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归纳法证明不等式

时间:2019-05-22 10:30:49 网站:公文素材库

第一篇:数学归纳法证明不等式

数学归纳法证明不等式的本质

数学归纳法证明不等式的典型类型是与数列或数列求和有关的问题,凡是与数列或数列求和有关的问题都可统一表述成f(n)?g(n)(n?n?)的形式或近似于上述形式。

这种形式的关键步骤是由n?k时,命题成立推导n?k?1时,命题也成立。为了表示的方便,我们记?左n?f(k?1)?f(k),?右n?g(k?1)?g(k)分别叫做左增量,右增量。那么,上述证明的步骤可表述为

f(k?1)?f(k)??左k?g(k)??左k?g(k)??右k?g(k?1) 例1.已知an?2n?1,求证:

本题要证后半节的关键是证 an1a1a2n????n?(n?n?) 23a2a3an?12

2k?1?11?中k??右k即证k?2? 2?12

而此式显然成立,所以可以用数学归纳法证明。

而要证前半节的关键是证

12k?1?1?左k??中k即证?k?2 22?1

而此式显然不成立,所以不能用数学归纳法证明。如果不进行判断就用数学归纳法证前半节,忙乎半天,只会徒劳。

有时,f(n)?g(n)(n?n?)中f(n),g(n)是以乘积形式出现, 且f(n)?0,g(n)?0是显然成立的。此时,可记

?左k?f(k?1)g(k?1),?右k? f(k)g(k)

分别叫做左增倍,右增倍。那么,用数学归结法证明由n?k时,成立推导

n?k?1成立,可表述为

f(k?1)?f(k)??左k?g(k)??左k?g(k)??右k?g(k?1)

和前面所讲相似,上述四步中,两个“=”和“<”都显然成立,而“≤”是否成立,就需要判断和证明了,既“?左k??右k”若成立,既可用数学归纳法证明;若不成立,则不能用数学归纳法证明。因此,可以这样说,此时,数学归纳法证明不等式的本质是证“左增倍≤右增倍”,而判断能否用数学归纳法证明不等式的标准就是看“左增倍≤右增倍”是否成立。

第二篇:归纳法证明不等式

归纳法证明不等式

由于lnx>0则x>1

设f(x)=x-lnxf"(x)=1-1/x>0

则f(x)为增函数f(x)>f(1)=1

则x>lnx

则可知道等式成立。。。。。。。。。(运用的是定理,f(x),g(x)>0.且连续又f(x)>=g(x).则在相同积分区间上的积分也是>=)

追问

请问这个“定理”是什么定理?

我是学数学分析的,书上能找到么?

回答

能你在书里认真找找,不是定理就是推论埃。。。。

叫做积分不等式性

数学归纳法不等式的做题思路:1、n等于最小的满足条件的值,说明一下这时候成立,一般我们写显然成立,无须证明

2、假设n=k的时候成立,证明n=k+1的时候也是成立的,难度在这一步。(含分母的一般用放缩法,含根号的常用分母有理化。)

3、总结,结论成立,一般只要写显然成立。这题大于号应该为小于号。当n=1,1<2显然假设n=k-1的时候成立即1+1/√2+1/√3+...+1/√(k-1)<2√(k-1)则当n=k时,

1+1/√2+1/√3+......+1/√(k-1)+1/√k<2√(k-1)+1/√k如果有2√(k-1)+1/√k<2√k就可,只要1/√k<2√k-2√(k-1)=2(√k-√(k-1)=2/,即只要√(k-1<√k,而这显然。所以1+1/√2+1/√3+......+1/√n>2√n

已知f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n(n属于正整数),求证:当n>1时,f(2^n)>n+2/2

(1)n=2时代入成立

(2)假设n=a时候成立

则n=a+1时

f(2^(a+1))=f(2^a)+1/(2^a+1)+1/(2^a+2)+1/(2^a+3)+……1/(2^(a+1))>

f(2^a)+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+……1/(2^(a+1))

后面相同项一共有2^a个

所以上面又=f(2^a)+2^a/(2^(a+1))=f(2^a)+1/2

因为f(2^a)>(a+2)/2故上面大于<(a+1)+2>/2

因此n=a时上式成立的话n=a+1也成立

1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2<1-1/n(n≥2,n∈n+)

