幂函数知识总结
幂函数复习
yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是一、幂函数定义：形如
常数。
注意：幂函数与指数函数有何不同？
【思考提示】本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．观察图：
归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下：
二、幂函数的性质
归纳：幂函数在第一象限的性质：
0，图像过定点（0,0）（1,1），在区间（0,）上单调递增。0，图像过定点（1,1），在区间（0,）上单调递减。
探究：整数m,n的奇偶与幂函数yx(m,nZ,且m,n互质)的定义域以及奇偶性有什么关系？
结果：形如yx(m,nZ,且m,n互质)的幂函数的奇偶性
（1）当m，n都为奇数时，f（x）为奇函数，图象关于原点对称；（2）当m为奇数n为偶数时，f（x）为偶函数，图象关于y轴对称；
（3）当m为偶数n为奇数时，f（x）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.三、幂函数的图像画法：
关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）；指数等于1,在第一象限为上升的射线；
指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）；指数等于0,在第一象限为水平的射线；指数小于0,在第一象限为双曲线型；四、规律方法总结：
yx(0,1)的图像：1、幂函数
mnmn
yx(q,p,qZ,p,q互质)p的图像：
2、幂函数
3、比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．
题型一：幂函数解析式特征
例1.下列函数是幂函数的是（）A．y=x
xB.y=3xC.y=x+1D.y=x
221232m2m1y(mm1)x练习1：已知函数是幂函数，求此函数的解析式．
2a9f(x)(a9a19)x练习2：若函数是幂函数，且图象不经过原点，求函数的
解析式．
题型二：幂函数性质
例2：下列命题中正确的是（）
A．当0时，函数yx的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点C．幂函数的yx图象不可能在第四象限内
3D．若幂函数yx为奇函数，则在定义域内是增函数
练习3：如图，曲线c1,c2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限的图象，那么一定有（）
A．n0yc1练习4：．（1）函数y＝x的单调递减区间为（）A．（－∞，1）B．（－∞，0）C．［0，＋∞)D．（－∞，＋∞）
（2）．函数y＝x
（3）．幂函数的图象过点(2,4),则它的单调递增区间是．题型三：比较大小
.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1）2.3，2.4;（2）0.31，0.35；（3）(2)，(3)；（4）1.1，0.9．.经典例题：
例1、已知函数f(x)x2mm3(mZ)为偶函数，且f(3)f(5)，求m的值，并确定f(x)的解析式．
例2、若(m1)1(32m)1，试求实数m的取值范围．例3、若(m1)3(32m)3，试求实数m的取值范围．例4、若(m1)4(32m)4，试求实数m的取值范围．
例5、函数y(mx4xm2)(m2mx1)的定义域是全体实数，求m的
214225c20x34在区间上是减函数．
13434
656532321212取值范围。
扩展阅读：指对幂函数知识点总结
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
①如果xna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，
a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方
根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．
a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当
②式子nn为偶数时，a0．
③根式的性质：
(na)na；当
n为奇数时，
nana；当
n为偶数时，
na(a0)．an|a|a(a0)mn（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：a幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：amnnam(a0,m,nN,且n1)．0的正分数指数
1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0
aa的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质
①arasars(a0,r,sR)②(ar)sars(a0,r,sR)
r③(ab)arbr(a0,b0,rR)
【2.1.2】指数函数及其性质
（4）指数函数函数名称定义图象函数指数函数yax(a0且a1)叫做指数函数0a1yaxa1yyaxyy1(0,1)y1(0,1)O
xOx
定义域值域R(0,)图象过定点(0,1)，即当x过定点奇偶性单调性0时，y1．在R上是减函数非奇非偶在R上是增函数ax1(x0)函数值的变化情况ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)a变化对图象的影响
在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义①若axN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数，
N叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：xlogaNaxN(a0,a1,N0)．
（2）几个重要的对数恒等式
loga10，logaa1，logaabb．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lgN，即log10（4）对数的运算性质如果a①加法：logaN；自然对数：lnN，即loge．N（其中e2.71828…）
0,a1,M0,N0，那么
MNMlogaNloga(MN)②减法：logaMlogaNlogaMlogaMn(nR)④alogaNN
③数乘：nloga
⑤logabMnnlogbNlogaM(b0,nR)⑥换底公式：logaN(b0,且b1)blogba【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数函数名称定义函数对数函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数0a11xa1y图象x1ylogaxyylogax(1,0)O(1,0)xOx定义域值域过定点奇偶性单调性在(0,)上是增函数(0,)R图象过定点(1,0)，即当x1时，y0．非奇非偶在(0,)上是减函数logax0(x1)函数值的变化情况logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a变化对图象的影响(6)反函数的概念
设函数果对于子x在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如
y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式
(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，
习惯上改写成
yf1(x)．
（7）反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将xyf(x)中反解出xf1(y)；
f1(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域．
（8）反函数的性质①原函数
②函数
yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称．
yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域．
③若P(a,b)在原函数④一般地，函数
yf(x)的图象上，则P"(b,a)在反函数yf1(x)的图象上．
yf(x)要有反函数则它必须为单调函数．
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义一般地，函数
yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．
（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函数
的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与
y轴．
④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qpq（其中p,q互pqp质，p和qZ），若是偶函数，若
p为奇数q为奇数时，则yxqp是奇函数，若
p为奇数q为偶数时，则yxp为偶数q为奇数时，则yx是非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数
yx,x(0,)，当1时，若0x1，其图象在直线yx下方，若
x1，其图象在直线yx上方，当1时，若0x1，其图象在直线yx上方，若x1，
其图象在直线
yx下方．
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