高中数学必修5知识点总结

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（一）解三角形：

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，，则有a(R为C的外接圆的半径)

2、正弦定理的变形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin④

sinbc2RsinsinCab，sin，sinCc；③a:b:csin:sin:sinC；2R2R2Rabcabc．

sinsinsinCsinsinsinC2223、三角形面积公式：SC1bcsin1absinC1acsin．

2b2c2a24、余弦定理：在C中，有abc2bccos，余弦定理的推论：cos

2bc22a2c2b2bac2accoscos

2ac222a2b2c2cab2abcosCcosC

2ab222（二）数列：1.数列的有关概念：

（1）数列：按照一定次序排列的一列数。数列是有序的。数列是定义在自然数N*或它的有限子集

{1,2,3,,n}上的函数。

（2）通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示，这个公式即是该数列的通项公式。如:an2n21。

（3）递推公式：已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与他的前一项an-1（或前几项）可

以用一个公式来表示，这个公式即是该数列的递推公式。如:a11,a22,anan1an2(n2)。

2．数列的表示方法：

（1）列举法：如1，3，5，7，9，…（2）图象法：用（n,an）孤立点表示。

（3）解析法：用通项公式表示。（4）递推法：用递推公式表示。3．数列的分类：

常数列:an2有穷数列n递增数列:an2n1,an2按项数按单调性无穷数列递减数列:ann21

摆动数列:a(1)n2nn4．数列{an}及前n项和之间的关系:

S1,(n1)Sna1a2a3ananSS,(n2)n1n5．等差数列与等比数列对比小结：等差数列一、定义二、公式等比数列anq(n2)an1anan1d(n2)1．ana1n1d1．ana1qnanamnmd,nm2．Snanamqnm,(nm)2．na1q1Sna11qnaaqn1q11q1qnn1na1anna1d221．a,b,c成等差2bac，称b为a与c的等差中项1．a,b,c成等比b2ac，称b为a与c的等比中项三、性质2．若mnpq（m、，2．若mnpq（m、，q*）n、p、n、p、q*）则amanapaq则amanapaq3．Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列3．Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列（三）不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

2、不等式的性质：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0anbnn,n1；

⑧ab0nanbn,n1．

小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积（商）、判断、结论。在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。3、一元二次不等式解法：

（1）化成标准式：ax2bxc0,(a0)；（2）求出对应的一元二次方程的根；（3）画出对应的二次函数的图象；（4）根据不等号方向取出相应的解集。二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式b4ac二次函数201*yax2bxca0的图象一元二次方程axbx2有两个相异实数根有两个相等实数根c0a0的根bx1,2x1x22abx1x22a没有实数根ax2bxc0一元二次不等式的解集a0ax2bxc0xxx1或xx2xxxx2bxx2aRa04.线性规划问题：

11）了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解

2）线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．3）解线性规划实际问题的步骤：

（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；（4）验证。两类主要的目标函数的几何意义:

①zaxby-----直线的截距；②z(xa)2(yb)2-----两点的距离或圆的半径；③z的斜率

2abab4、均值定理：若a0，b0，则ab2ab，即ab．aba0,b0；22yb-----两点xaab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数．25、均值定理的应用：设x、y都为正数，则有

s2⑴若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值．

4⑵若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p．注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。1．在C中，a1,bA．

3,A6，则∠B等于（）

C．

3B．

2或

335或

66D．

232．（江苏）在△ＡＢＣ中，已知ｃ＝１０，Ａ＝４５°，Ｃ＝３０°，则ｂ=5(62)（正弦定理）

3.10-11的1,15题；11-12中的12,16题；模拟1中的8,13,15题，模拟2中的1,6,11,15题4．（江苏）已知正数x,y满足x2y1，则

11的最小值为322（提示：1用x2y表示）xy5.10-11的第3、7、14、17题；11-12的第4、8、17题6.四张试卷中的选择填空中的数列题目

S1,(n1)7.an的应用：

SS,(n2)n1n在数列{an}中，Sn14an2,a11；（1）设bnan12an，求证数列{bn}是等比数列；（2）设cnan，求证：数列{cn}是等差数列；2n（3）求数列{an}的通项公式已知数列{an}中，Snn22n，求数列{an}的通项公式8.分组求和法：数列1111,2,3,4,5,,nn,的前n项之和等于21111n(n1)1Sn(123n)(23n)1n222222裂项求和法：模拟1中的18题（2）问：数列bn,bn1的前n项之和为2n(2n2)Sn1111111111111n()2446682n(2n2)22446682n2n24n41111()(kN*)n(nk)knnk裂项公式错位相减法求和：数列an,ann2n1的前n项之和为Sn120221322423n2n12Sn121222323424n2nSn122222Sn12nn2n0123n112nnn2n212n

扩展阅读：高一数学知识点总结--必修5

高中数学必修5知识点

第一章：解三角形

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有

asinbsina2RcsinC2R．

2、正弦定理的变形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

②sin，sinb2R，sinCc2R；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中）

③a:b:csin:sin:sinC；④

abcsinsinsinCsinsinsinC111bcsinabsinCacsin．222abc．

3、三角形面积公式：SC4、余定理：在C中，有a2b2c22bccos，b2a2c22accos，

cab2abcosC．

2225、余弦定理的推论：cosbca2bc222，cosacb2ac222，cosCabc2ab222．

6、设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若a2b2c2，则C90为直角三角形；

②若a2b2c2，则C90为锐角三角形；③若a2b2c2，则C90为钝角三角形．

第二章：数列

1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．

3、有穷数列：项数有限的数列．

4、无穷数列：项数无限的数列．

5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．

7、常数列：各项相等的数列．

8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．9、数列的通项公式：表示数列an的第n项与序号n之间的关系的公式．