“1/2^2”指2的平方分之1

证明:数学归纳法:

1、∵当n=2时有1/2^2=1/4<1-1/2=1/2

∴符合原命题。

2、假设当n=k时1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2<1-1/k(k≥2,k∈n+)成立,

则当n=k+1时有1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2+1/(k+1)^2<1-1/k+1/(k+1)^2=(k^3+k^2-1)/(k(k+1)^2)<(k^3+k^2)/(k(k+1)^2)=k/(k+1)=1-1/(k+1)∴原命题成立

综上可得1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2<1-1/n(n≥2,n∈n+)成立!!。

第三篇:用数学归纳法证明不等式

人教版选修4—5不等式选讲

课题:用数学归纳法证明不等式

教学目标:

1、牢固掌握数学归纳法(请您继续关注公文素材库:www.bsmz.net)的证明步骤,熟练表达数学归纳法证明的过程。

2、通过事例,学生掌握运用数学归纳法,证明不等式的思想方法。

3、培养学生的逻辑思维能力,运算能力和分析问题,解决问题的能力。

重点、 难点:

1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解,并能正确表达解题过程,以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路。

2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。

教学过程:

一、复习导入:

1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤,请同学们回顾,说出数学归纳法的步骤?

(1)数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法。

(2)步骤:1)归纳奠基;

2)归纳递推。

2、作业讲评:(出示小黑板)

习题:用数学归纳法证明:2+4+6+8+……+2n=n(n+1)

如采用下面的证法,对吗?

证明:①当n=1时,左边=2=右边,则等式成立。

②假设n=k时,(k∈n,k≥1)等式成立,

即2+4+6+8+……+2k=k(k+1)

当n=k+1时,

2+4+6+8+……+2k+2(k+1)

∴ n=k+1时,等式成立。

由①②可知,对于任意自然数n,原等式都成立。

(1)学生思考讨论。

(2)师生总结: 1)不正确

2)因为在证明n=k+1时,未用到归纳假设,直接用等差数列求和公式,

违背了数学归纳法本质:递推性。 二、新知探究

明确了数学归纳法本质,我们共同讨论如何用数学归纳法证明不等式。 (出示小黑板)

例1观察下面两个数列,从第几项起an始终小于bn?证明你的结论。 {an=n}:1,4,9,16,25,36,49,64,81, …… {bn=2}:2,4,8,16,32,64,128,256,512, …… (1)学生观察思考 (2)师生分析

(3)解:从第5项起,an < bn ,即 n2<2,n∈n+(n≥5)

证明:(1)当 n=5时,有52<25,命题成立。 (2)假设当n=k(k≥5)时命题成立 即k<2

当n=k+1时,因为

(k+1)2=k2+2k+1<k2+2k+k=k2+3k<k2+k2=2k2<2×2k=2k+1 所以,(k+1)2<2k+1 即n=k+1时,命题成立。

由(1)(2)可知n2<2n(n∈n+,n≥5)

学生思考、小组讨论:①放缩技巧:k2+2k+1<k2+2k+k;k2+3k<k2+k2

②归纳假设:2k<2×2

例2

证明不等式│sin nθ│≤n│sinθ│(n∈n+)

k n

n2

2k

分析:这是一个涉及正整数n的三角函数问题,又与绝对值有关,在证明递推关系时,应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式。

证明:(1)当 n=1时,上式左边=│sinθ│=右边,不等式成立。 (2)假设当n=k(k≥1)时命题成立, 即有│sin kθ│≤k│sinθ│

当n=k+1时,

│sin (k+1)θ│=│sin kθcosθ+cos kθsin θ│ ≤│sin kθcosθ│+│cos kθsin θ│ =│sin kθ││cosθ│+│cos kθ││sin θ│ ≤│sin kθ│+│sin θ│ ≤k│sinθ│+│sin θ│ =(k+1)│sinθ│

所以当n=k+1时,不等式也成立。

由(1)(2)可知,不等式对一切正整数n均成立。

学生思考、小组讨论:①绝对值不等式: │a+b│≤ │a│+│b│

②三角函数的有界性:│sinθ│≤1,│cosθ│≤1 ③三角函数的两角和公式。

(板书)例3 证明贝努力(bernoulli)不等式:

如果x是实数且x>-1,x≠0,n为大于1的自然数,那么有(1+x)>1+nx 分析:①贝努力不等式中涉几个字母?(两个:x,n)

②哪个字母与自然数有关?(n是大于1的自然是数)

(板书)证:(1)当n=2时,左边=(1+x)=1+2x+x,右边=1+2x,因x>0,则原不等式成立.

