第一篇:怎样证明弦切角
怎样证明弦切角
设圆心为o,连接oc,ob,oa。过点a作tp的平行线交bc于d,
则∠tcb=∠cda
∵∠tcb=90-∠ocd
∵∠boc=180-2∠ocd
∴,∠boc=2∠tcb(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半)
∵∠boc=2∠cab
∴∠tcb=∠cab(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)
2
接oboc过o做oe⊥bc
所以∠a=1/2
又因为∠oct=90°
∠oec=90°
所以∠eoc=∠tcb
所以∠tcb=∠a
3
温馨提示
设切点为a切线ab弦ac圆心为o过a作直径ad连oc
角cab等于90度减角dac
因为oa等于oc所以角aoc等于180度减去二倍的角dac
即可证明角aoc等于二倍的角cab
参考资料:弦切角是这弦所对的圆心角的一半
4
线段ad与线段ef互相垂直平分。
证明:设ad交ef于点g.
因为ap为切线,所以弦切角等于所对的圆周角,即∠pac=∠b,
又因为ad平分∠bac,所以∠dac=∠bad,
从而∠pac+∠dac=∠b+∠bad,
而∠pac+∠dac=∠pad,
∠b+∠bad=∠pda,所以
∠pad=∠pda,则△pad为等腰三角形,
因pm平分∠apd,所以pm垂直平分ad,则ef垂直平分ad,
从而ad垂直ef,
则∠age=∠agf=90°,
再由∠gaf=∠gae,得到
△eag≌△fag,
从而eg=fg,从而ad也垂直平分ef。
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(1)圆心o在∠bac的一边ac上
∵ac为直径,ab切⊙o于a,
∴弧cma=弧ca
∵为半圆,
∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.
过a作直径ad交⊙o于d,
若在优弧m所对的劣弧上有一点e
那么,连接ec、ed、ea
则有:∠ced=∠cad、∠dea=∠dab
∴∠cea=∠cab
∴(弦切角定理)
(3)圆心o在∠bac的外部,
过a作直径ad交⊙o于d
那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90
∴∠cda=∠cab
∴(弦切角定理)
编辑本段弦切角推论
推论内容
若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等
应用举例
例1:如图,在rt△abc中,∠c=90,以ab为弦的⊙o与ac相切于点a,∠cba=60°,ab=a求bc长.
解:连结oa,ob.
∵在rt△abc中,∠c=90
∴∠bac=30°
∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)
例2:如图,ad是δabc中∠bac的平分线,经过点a的⊙o与bc切于点d,与ab,ac分别相交于e,f.
求证:ef∥bc.
证明:连df.
ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac
∠efd=∠bad
∠efd=∠dac
⊙o切bc于d∠fdc=∠dac
∠efd=∠fdc
ef∥bc
第二篇:弦切角的逆定理的证明
弦切角逆定理证明
已知角cae=角abc,求证ae是圆o的切线
证明:连接ao并延长交圆o于d,连接cd,
则角adc=角abc=角cae
而ad是直径,因此角acd=90度,所以角dac=90度-角adc=90度-角cae
所以角dae=角dac+角cae=90度
故ae为切线
第三篇:弦切角定理证明
弦切角定理证明
弦切角定理
编辑本段弦切角定义
顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角)
如右图所示,直线pt切圆o于点c,bc、ac为圆o的弦,∠tcb,∠tca,∠pca,∠pcb都为弦切角。
编辑本段弦切角定理
弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明:
证明一:设圆心为o,连接oc,ob,。
∵∠tcb=90-∠ocb
∵∠boc=180-2∠ocb
∴,∠boc=2∠tcb(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)
∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)
∴∠tcb=∠cab(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)
证明已知:ac是⊙o的弦,ab是⊙o的切线,a为切点,弧是弦切角∠bac所夹的弧.
求证:(弦切角定理)
证明:分三种情况:
(1)圆心o在∠bac的一边ac上
∵ac为直径,ab切⊙o于a,
∴弧cma=弧ca
∵为半圆,
∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.
过a作直径ad交⊙o于d,
若在优弧m所对的劣弧上有一点e
那么,连接ec、ed、ea
则有:∠ced=∠cad、∠dea=∠dab
∴∠cea=∠cab
∴(弦切角定理)
(3)圆心o在∠bac的外部,
过a作直径ad交⊙o于d
那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90
∴∠cda=∠cab
∴(弦切角定理)
编辑本段弦切角推论
推论内容
若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等
应用举例
例1:如图,在rt△abc中,∠c=90,以ab为弦的⊙o与ac相切于点a,∠cba=60°,ab=a求bc长.
解:连结oa,ob.
∵在rt△abc中,∠c=90
∴∠bac=30°
∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)
例2:如图,ad是δabc中∠bac的平分线,经过点a的⊙o与bc切于点d,与ab,ac分别相交于e,f.
求证:ef∥bc.
证明:连df.
ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac
∠efd=∠bad
∠efd=∠dac
⊙o切bc于d∠fdc=∠dac
∠efd=∠fdc
ef∥bc
例3:如图,δabc内接于⊙o,ab是⊙o直径,cd⊥ab于d,mn切⊙o于c,
求证:ac平分∠mcd,bc平分∠ncd.
证明:∵ab是⊙o直径
∴∠acb=90
∵cd⊥ab
∴∠acd=∠b,
∵mn切⊙o于c
∴∠mca=∠b,
∴∠mca=∠acd,
即ac平分∠mcd,
同理:bc平分∠ncd.