10、数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系的公式．

11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个

常数称为等差数列的公差．

12、由三个数a，，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为a与b的等差中项．若

bac2，则称b为a与c的等差中项．

13、若等差数列an的首项是a1，公差是d，则ana1n1d．

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通项公式的变形：①anamnmd；②a1ann1d；③d⑤danamnmana1n1；④nana1d1；

．

14、若an是等差数列，且mnpq（m、n、p、q*），则amanapaq；若an是等差

数列，且2npq（n、p、q*），则2anapaq；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续m项和构成的数列成等差数列。15、等差数列的前n项和的公式：①Snna1an2；②Snna1nn12d．

16、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2nn*，则S2nnanan1，且S偶S奇nd，

S奇S偶anan1．②若项数为2n1n*，则S2n12n1an，且S奇S偶an，

S奇S偶nn1（其中

S奇nan，S偶n1an）．

17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个

常数称为等比数列的公比．

18、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若G2ab，则

称G为a与b的等比中项．

n119、若等比数列an的首项是a1，公比是q，则ana1q．

nm20、通项公式的变形：①anamq；②a1anqn1；③qn1ana1；④qnmanam．

*21、若an是等比数列，且mnpq（m、n、p、q），则amanapaq；若an是等比数

*列，且2npq（n、p、q），则anapaq；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续m

2项和构成的数列成等比数列。

na1q122、等比数列an的前n项和的公式：Sna11qnaaq．

1nq11q1qq1时，Sna11qa11qq，即常数项与q项系数互为相反数。

nn23、等比数列的前n项和的性质：①若项数为2nn*，则SS偶奇q．

n②SnmSnqSm．③Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列．

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24、an与Sn的关系：anSnSn1S1n2n1

一些方法：

一、求通项公式的方法：

1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法

①若相邻两项相减后为同一个常数设为anknb，列两个方程求解；

②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为anan2bnc，列三个方程求解；③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为anaq2、由递推公式求通项公式：

①若化简后为an1and形式，可用等差数列的通项公式代入求解；②若化简后为an1anf(n),形式，可用叠加法求解；

③若化简后为an1anq形式，可用等比数列的通项公式代入求解；

④若化简后为an1kanb形式，则可化为(an1x)k(anx)，从而新数列{anx}是等比数列，用等比数列求解{anx}的通项公式，再反过来求原来那个。（其中x是用待定系数法来求得）3、由求和公式求通项公式：

①a1S1②anSnSn1③检验a1是否满足an，若满足则为an，不满足用分段函数写。4、其他

（1）anan1fn形式，fn便于求和，方法：迭加；

例如：anan1n1有：anan1n1a2a13a3a24anan1n1各式相加得ana134n1a1nb，q为相除后的常数，列两个方程求解；

n4n1（2）anan12anan1形式，同除以anan1，构造倒数为等差数列；

anan1anan121an1例如：anan12anan1，则

1，即为以-2为公差的等差数列。anan1（3）anqan1m形式，q1，方法：构造：anxqan1x为等比数列；

例如：an2an12，通过待定系数法求得：an22an12，即an2等比，公比为2。（4）anqan1pnr形式：构造：anxnyqan1xn1y为等比数列；

nn（5）anqan1p形式，同除p，转化为上面的几种情况进行构造；

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因为anqan1pn，则

anpnqan1ppn11，若

qp1转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）的方

法

二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）

①若②若ak0，则Sn有最大值，当n=k时取到的最大值k满足d0a0k1a10a10ak0，则Sn有最小值，当n=k时取到的最大值k满足d0a0k1三、数列求和的方法：

①叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；

②错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：an2n13；

n③分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：an1nn11n1n1，an12n12n1111等；

22n12n1④一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：

an2n1等；

n四、综合性问题中

①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为ad和ad类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差；②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为aq和aq类型，这样可以相乘约掉。

第三章：不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。

2、不等式的性质：①abba；②ab,bcac；③abacbc；

④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0ab⑧ab0nnnn,n1；

anbn,n1．

3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．

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4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

判别式b4ac

201*

二次函数yaxbxc

2a0的图象

有两个相异实数根

一元二次方程axbxc0

2

有两个相等实数根

a0的根

axbxc0

一元二次不等式的解集

2x1,2b2a

x1x2b2a

没有实数根

x1x2

a0

axbxc0

2xxx1或xx2

bxx

2aRa0

xx1xx2

5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y，所有这样的有序数对x,y构成的集合．

8、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0，坐标平面内的点x0,y0．

①若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方．②若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的下方．

9、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0．

①若0，则xyC0表示直线xyC0上方的区域；xyC0表示直线

xyC0下方的区域．

②若0，则xyC0表示直线xyC0下方的区域；xyC0表示直线

xyC0上方的区域．

10、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件．

目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式．线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．可行解：满足线性约束条件的解x,y．

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可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．11、设a、b是两个正数，则

ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数．

212、均值不等式定理：若a0，b0，则ab2ab，即ab2ab．

13、常用的基本不等式：

①a2b22aba,bR；

22②abab2a,bR；

③abab2a2b2ab22a0,b0；④22a,bR．

14、极值定理：设x、y都为正数，则有

s（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值s2⑴若xy．4⑵若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p．

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