(在这里,一定要强调之所以左边>右边,关键在于x>0是由已知条件x≠0获得,为下面证明做铺垫)

(2)假设n=k时(k≥2),不等式成立,即(1+x)>1+kx. 师:现在要证的目标是(1+x)>1+(k+1)x,请同学考虑.

生:因为应用数学归纳法,在证明n=k+1命题成立时,一定要运用归纳假设,所以当

k+1k

n=k+1时.应构造出归纳假设适应的条件.所以有:(1+x)=(1+x)(1+x),因为x>

k

-1(已知),所以1+x>0于是(1+x)(1+x)>(1+kx)(1+x).

师:现将命题转化成如何证明不等式 (1+kx)(1+x)≥1+(k+1)x. 显然,上式中“=”不成立.

k+1

k2

n

故只需证:(1+kx)(1+x)>1+(k+1)x. 提问:证明不等式的基本方法有哪些?

生:证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法.

(提问的目的是使学生明确在第二步证明中,合理运用归纳假设的同时,其本质是不等式证明,因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用)

生:证明不等式(1+kx)(1+x)>1+(k+1)x,可采用作差比较法. (1+kx)(1+x)-[1+(k+1)x] =1+x+kx+kx-1-kx-x

=kx>0(因x≠0,则x>0). 所以,(1+kx)(1+x)>1+(k+1)x. 生:也可采用综合法的放缩技巧.

(1+kx)(1+x)=1+kx+x+lx=1+(k+1)x+kx.

因为kx>0,所以1+(k+1)x+kx>1+(k+1)x,即(1+kx)(1+x)>1+(1+k)x成立.

生:……

(学生可能还有其他多种证明方法,这样培养了学生思维品质的广阔性,教师应及时引导总结)

师:这些方法,哪种更简便,更适合数学归纳法的书写格式?学生用放缩技巧证明显然更简便,利于书写.

(板书)将例3的格式完整规范.

证明:(1)当n=2时,由x≠0得(1+x)=1+2x+x>1+2x,不等式成立。

(2)假设n=k(k≥2)时,不等式成立, 即有(1+x)>1+kx 当n=k+1时,

(1+x)k+1=(1+x)(1+x)>(1+x)(1+kx)

k

k

=1+x+kx+ kx>1+x+kx=1+(k+1)x 所以当n=k+1时,不等式成立

由①②可知,贝努力不等式成立。

(通过例题的讲解,在第二步证明过程中,通常要进行合理放缩,以达到转化目的) 三、课堂小结

1.用数学归纳法证明,要完成两个步骤,这两个步骤是缺一不可的.但从证题的难易来分析,证明第二步是难点和关键,要充分利用归纳假设,做好命题从n=k到n=k+1的转化,这个转化要求在变化过程中结构不变.

2.用数学归纳法证明不等式是较困难的课题,除运用证明不等式的几种基本方法外,经常使用的方法就是放缩法,针对目标,合理放缩,从而达到目标. 四、课后作业

1.课本p53:1,3,5 2.证明不等式:

第四篇:数学归纳法证明不等式学案

2.3用数学归纳法证明不等式

学习目标:1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;

2.重、难点:应用数学归纳法证明不等式.

一、知识情景:

关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性:

10.验证n取时命题( 即n=n?时命题成立) (归纳奠基)

20.假设当时命题成立,证明当n=k+1时命题(归纳递推).

30. 由10、20知,对于一切n≥n?的自然数n命题!(结论)

要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.

二、数学归纳法的应用:

例1. 用数学归纳法证明不等式sinn?≤nsin?.(n?n?)

例2证明贝努力(bernoulli)不等式:

已知x?r,且x> ?1,且x?0,n?n*,n≥2.求证:(1+x)n>1+nx.

