第一篇:怎么证明平行四边形
怎么证明平行四边形
在平行四边形abcd中,ae,cf,分别是∠dab、∠bcd的平分线,e、f点分别在dc、ab上,求证:四边形afce是平行四边形
证明:∵四边形abcd为平行四边形;
∴dc‖ab;
∴∠eaf=∠dea
∵ae,cf,分别是∠dab、∠bcd的平分线;
∴∠dae=∠eaf;∠ecf=∠bcf;
∴∠eaf=∠cfb;
∴ae‖cf;
∵ec‖af
∴四边形afce是平行四边形
1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形
2
1.画个圆,里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行,所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360,5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..
3判定(前提:在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注:仅以上五条为平行四边形的判定定理,并非所有真命题都为判定定理,希望各位读者不要随意更改。)(第五条对,如果对角相等,那么邻角之和的二倍等于360°,那么邻角之和等与180°,那么对边平行,(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等,两邻角互补。(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形。(7)对称中心是两对角线的交点。
1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形
第二篇:证明平行四边形
证明平行四边形
如图,分别以rt△abc的直角边ac及斜边ab向外作等边△acd、等边△abe。已知∠bac=30º,ef⊥ab,垂足为f,连结df。
求证:四边形adfe是平行四边形。
设bc=a,则依题意可得:ab=2a,ac=√3a,
等边△abe,ef⊥ab=>af=1/2ab=a,ae=2a,ef=√3a
∵∠daf=∠dac+∠cab=60°+30°=90°,ad=ac=√3a,∴df=√(ad²+af²)=2a
∴ae=df=2a,ef=ad=√3a=>四边形adfe是平行四边形
1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形
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1.画个圆,里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行,所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360,5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..
3判定(前提:在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注:仅以上五条为平行四边形的判定定理,并非所有真命题都为判定定理,希望各位读者不要随意更改。)(第五条对,如果对角相等,那么邻角之和的二倍等于360°,那么邻角之和等与180°,那么对边平行,(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等,两邻角互补。(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四(收藏好 范 文,请便下次访问www.bsmz.net,bc=4cm,求□ abcd 的周长。解:∵四边形abcd是平行四边形∴
3.连结ac,已知□abcd的周长等于20 cm, ac=7 cm,求△abc的周长。
c
b
a
四、小组合作探究:
证明:平行四边形的对角线互相平分
五.总结性质:
a d
d
b
c
六、巩固练习:
1.已知o是□ abcd的对角线交点,ac=10cm,bd=18cm
,ad=?12cm,则△boc?的周长是_______
2. 如图所示,平行四边形abcd的对角线相交于o点,且ab≠bc,过o点作oe⊥ac,交bc于e,如果△abe的周长为b,则平行四边形abcd的周长是()。
a. b b. 1.5bc. 2bd. 3b
ad
bec
七、学以致用:
证明:夹在两条平行线间的平行线段相等。
八、巩固练习:
1、已知:如图平行四边形abcd,e,f是直线bd上的两点,且∠e= ∠f。求证:ae=cfc
2、已知:如图,□abcd的对角线ac,bd相交于点o,过点o的直线与ad,bc分别相交
于点e,f. d 求证:oe=of.
b
f
九、自我检测:
1.在□abcd中,∠a= 50 ?,则∠°
2.如果□abcd中,∠a+∠c=240°,则∠°
3.如果□abcd的周长为28cm,且ab:bc=2∶5,那么,cm, cm,.
3、已知:如图,ac,bd是□abcd的两条对角线,且ae⊥bd,cf⊥bd,垂足分别为e,f,
求证:ae=cf.
b
十、能力提高: 4、已知:在□abcd中,点e,f在对角线ac上,且af=ce.
d
线段be与df之间有什么关系?请证明你的结论.
a
若去掉题设中的af=ce,请添加一个条件使be与df有以上同样的性质. b
第四篇:命题与证明 平行四边形 教案
《命题与证明》
1、 定义(一般地,能清楚地规定某一名称或术语意义的句子叫做该名称或术语的定义)
2、 命题(一般地,判断一件事情的句子叫做命题)命题是一个“判断句”,判断“是”或“非”.其中正确的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题,如“对顶角相等”是真命题,“相等的角是对顶角”是假命题.注意:(1)命题是语句,而且必须是能判断正确和错误的句子. (2)错误的命题也是命题.
过直线外一点做一条直线与已知直线垂直。
过直线外一点做一条直线,要么与已知直线相交,要么与已知直线平行。
3、每个命题是由条件(题设)和结论(题断)两部分组成.条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,命题常写成“如果……那么……”的形式.一般形式是“如果p,那么q”,其中用“如果”开始的部分是条件,用“那么”开始的部分是结论.(判断清楚哪些是条件,哪些是结论)
写成“如果,那么”的形式
①在同一个三角形中 等角对等边
②角平分线上的点到角两边的距离相等
③同角的余角相等
3、 公理、定理、推论
人们在长期实践中检验所得的真命题,并作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做公理.如“过两点有且只有一条直线”;“两点之间,线段最短”等等.有些命题的正确性是通过推理证实的,并被选定作为判定其它命题真假的依据,这样的真命题叫定理.由公理、定理直接得出的真命题叫做推论. 如 三角形内角和定理三角形的内角和等于180°.
