,)，

22而u2x在[1,0)上是增函数，y82uu在[1,)上是减函数，

七彩希翼

所以，函数y82(2x2)(2x2)2在区间[1,0)上是减函数③当x[0,1)时，u2x2(1,)，

而u2x2在[0,1)上是减函数，y82uu2在(1,)上是减函数，所以，函数y82(2x2)(2x2)2在区间[0,1)上是增函数④当x[1,)时，u2x2(,1]，

而u2x2在[1,)上是增函数，y82uu2在(,1]上是减函数，所以，函数

y82(2x2)(2x2)2在区间[1,)上是减函数综上所述，函数y82(2x2)(2x2)2在区间(,1)、[0,1)上是增函数；在区间[1,0)、(,1]上是减函数

周期性

（1）定义：如果存在使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)的非零常数T，则称f(x)为周期函数；

（2）性质：

TT)f(x),若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最22T小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为。

||①f(x+T)=f(x)常常写作f(x最值

（1）定义：

最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；

②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：

1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；○

2利用图象求函数的最大（小）值；○

3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：○

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

1..函数的单调性

(1)设x1x2a,b,x1x2那么

(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；

x1x七彩希翼

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数.

x1x2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为

(x1x2)f(x1)f(x2)0减函数.

注：如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.

2.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

注：若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).

注：对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x两个函数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线xab;2ab对称.2a注：若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称;若f(x)f(xa),则函数

2yf(x)为周期为2a的周期函数.

3.多项式函数P(x)anxnan1xn1a0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数yf(x)的图象的对称性

(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).

(2)函数yf(x)的图象关于直线xab对称f(amx)f(bmx)2f(abmx)f(mx).

4.两个函数图象的对称性

(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.(2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x(3)函数yf(x)和yf1ab对称.2m(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.

5.互为反函数的两个函数的关系

f(a)bf1(b)a.

27.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y数y[f11[fk1(x)b],并不是y[f1(kxb),而函

(kxb)是y1[f(x)b]的反函数.k6.几个常见的函数方程七彩希翼

(1)正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.(2)指数函数f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).

(4)幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f"(1).

(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

f(0)1,limx0g(x)1.x7.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，

1(f(x)0)，f(x)1或f(xa)(f(x)0),

f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a；21(3)f(x)1(f(x)0)，则f(x)的周期T=3a；

f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，则f(x)的周期T=4a；

1f(x1)f(x2)(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=6a.

或f(xa)8.分数指数幂

(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）.（a0,m,nN，且n1）.

a9.根式的性质（1）(na)na.（2）当n为奇数时，aa；当n为偶数时，a|a|nnnna,a0.

a,a010.有理指数幂的运算性质

(1)aaa(a0,r,sQ).

rsrs(2)(a)a(a0,r,sQ).

rrr(3)(ab)ab(a0,b0,rQ).

注：若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

logaNbabN(a0,a1,N0).

p

rsrs七彩希翼

34.对数的换底公式

logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).

logmann推论logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).

mlogaN11.对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)loga(MN)logaMlogaN;

MlogaMlogaN;N(3)logaMnnlogaM(nR).

(2)loga注：设函数f(x)logm(ax2bxc)(a0),记b24ac.若f(x)的定义域为R,则a0，且

0;若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情形,需要单独检验.

12.对数换底不等式及其推论

1,则函数ylogax(bx)a11(1)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为增函数.

aa11(2)(2)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为减函数.

aa若a0,b0,x0,x推论:设nm1，p0，a0，且a1，则（1）logmp(np)logmn.（2）logamloganloga2mn.2

三角函数公式表

（下面写的

，看起来像n字母，别搞错了，还有

tanα＋tanβtan（α＋β）＝1－tanαtanβ

tanα＋tanβ是分子，1－tanαtanβ是分母再有

1

sinαcosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]2

也像上面一样，意思是sinαcosβ=0.5*[sin（α＋β）＋sin（α－β）],这些公式很多都在课本，可以查课本来确认这里是否写对，或者自己证明也行）

七彩希翼

同角三角函数的基本关系式

倒数关系:tanαcotα＝1sinαcscα＝1商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

平方关系：sin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2αcosαsecα＝1

sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosα

sin（π/2－α）＝cosαsin（π－α）＝sinαcos（π/2－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαcot（π/2－α）＝tanαcot（π－α）＝－cotα

sin（π/2＋α）＝cosαsin（π＋α）＝－sinαcos（π/2＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π＋α）＝tanαcot（π/2＋α）＝－tanα

cot（π＋α）＝cotα两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβtan（α＋β）＝1－tanαtanβ

tanα－tanβtan（α－β）＝1＋tanαtanβ

半角的正弦、余弦和正切公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式

1＋cot2α＝csc2α

诱导公式

tan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα

sin（3π/2－α）＝－cosαsin（2π－α）＝－sinαcos（3π/2－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（3π/2－α）＝cotαtan（2π－α）＝－tanαcot（3π/2－α）＝tanαcot（2π－α）＝－cotα

sin（3π/2＋α）＝－cosαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（3π/2＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（3π/2＋α）＝－cotαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（3π/2＋α）＝－tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)

万能公式

2tan(α/2)sinα＝1＋tan2(α/2)1－tan2(α/2)cosα＝1＋tan2(α/2)

2tan(α/2)tanα＝1－tan2(α/2)

三角函数的降幂公式

三倍角的正弦、余弦和正切公式

七彩希翼

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

2tanαtan2α＝1－tan2α

三角函数的和差化积公式

α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin－－cos－22α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos－－sin－22α＋βα－βcosα＋cosβ＝2cos－－cos－22α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin－－sin－22

化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）

1

sinαcosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]21

cosαsinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]21

cosαcosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]21

sinαsinβ＝－-[cos（α＋β）－cos（α－β）]23tanα－tan3αtan3α＝1－3tan2α

三角函数的积化和差公式

sin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα

三角函数

正弦函数ysinx，x(,)，y[1,1]，

余弦函数ycosx，x(,)，y[1,1]，七彩希翼

正切函数ytanx，

xk2，kZ，y(,)，

余切函数ycotx，xk，kZ，y(,)；

(5)反三角函数

yarcsinx反正弦函数

，x[1,1]，

y[,]22，七彩希翼

yarccosx，x[1,1]，y[0,]，

yarctanx，x(,)，

y(2,2)，

yarccotx，x(,)，y(0,)．

反余弦函数反正切函数

反余切函数七彩希翼

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