复变函数 部分内容的总结与习题
基本的幂级数展开式：11zz2zn(z1)1zz2zne1z(z)
2!n!zz3z2n1nsinzz(1)(z)
3!(2n1)!2nz2nzcosz1(1)(z)2!(2n)!幂级数的重要性质：逐项求导
设f(z)01(zz0)2(zz0)2n(zz0)n则f(z)122(zz0)nn(zz0)n1
应用：从已知函数的幂级数展开式求它的导数的幂级数展开式，例如，
112n112z3znz2(1z)1z求函数在指定点z0幂级数展开式:1.2.
1，z0b，abza1，z0b，ab2(za)(zb)33.，z0b，ab
za4.
zziizzi，提示：0z22z1(z1)2(z1)2z22z1zz21，z01提示：
(z1)(z2)(z1)(z2)z2z15.6.
1，z012z1
洛朗级数展开式{"Error":{"code":"8","Message":"badrequest","LogId":"1084180571"}}6.
1，0z22z(z2)1z(z2)37.
z0注意：在R1zR2内展开的结果必须是zz0的正幂或负幂的和，即具有n，0z22(zz)形式。nn08.
1，0z222z(z2)9.
10z21
(z1)2(z2)10.求下列函数在孤立奇点的去心邻域内的洛朗展式：
ze，(z1)e，ze21z21z21z1111，(z1)e，z2sin，z2sin，(z1)2sin，
zz1z21z1111，(z1)2cos，(z22z)cosz2cos，z2coszz1zz
复变函数的积分
一、不解析函数的积分
利用曲线的参数方程，化成定积分计算。
起点是a，终点是b的直线段的参数方程:z(t)(1t)atb，0t1圆zar的参数方程：z(t)areit，0t2圆zr的参数方程：z(t)reit，0t2
设C是起点是1i，终点是23i的直线段或圆z1，计算1.2.3.4.
xdz，即Rezdz，
CCCydz，即Imzdz
Czdz
C(xiyC2)dz
二、解析函数在不闭合曲线上的积分，用原函数上下限计算，也可用参数方程化
定积分计算。1.
2iicoszdz
2.设C是圆z1从1到1反时针方向。z（11），lnz（ln10)是去掉原点和正实轴的复平面内的单值解析函数分支，计算
Czdz，lnzdz
C三、解析函数在闭合曲线上的积分，用留数计算，等于曲线所围成的区域内所有奇点的留数之和乘以2i。1.
z1z1dz3z(z4)e6z2.2dz
z16z5z13.
z21zdz2sinz221z4.
z1(1zz)edz
无穷限广义积分的计算
一、有理函数，分母在实轴上不等于0，分母比分子至少高二次，从到
积分，等于上半平面奇点的留数之和乘以2i。1.
x(x21)(x22x2)dx
2.01x2dx41x二、在实轴上没有零点的有理函数和三角函数的乘积公式当f(x)是偶函数时，f(x)cosxdxf(x)eixdx，
当f(x)是奇函数时，f(x)sinxdxif(x)eixdx
f(x)eixdx等于f(z)eiz在上半平面奇点的留数之和乘以2i。
xcosxx22x10dxxsinx2.dx
0x29
保形映射
1.映射的保角性指的是什么？什么映射具有保角性？
1.2.为什么分式线性函数具有保角性？
3.如果一个保形映射把ABC映射成FDE，那么BC映射成FDE的哪条边？BA映射成FDE的哪条边？
CED3030BAF
单叶（即一对一）解析函数的重要性质：
把区域映射成区域，区域的边界映射成边界。
要确定映射成什么区域，首先确定它的边界映射成什么曲线了。区域映射成曲线的内或外，或左，或右。
问题：
z1一、对于w，回答以下问题。
z11.把实轴映射成什么？2.把实轴上[1,1]映射成什么？3.把实轴上[,1]映射成什么？4.把实轴上[1,]映射成什么？5.把z1映射成什么？6.把z1映射成什么？7.把z1映射成什么？
8.把半圆z1,Imz0映射成什么？9.把半圆z1,Imz0映射成什么？
10.把上半平面圆的外部区域z1,Imz0映射成什么？11.把虚轴Rez0映射成什么？
z1二、对于w，回答以下问题。
zi1.把实轴映射成什么？2.把虚轴映射成什么？3.把z1映射成什么？辐角
●下面的条件分别表示什么集合？
argz0，argz，argz4，arg(zi)4，arg(zi)5，0argz44，0argz，0argz2
4●求值（写出实部、虚部）
0arg(zi)1i111i2i2i23i(13i)，(13i)/，esin(2i)，ecos(2i)，Lne，
22111212Ln(33i)
●求ez把区域映射成什么区域，就是求ez的模和辐角的取值范围；●求lnz把区域映射成什么区域，就是求lnz的实部和虚部的取值范围；
●下面的函数在什么点有导数？求出导数。
2z1，zn，zz，x2yi(y2x)z2●求z(t)对t的导数。
z(t)eit，z(t)t2it3
●设lnz（ln10）是Lnz的一个解析分支，问ln(1i)可能的两个值是什么？●设lnz（ln12i）是Lnz的一个解析分支，问ln(1i)可能的两个值是什么？
提示：两种割线
扩展阅读：关于复变函数积分求解总结
关于求积分的各种方法的总结
摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是其基础部分，因此有必要总结归纳求积分的各种方法.其主要方法有：利用柯西积分定理，柯西积分公式和用留数定理求积分等方法.现将这些方法逐一介绍.关键词：积分，解析，函数，曲线
1.利用定义求积分
例1、计算积分xyix2dz，积分路径C是连接由0到1i的直线段.
c解：yx0x1为从点0到点1i的直线方程，于是
xyixdz2cxyixdxiy
201ixxixdxix
201*011iixdx1i3.