推论1 直角三角形的两锐角互余.
推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论3 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
4、 证明真命题的方法
根据题设、定义、公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫证明.证明一个真命题一般按以下步骤进行:
(1)审题,分清命题的条件与结论.
(2)画图,依题意画出图形,画图时应做到图形正确且具有一般性,切忌将图形特殊化.
(3)写“已知”“求证”,按照图形,分析、探求解题思路,然后写出证明过程,证明的每一步都要做到叙述清楚,而且要有理有据.
5、 证明假命题的方法
证明一个命题是假命题,只需举一个“反例”即可,也就是举出一个符合命题的条件而不符合结论的例子. 用反证证明下列命题是假命题
有一条边、两个角相等的两个三角形全等
任何三条线段都能组成三角形
6、 重难点及归纳
①命题的理解:本节的一个难点是找出一个命题的题设和结论,它是后面证明中,书写已知求证的基础,对那些条件结论不明显的命题.应在学习中多练,必要时结合图形来区分.例如命题“如果两条直线和
第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行”,其中“两条直线和第三条直线平行”是条件,“这两条直线也平行”是结论.再如命题,“对顶角相等”,它的条件和结论不明显,应将它改成“如果两个角为对顶角,那么这两个角相等”,再指出条件和结论.
②定义、命题、公理和定理之间的联系与区别
这四者都是句子,都可以判断真假,即定义、公理和定理也是命题,不同的是定义、公理和定理都是真命题,都可以作为进一步判断其他命题真假的依据,只不过公理是最原始的依据,而命题不一定是真命题,因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据.
③证明真命题的方法和步骤,难点是分析证明思路,有条理地写出推理过程.
④三角形内角和定理的三个推论常用来求角的大小和进行角的比较.
7、 证明的思路: ①从已知出发,推出可能的结果,并与要证明的结论比较,直至推出最后的结果。②从
要证明的结论出发,探索要使结论成立,需要什么条件,并与已知条件对照,直到找到所需要的并且是已知的条件。
探索证明:在三角形的内角中,至少有一个角大于或等于60度
9、用反证法(证明的思路如何,苦李子的故事)
用反证法证明命题,一般有三个步骤:
反设 假设命题的结论不成立(即假设命题结论的反面成立)
归谬 推出矛盾(和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾,或者与假设所推出的任何一个已知相矛盾) 结论 从而得出命题结论正确。
例如用反证法证明:
在同一个平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
在三角形的内角中,至少有一个角大于或等于60度
例1两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两直线平行
已知:如图∠1=∠2a1b
求证:ab∥cd
证明:设ab与cd不平行c2d
那么它们必相交,设交点为md
这时,∠1是△ghm的外角a1
∴∠1>∠2g这与已知条件相矛盾2
∴ab与cd不平行的假设不能成立h
∴ab∥cdc
例2.求证两条直线相交只有一个交点
证明:假设两条直线相交有两个交点,那么这两条直线都经过相同的两个点,这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾,所以假设不能成立,因此两条直线相交只有一个交点。
(从以上两例看出,证明中的三个步骤,最关键的是第二步——推出矛盾。但有的题目,第一步“反设”也要认真对待)。
例3.已知:m2是3的倍数,求证:m 也是3的倍数
例4.求证:2不是有理数
《平行四边形》
1、 四边形的定义
2、 定理:四边形的内角和等于360度
推论:四边形的外角和等于360度
n边形的内角和外角和(为什么)
正五边形能镶嵌平面吗(为什么)
单独和镶嵌平面的正多边形有哪几种?为什么只有这几种?
(201*浙江省,8,3分)如图,在五边形abcde中,∠bae=120°, ∠b=∠e=90°,ab=bc,ae=de,在bc,de上分别找一点m,n,使得△amn的周长最小时,则∠amn+∠anm的度数为()(如何作辅助线,培养感觉)
a. 100°b.110°c. 120°d. 130°
3、 平行四边形的定义性质
定理:平行四边形的对角相等
定理1:平行四边形的两组对边分别相等。
推论1:夹在两条平行线间的平行线段相等。
推论1:夹在两条平行线间的垂线段相等。
定理2:平行四边形的对角线互相平分。
4、 中心对称图形定义 对称中心
性质:对称中心平分两个对称点的线段。(在平面直角坐标系中,点(x,y)关于原点对称的点的坐标是多少?为什么?)
5、 平行四边形的判定
①定义②定理1:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形③定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形④定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形
6、三角形的中位线定理(如何证明?)