1;

例3 证明: 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,?,an的乘积a1a2?an?1,那么它们的和a1?a2???an≥n.

三、当堂检测

1、(1)不等式2n?n4对哪些正整数n成立?证明你的结论。

(2)求满足不等式(1?1n

n

)?n的正整数n的范围。

2、用数学归纳法证明

2n?2?n2(n?n*).

2.3用数学归纳法证明不等式作业纸班级姓名

1、用数学归纳法证明3≥n(n≥3,n∈n)第一步应验证()

a.n=1b.n=2c.n=3d.n=4 2、观察下面两个数列,从第几项起an始终小于bn?证明你的结论。

{an=n}:1,4,9,16,25,36,49,64,81, ……{bn=2}:2,4,8,16,32,64,128,256,512, …… k

2n

3、用数学归纳法证明:对于任意大于1的正整数n,不等式122?132???1n?1n

?n都成立。

4、若a、b、c三个正数成等差数列,公差d?0,自然数n?2,求证:an?cn?2bn

第五篇:数学归纳法证明不等式教案

2.3用数学归纳法证明不等式

学习目标:1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;

2.重、难点:应用数学归纳法证明不等式.

一、知识情景:

1. 关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性:

10.验证n取第一个值时命题成立( 即n=n?时命题成立) (归纳奠基) ;

20. 假设当n=k时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推).

30. 由10、20知,对于一切n≥n?的自然数n命题都成立!(结论)

要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.

二、数学归纳法的应用:

例1. 用数学归纳法证明不等式sinn?≤nsin?.(n?n?)

证明:(1)当 n=1时,上式左边=│sinθ│=右边,不等式成立。

(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立,即有│sin kθ│≤k│sinθ│

当n=k+1时,│sin (k+1)θ│=│sin kθcosθ+cos kθsin θ│

≤│sin kθcosθ│+│cos kθsin θ│

=│sin kθ││cosθ│+│cos kθ││sin θ│

≤│sin kθ│+│sin θ│≤k│sinθ│+│sin θ│=(k+1)│sinθ│

所以当n=k+1时,不等式也成立。

由(1)(2)可知,不等式对一切正整数n均成立。

例2. 证明贝努力(bernoulli)不等式:

已知x?r,且x> ?1,且x?0,n?n*,n≥2.求证:(1+x)n>1+nx.

证明:(1)当n=2时,由x≠0得(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,不等式成立。

(2)假设n=k(k≥2)时,不等式成立,即有(1+x)k>1+kx

当n=k+1时,

(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+x+kx+ kx2>1+x+kx=1+(k+1)x 所以当n=k+1时,不等式成立

由(1)(2)可知,贝努力不等式成立。

例3 证明: 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,?,an的乘积a1a2?an?1,

那么它们的和a1?a2???an≥n.

三、当堂检测

1、(1)不等式2n?n4对哪些正整数n成立?证明你的结论。

1(2)求满足不等式(1?)n?n的正整数n的范围。n

n2*2?2?n(n?n). 2、用数学归纳法证明

证明:(1) 当n=1时, 2?2?1,不等式成立; 当n=2时, 2?2?2,不等式成立;当n=3时, 2?2?3,不等式成立.

*n?k(k?3,k?n)时不等式成立,即 2k?2?k2. (2)假设当

k?1k222则当n?k?1时, 2?2?2(2?2)?2?2k?2?(k?1)?k?2k?3, 122232

2kk?3∵,∴?2k?3?(k?3)(k?1)?0,(*)

k?1222k?122?2?(k?1)?k?2k?3?(k?1)2?2?(k?1)从而, ∴. 即当n?k?1时,不等式

也成立. 由(1),(2)可知,2?2?n对一切n?n都成立.

四、课堂小结

1.用数学归纳法证明,要完成两个步骤,这两个步骤是缺一不可的.但从证题的难易来分析,证明第二步是难点和关键,要充分利用归纳假设,做好命题从n=k到n=k+1的转化,这个转化要求在变化过程中结构不变.

2.用数学归纳法证明不等式是较困难的课题,除运用证明不等式的几种基本方法外,经常使用的方法就是放缩法,针对目标,合理放缩,从而达到目标.

n2*

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