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复变函数 部分内容的总结与习题

时间:2019-05-29 15:58:31 网站:公文素材库

复变函数 部分内容的总结与习题

基本的幂级数展开式:11zz2zn(z1)1zz2zne1z(z)

2!n!zz3z2n1nsinzz(1)(z)

3!(2n1)!2nz2nzcosz1(1)(z)2!(2n)!幂级数的重要性质:逐项求导

设f(z)01(zz0)2(zz0)2n(zz0)n则f(z)122(zz0)nn(zz0)n1

应用:从已知函数的幂级数展开式求它的导数的幂级数展开式,例如,

112n112z3znz2(1z)1z求函数在指定点z0幂级数展开式:1.2.

1,z0b,abza1,z0b,ab2(za)(zb)33.,z0b,ab

za4.

zziizzi,提示:0z22z1(z1)2(z1)2z22z1zz21,z01提示:

(z1)(z2)(z1)(z2)z2z15.6.

1,z012z1

洛朗级数展开式{"Error":{"code":"8","Message":"badrequest","LogId":"1084180571"}}6.

1,0z22z(z2)1z(z2)37.

z0注意:在R1zR2内展开的结果必须是zz0的正幂或负幂的和,即具有n,0z22(zz)形式。nn08.

1,0z222z(z2)9.

10z21

(z1)2(z2)10.求下列函数在孤立奇点的去心邻域内的洛朗展式:

ze,(z1)e,ze21z21z21z1111,(z1)e,z2sin,z2sin,(z1)2sin,

zz1z21z1111,(z1)2cos,(z22z)cosz2cos,z2coszz1zz

复变函数的积分

一、不解析函数的积分

利用曲线的参数方程,化成定积分计算。

起点是a,终点是b的直线段的参数方程:z(t)(1t)atb,0t1圆zar的参数方程:z(t)areit,0t2圆zr的参数方程:z(t)reit,0t2

设C是起点是1i,终点是23i的直线段或圆z1,计算1.2.3.4.

xdz,即Rezdz,

CCCydz,即Imzdz

Czdz

C(xiyC2)dz

二、解析函数在不闭合曲线上的积分,用原函数上下限计算,也可用参数方程化

定积分计算。1.

2iicoszdz

2.设C是圆z1从1到1反时针方向。z(11),lnz(ln10)是去掉原点和正实轴的复平面内的单值解析函数分支,计算

Czdz,lnzdz

C三、解析函数在闭合曲线上的积分,用留数计算,等于曲线所围成的区域内所有奇点的留数之和乘以2i。1.

z1z1dz3z(z4)e6z2.2dz

z16z5z13.

z21zdz2sinz221z4.

z1(1zz)edz

无穷限广义积分的计算

一、有理函数,分母在实轴上不等于0,分母比分子至少高二次,从到

积分,等于上半平面奇点的留数之和乘以2i。1.

x(x21)(x22x2)dx

2.

01x2dx41x二、在实轴上没有零点的有理函数和三角函数的乘积公式当f(x)是偶函数时,f(x)cosxdxf(x)eixdx,

当f(x)是奇函数时,f(x)sinxdxif(x)eixdx

f(x)eixdx等于f(z)eiz在上半平面奇点的留数之和乘以2i。

xcosxx22x10dxxsinx2.dx

0x29

保形映射

1.映射的保角性指的是什么?什么映射具有保角性?

1.2.为什么分式线性函数具有保角性?

3.如果一个保形映射把ABC映射成FDE,那么BC映射成FDE的哪条边?BA映射成FDE的哪条边?

C

ED3030BAF

单叶(即一对一)解析函数的重要性质:

把区域映射成区域,区域的边界映射成边界。

要确定映射成什么区域,首先确定它的边界映射成什么曲线了。区域映射成曲线的内或外,或左,或右。

问题:

z1一、对于w,回答以下问题。

z11.把实轴映射成什么?2.把实轴上[1,1]映射成什么?3.把实轴上[,1]映射成什么?4.把实轴上[1,]映射成什么?5.把z1映射成什么?6.把z1映射成什么?7.把z1映射成什么?

8.把半圆z1,Imz0映射成什么?9.把半圆z1,Imz0映射成什么?

10.把上半平面圆的外部区域z1,Imz0映射成什么?11.把虚轴Rez0映射成什么?

z1二、对于w,回答以下问题。

zi1.把实轴映射成什么?2.把虚轴映射成什么?3.把z1映射成什么?辐角

●下面的条件分别表示什么集合?

argz0,argz,argz4,arg(zi)4,arg(zi)5,0argz44,0argz,0argz2

4●求值(写出实部、虚部)

0arg(zi)1i111i2i2i23i(13i),(13i)/,esin(2i),ecos(2i),Lne,

22111212Ln(33i)

●求ez把区域映射成什么区域,就是求ez的模和辐角的取值范围;●求lnz把区域映射成什么区域,就是求lnz的实部和虚部的取值范围;

●下面的函数在什么点有导数?求出导数。

2z1,zn,zz,x2yi(y2x)z2●求z(t)对t的导数。

z(t)eit,z(t)t2it3

●设lnz(ln10)是Lnz的一个解析分支,问ln(1i)可能的两个值是什么?●设lnz(ln12i)是Lnz的一个解析分支,问ln(1i)可能的两个值是什么?