第四篇:弦切角定理的证明
弦切角定理的证明
弦切角定理:定义弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.(弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明
证明:设圆心为o,连接oc,ob,oa。过点a作tp的平行线交bc于d,
则∠tcb=∠cda
∵∠tcb=90-∠ocd
∵∠boc=180-2∠ocd
∴,∠boc=2∠tcb
证明:分三种情况:
(1)圆心o在∠bac的一边ac上
∵ac为直径,ab切⊙o于a,
∴弧cma=弧ca
∵为半圆,
(2)圆心o在∠bac的内部.
过a作直径ad交⊙o于d,
那么
.
(3)圆心o在∠bac的外部,
过a作直径ad交⊙o于d
那么
2
连接并延长to交圆o于点d,连接bd因为td为切线,所以td垂直tc,所以角btc+角dtb=90因为td为直径,所以角bdt+角dtb=90所以角btc=角bdt=角a
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编辑本段弦切角定义顶点在圆上,一边和圆相交,另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角)如右图所示,直线pt切圆o于点c,bc、ac为圆o的弦,∠tcb,∠tca,∠pca,∠pcb都为弦切角。编辑本段弦切角定理弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明:证明一:设圆心为o,连接oc,ob,。∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠tcb=∠cab(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)证明已知:a(更多请搜索:www.bsmz.net所对的劣弧上有一点e那么,连接ec、ed、ea则有:∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴(弦切角定理)(3)圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等应用举例例1:如图,在rt△abc中,∠c=90,以ab为弦的⊙o与ac相切于点a,∠cba=60°,ab=a求bc长.解:连结oa,ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)例2:如图,ad是δabc中∠bac的平分线,经过点a的⊙o与bc切于点d,与ab,ac分别相交于e,f.求证:ef∥bc.证明:连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3:如图,δabc内接于⊙o,ab是⊙o直径,cd⊥ab于d,mn切⊙o于c,求证:ac平分∠mcd,bc平分∠ncd.证明:∵ab是⊙o直径∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b,∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b,∴∠mca=∠acd,即ac平分∠mcd,同理:bc平分∠ncd.
第五篇:弦切角定理证明方法
弦切角定理证明方法
(1)连oc、oa,则有oc⊥cd于点c。得oc‖ad,知∠oca=∠cad。
而∠oca=∠oac,得∠cad=∠oac。进而有∠oac=∠bac。
由此可知,0a与ab重合,即ab为⊙o的直径。
(2)连接bc,且作ce⊥ab于点e。立即可得△abc为rt△,且∠acb=rt∠。
由射影定理有ac²=ae*ab。又∠cad=∠cae,ac公用,∠cda=∠cea,得△cea≌△cda,有ad=ae,所以,ac²=ab*ad。
第一题重新证明如下:
首先证明弦切角定理,即有∠acd=∠cba。
连接oa、oc、bc,则有
∠acd+∠aco=90°
=(1/2)(∠aco+∠cao+∠aoc)
=(1/2)(2∠aco+∠aoc)
=∠aco+(1/2)∠aoc,
所以∠acd=(1/2)∠aoc,
而∠cba=(1/2)∠aoc(同弧上的圆周角等于圆心角的一半),
得∠acd=∠cba。
另外,∠acd+∠cad=90°,∠cad=∠cab,
所以有∠cab+∠cba=90°,得∠bca=90°,进而ab为⊙o的直径。
2
证明一:设圆心为o,连接oc,ob,。
∵∠tcb=90-∠ocb
∵∠boc=180-2∠ocb
∴,∠boc=2∠tcb(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)
∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)
∴∠tcb=∠cab(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)
证明已知:ac是⊙o的弦,ab是⊙o的切线,a为切点,弧是弦切角∠bac所夹的弧.
求证:(弦切角定理)
证明:分三种情况:
(1)圆心o在∠bac的一边ac上
∵ac为直径,ab切⊙o于a,
∴弧cma=弧ca
∵为半圆,
∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.
过a作直径ad交⊙o于d,
若在优弧m所对的劣弧上有一点e
那么,连接ec、ed、ea
则有:∠ced=∠cad、∠dea=∠dab
∴∠cea=∠cab
∴(弦切角定理)
(3)圆心o在∠bac的外部,
过a作直径ad交⊙o于d
那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90
∴∠cda=∠cab
∴(弦切角定理)
编辑本段弦切角推论
推论内容
若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等
应用举例
例1:如图,在rt△abc中,∠c=90,以ab为弦的⊙o与ac相切于点a,∠cba=60°,ab=a求bc长.
解:连结oa,ob.
∵在rt△abc中,∠c=90
∴∠bac=30°
∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)
例2:如图,ad是δabc中∠bac的平分线,经过点a的⊙o与bc切于点d,与ab,ac分别相交于e,f.
求证:ef∥bc.
证明:连df.
ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac
∠efd=∠bad
∠efd=∠dac
⊙o切bc于d∠fdc=∠dac
∠efd=∠fdc
ef∥bc
例3:如图,δabc内接于⊙o,ab是⊙o直径,cd⊥ab于d,mn切⊙o于c,
求证:ac平分∠mcd,bc平分∠ncd.
证明:∵ab是⊙o直径
∴∠acb=90
∵cd⊥ab
∴∠acd=∠b,
∵mn切⊙o于c
∴∠mca=∠b,
∴∠mca=∠acd,
即ac平分∠mcd,
同理:bc平分∠ncd.
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