2.利用柯西积分定理求积分
柯西积分定理：设fz在单连通区域
D内解析，C为D内任一条周线，则
fzdzc0.
D柯西积分定理的等价形式：设C是一条周线，
DDC上解析，则fzdz0.
c为C之内部，fz在闭域
例2、求coszzidz，其中C为圆周z3i1，
c解：圆周C为z3z1，被积函数的奇点为i，在C的外部，
于是，
coszzi在以C为边界的闭圆z3i1上解析，
coszzidz0.
故由柯西积分定理的等价形式得c如果D为多连通区域，有如下定理：
设D是由复周线CC0C1C2Cn所构成的有界多连通区域，fz在D内解析，在DDC上连续，则fzdz0.
c例3.计算积分dzz16z3z1.
1分析：被积函数Fzz3z1在C上共有两个奇点z0和z，在z1内
31作两个充分小圆周，将两个奇点挖掉，新区域的新边界就构成一个复周线，可应用上定理.
解：显然，
1z3z11z33z1
为心，充分小半径r16任作以z0与以z12:zr313的圆周1:zr及
，将二奇点挖去，新边界构成复周线C12C:z1.
dzz3z1z1z3z12dz
12z3z1z3z1
1dzdzdzz13dz3z11dzz2z3dz3z12
dzdzz1dz1z31dz221z3
0.3.利用柯西积分公式求积分
设区域D的边界是周线或复周线C，函数fz在D内解析，在DDC上连续，则有fz12icfz2dzD，即fcd2ifz.
z例4.计算积分2zz1z1cdz的值，其中C:z2
解：因为fz2z2z1在z2上解析，
z1z2，由柯西积分公式得2zz1z22z12dz2i2zz1.
设区域D的边界是周线或复周线C，函数fz在D内解析，在DDC上连续，则函数fz在区域D内有各阶导数，并且有fnzdn12iczn!fzDn1,2即c例5.计算积分coszdzdn1zf2in!fnz.
czi3，其中C是绕i一周的周线.
解：因为cosz在z平面上解析，
所以e1coszczii.
dz32i2!cosz|ziicosi
e2例6.求积分c921d，其中C为圆周2.
解：
c921didc92
5另外,若a为周线C内部一点，则dzdz2icza
zacn0（n1，且n为整数）.
4.应用留数定理求复积分
fz在复周线或周线C所围的区域D内，除a1,a2,an外解析，在闭域DDC上除a1,a2,an外连续，则fzdz2iResfz.
ck1zakn设a为fz的n阶极点，fzzzan，其中z在点a解析，a0，则
Resfzzaa.
n1!5z2z2n1例7.计算积分zz12dz
解：被积函数fz5z2zz12在圆周z2的内部只有一阶极点z0及z1，
Resfzz05z2z22|z02
25z2Resfz||2z12z1z1zz因此，由留数定理可得
5z2z2zz12dz2i220.
例8.计算积分解：fzz13coszz1z3dz.
cosz只以z0为三阶极点，
12Resfzz02!coszz0
由留数定理得coszz1z31dz2ii.
25.用留数定理计算实积分
某些实的定积分可应用留数定理进行计算，尤其是对原函数不易直接求得的定积分和反常积分，常是一个有效的办法，其要点是将它划归为复变函数的周线积分.5.1计算Rcos,sind型积分
02令ze，则cos2izz21，sinzz2i1，ddziz，
此时有0zz1zz1,Rcos,sindRz122idziz.例9.2dacos0a1
12解：令zei，则cosI2izz，d1dziz，
zzz1dz，其中aa21，aa21，
1,1,1，
应用留数定理得I2a12.
若Rcos,sin为的偶函数，则Rcos,sind之值亦可用上述方法求之，
0因为此时Rcos,sind01Rcos,sind，仍然令ze.2i例10.计算taniad（a为实数且a0）
0分析：因为tania1eie2iai2iai11，
直接令e2iaiz，则dze2iai2id，
于是tania解：I11z1iz1.
iz12izcz11dz1dz2zz1cz1应用留数定理，当a0时，Ii当a0时，Ii.5.2计算PxQxdx型积分
例11.计算xdx423xz24.
23424解：函数fz2323z在上半平面内只有zi一个四阶极点，
令ia，zat则fzz3444z4223z44
zaza
ta44443tt2a144a4at6at4att4322343223343t16a32a24at8att
211tt4423t168a32aResfzza1332a43
i5766即Resfzz23i133242i33
故xdx423x242ii57662886.
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