提示:两种割线

扩展阅读:关于复变函数积分求解总结

关于求积分的各种方法的总结

摘要:函数的积分问题是复变函数轮的主要内容,也是其基础部分,因此有必要总结归纳求积分的各种方法.其主要方法有:利用柯西积分定理,柯西积分公式和用留数定理求积分等方法.现将这些方法逐一介绍.关键词:积分,解析,函数,曲线

1.利用定义求积分

例1、计算积分xyix2dz,积分路径C是连接由0到1i的直线段.

c解:yx0x1为从点0到点1i的直线方程,于是

xyixdz2cxyixdxiy

201ixxixdxix

201*011iixdx1i3.

2.利用柯西积分定理求积分

柯西积分定理:设fz在单连通区域

D内解析,C为D内任一条周线,则

fzdzc0.

D柯西积分定理的等价形式:设C是一条周线,

DDC上解析,则fzdz0.

c为C之内部,fz在闭域

例2、求coszzidz,其中C为圆周z3i1,

c解:圆周C为z3z1,被积函数的奇点为i,在C的外部,

于是,

coszzi在以C为边界的闭圆z3i1上解析,

coszzidz0.

故由柯西积分定理的等价形式得c如果D为多连通区域,有如下定理:

设D是由复周线CC0C1C2Cn所构成的有界多连通区域,fz在D内解析,在DDC上连续,则fzdz0.

c例3.计算积分dzz16z3z1.

1分析:被积函数Fzz3z1在C上共有两个奇点z0和z,在z1内

31作两个充分小圆周,将两个奇点挖掉,新区域的新边界就构成一个复周线,可应用上定理.

解:显然,

1z3z11z33z1

为心,充分小半径r16任作以z0与以z12:zr313的圆周1:zr及

,将二奇点挖去,新边界构成复周线C12C:z1.

dzz3z1z1z3z12dz

12z3z1z3z1

1dzdzdzz13dz3z11dzz2z3dz3z12

dzdzz1dz1z31dz221z3

0.

3.利用柯西积分公式求积分

设区域D的边界是周线或复周线C,函数fz在D内解析,在DDC上连续,则有fz12icfz2dzD,即fcd2ifz.

z例4.计算积分2zz1z1cdz的值,其中C:z2

解:因为fz2z2z1在z2上解析,

z1z2,由柯西积分公式得2zz1z22z12dz2i2zz1.

设区域D的边界是周线或复周线C,函数fz在D内解析,在DDC上连续,则函数fz在区域D内有各阶导数,并且有fnzdn12iczn!fzDn1,2即c例5.计算积分coszdzdn1zf2in!fnz.

czi3,其中C是绕i一周的周线.

解:因为cosz在z平面上解析,

所以e1coszczii.

dz32i2!cosz|ziicosi

e2例6.求积分c921d,其中C为圆周2.

解:

c921didc92

5

另外,若a为周线C内部一点,则dzdz2icza

zacn0(n1,且n为整数).

4.应用留数定理求复积分

fz在复周线或周线C所围的区域D内,除a1,a2,an外解析,在闭域DDC上除a1,a2,an外连续,则fzdz2iResfz.

ck1zakn设a为fz的n阶极点,fzzzan,其中z在点a解析,a0,则

Resfzzaa.

n1!5z2z2n1例7.计算积分zz12dz

解:被积函数fz5z2zz12在圆周z2的内部只有一阶极点z0及z1,

Resfzz05z2z22|z02

25z2Resfz||2z12z1z1zz因此,由留数定理可得

5z2z2zz12dz2i220.

例8.计算积分解:fzz13coszz1z3dz.

cosz只以z0为三阶极点,

12Resfzz02!coszz0

由留数定理得coszz1z31dz2ii.

25.用留数定理计算实积分

某些实的定积分可应用留数定理进行计算,尤其是对原函数不易直接求得的定积分和反常积分,常是一个有效的办法,其要点是将它划归为复变函数的周线积分.5.1计算Rcos,sind型积分

02令ze,则cos2izz21,sinzz2i1,ddziz,

此时有0zz1zz1,Rcos,sindRz122idziz.例9.2dacos0a1

12解:令zei,则cosI2izz,d1dziz,

zzz1dz,其中aa21,aa21,

1,1,1,

应用留数定理得I2a12.

若Rcos,sin为的偶函数,则Rcos,sind之值亦可用上述方法求之,

0因为此时Rcos,sind01Rcos,sind,仍然令ze.2i例10.计算taniad(a为实数且a0)

0分析:因为tania1eie2iai2iai11,

直接令e2iaiz,则dze2iai2id,

于是tania解:I11z1iz1.

iz12izcz11dz1dz2zz1cz1应用留数定理,当a0时,Ii当a0时,Ii.5.2计算PxQxdx型积分

例11.计算xdx423xz24.

23424解:函数fz2323z在上半平面内只有zi一个四阶极点,

令ia,zat则fzz3444z4223z44

zaza

ta44443tt2a144a4at6at4att4322343223343t16a32a24at8att

211tt4423t168a32aResfzza1332a43

i5766即Resfzz23i133242i33

xdx423x242ii57662886.

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