7、逆命题与逆定理
两个命题,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 每个命题都有逆命题。每个定理都有逆命题。如果一个定理的逆命题也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理,其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。
因此,每个命题有逆命题;每个定理有逆命题,但不一定有逆定理。
1. (201*浙江金华,15,4分)如图,在□abcd中,ab=3,ad=4,∠abc=60°,过bc的中点e作ef⊥ab,垂足为点f,与dc的延长线相交于点h,则△def的面积是
.
3. (201*四川成都,20,10分) 如图,已知线段ab∥cd,ad与bc相交于点k,e是线段ad上一动点.
5cd1
(1)若bk=2kc,求ab的值;(2)连接be,若be平分∠abc,则当ae=2ad时,猜想线段ab、
bc、cd三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明.再探究:当ae=nad (n?2),而其余条件不变时,线段ab、bc、cd三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论,不必证明.
6、如图,已知△abc中,?abc?45, f是高ad和be的交点,cd?4,则线段df的长度为().
a
.b. 4c
.d
.
?
第五篇:命题与证明 平行四边形练习
典型例题剖析
例1、将下列各句改写成“如果……,那么……”的形式.
(1)对顶角相等;
(2)等角的余角相等;
(3)垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
(4)同旁内角互补,两直线平行;
分析:
省略掉词语的命题通常采取仔细分析,把省略掉的词语重新补上,或根据命题画出准确图形,再根据图形,把命题完整写出来,根据这些方法研究,我们便可着手改写了.
解:
(1)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等;
(2)如果两个角是等角的余角,那么这两个角相等;
(3)如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线互相平行;
(4)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行;
例2、指出下列命题的条件部分和结论部分
(1)直角都相等;
(2)互为邻补角的两个角的平分线互相垂直;
(3)直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短;
(4)大于90°而小于180°的角是钝角;
(5)两个角的和等于平角时,这两个角互为补角.
分析:
解答这类问题,必须弄清命题由哪两部分组成,进一步弄明白条件与结论所表示的意思.便可找出条件与结论.对省略掉词语的命题应先设法补上,再着手找题设与结论.命题的条件与结论不好用文字叙述时,要用符号写出条件和结论,但必须说明符号所表示的意义.
解:(1)条件:两个角都是直角;
结论:这两个角相等.
(2)条件:互为邻补角的两个角的两条平分线;
结论:这两条角平分线互相垂直.
(3)条件:直线外一点与直线上各点连结的所有线段;
结论:垂线段最短.
(4)条件:90°<∠
结论:∠<180°; 是钝角.
(5)条件:两个角的和等于平角;
结论:这两个角互补.
例3、判断下列命题的真假,如果是假命题,请说明理由.
(1)两点之间,线段最短.
(2)如果一个数的平方是9,那么这个数是3.
(3)同旁内角互补.
(4)过一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(5)如果a+b=0,那么a=0,b=0.
(6)两个锐角的和是锐角.
分析:
要判定一个命题是假命题,只要举出一个例子(反例)即可.于是以上各题真假便眉目分明了. 解:
(1)真命题,这是关于线段的一个公理.
(2)假命题,因为一个数的平方是9,这个数也可能是-3.
(3)假命题,任意二条直线被第三条直线所截,都有同旁内角产生,只有两条平行线被第三直线所截,才有同旁内角互补的结论.
(4)假命题,如果这个点在已知直线上,就无法作出一条直线与已知直线平行.
(5)假命题,如果a=2,b=-2,2+(-2)=0,但a=2≠0,b=-2≠0.
(6)假命题,如60°和50°的角都是锐角,但它们的和是钝角.
例4、区分下列语句中,哪些是定义,哪些是公理,哪些是定理:
(1)经过两点有一条直线,并且只有一条直线;
(2)两点之间,线段最短;
(3)有公共端点的两条射线组成的图形叫做角;
(4)对顶角相等;
(5)垂线段最短.
分析:
只要理解定义,公理,定理的意义,便可一一区分谁是定义,谁是公理,谁是定理.
解:(1)、(2)是公理;(3)是定义;(4)、(5)是定理.
例5、完成以下证明,并在括号内填写理由:
已知:如图所示,∠1=∠2,∠a=∠3.
求证:ac∥de.
例6、如下图,∠acd是△abc的外角,be平分∠abc,ce平分∠acd,且be、ce交于点e
.求证:
.
例7、如图,ce是△abc的外角∠acm的平分线,ce交ba的延长线于点e,试说明∠bac>∠b成立的理由
.
例8、已知:如图ad为∠abc的角平分线 e为bc的中点过e作ef∥ ad,交ab于m,交ca延长线于f。 cn∥ ab交fe的延长线于n。
求证:
bm=cf
例9、求证:没有一个有理数的平方等于3
例10、求证:三角形的三条边的垂直平分线交于一点
例11、求证:等腰三角形的底角是锐角
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