第一篇：应用导数证明不等式
应用导数证明不等式
常泽武指导教师：任天胜
（河西学院数学与统计学院 甘肃张掖 734000）
摘要： 不等式在初等数学和高等代数中有广泛的应用，证明方法很多，本文以函数的观点来认识不等式，以导数为工具来证明不等式。
关键字： 导数 不等式最值中值定理单调性泰勒公式
中图分类号： o13
application derivative to testify inequality
changzewww.bsmz.net monotonicity taylor formula
1.利用微分中值定理来证明不等式
在数学分析中，我们学到了拉格朗日中值定理，其内容为：
定理1.如果函数f?x?在闭区间?a,b?上连续，在开区间?a,b?上可导，则至少存在一点???a,b?，使得f"(?)?
拉格朗日中值定理是探讨可微函数的的几何特性及证明不等式的重要工具，我们可以根据以下两种方法来证明。
（1）首先，分析不等式通过变形，将其特殊化。其次，选取合适的函数和范围。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根据函数的单调性和最大值和最小值。
（2）我们可根据其两种等价表述方式
①f(b)?f(a)?f"(a??(b?a))(b?a),0???1
②f?a?h??f?a??f"?a??h?h,0???1
我们可以?的范围来证明不等式。 f(b)?f(a)。 b?a
11(x?0)例1.1证明不等式ln(1?)?x1?x
证明第一步变形1 ln(1?)?ln(1?x)?ln(x) x
第二步选取合适的函数和范围
令f(x)?lntt??x,1?x?
第三步应用拉格朗日中值定理
存在???x,1?x?使得f"(?)?f(1?x)?f(x) (1?x)?(x)
即ln(1?x)?ln(x)?1
?而 ?<1+x 1 1?x
1?x1)?而0?x??? 即ln( x1?x?ln(1?x)?ln(x)?
例 1.2证明：?h>-1且h?0都有不等式成立：
h?ln(1?h)?h 1?h
证明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，????0,1?使得
ln(1?h)?f(h)?f(0)?f"(?h)h?
当h>0时有
1??h?1?1?h,
当?1?h?0时有
1?1??h?1?h?0,即h.1??h1h??h;1?h1??h1h??h.1?h1??h
2．利用函数单调性证明不等式
我们在初等数学当中学习不等式的证明时用到了两种方法：一种是判断它们差的正负，另一种是判断它们的商大于1还是小于1.而我们今天所要讨论的是根据函数的导数的思想来判断大小。
定理：设函数f(x)在?a,b?上连续，在?a,b?可导，那么
（1） 若在?a,b?内f"(x)?0则f(x)在?a,b?内单调递增。
（2） 若在?a,b?内f"(x)?0则f(x)在?a,b?内单调递减。
使用定理：要证明区间?a,b?上的不等式f(x)?g(x)，只需令f(x)?f(?x)。 g使在(x)?a,b?上f"(x)>0（f"(x)<0）且f(a)=0或（f(b)=0）例2.1 设x?0证明不等式ln(1?x)?xe?x
证明：令f(x)?ln(1?x)?xe?x（x>0）
显然f(0)?0
1ex?x2?1?x?x（x>0） f"(x)??e?xe?x1?x(1?x)e
现在来证明ex?x2?1?0
令f(x)?ex?x2?1显然f(0)?0
当x?0时f"(x)?ex?2x?0
于是得f(x)在x?0上递增
故对x?0有f(x)?f(0)?f(x)?0
而(1?x)ex?0
所以f"(x)?0故f(x)递增
又因为f(0)?0
所以f(x)?0
所以ln(1?x)?xe?x成立
3．利用函数的最大值和最小值证明不等式
当等式中含有“=”号时，不等式f(x)?g(x)(或f(x)?g(x))? g(x)?f(x)?0（或g(x)?f(x)?0），亦即等价于函数g(x)?g(x)?f(x)有最小值或f(x)?f(x?)g(有最大值。x)
证明思路：由待正不等式建立函数，通过导数求出极值并判断时极大值还是极小值，在求出最大值或最小值，从而证明不等式。
1例3.1证明若p>1，则对于?0,1?中的任意x有p?1?xp?(1?x)p?1 2
证明：构造函数f(x)?xp?(1?x)p(0?x?1)
则有f"(x)?pxp?1?p(1?x)p?1?p(xp?1?(1?x)p?1)
令f"(x)?0，可得xp?1?(1?x)p?1，于是有x?1?x，从而求得x?1。由于2
函数f(x)在闭区间?0,1?上连续，因而在闭区间?0,1?上有最小值和最大值。
由于函数f(x)内只有一个驻点，没有不可导点，又函数f(x)在驻点x?1和2
111p1?)?p?1,f(0)?f(1),区间端点(x?0和x?1)的函数值为f()?)p?(1所以2222
1f(x)在?0,1?的最小值为p?1，最大值为1，从而对于?0,1?中的任意x有2
11?f(x)?1?xp?(1?x)p?1。 ，既有p?1p?122
4．利用函数的泰勒展式证明不等式
若函数f(x)在含有x0的某区间有定义，并且有直到(n?1)阶的各阶导数，又在x0处有n阶导数f(n)(x0)，则有展式： f"(x0)f""(x0)fn(x0)2(x?x0)?(x?x0)??(x?x0)n?rn(x)f(x)?f(x0)?1!2!n!
在泰勒公式中，取x0=0,变为麦克劳林公式
f"(0)f""(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)?rn(x) 1!2!n!
在上述公式中若rn(x)?0(或?0)则可得
f"(0)f""(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)， 1!2!n!
f"(0)f""(0)2fn(0)n(x)?(x)??(x)。 或f(x)?f(0)?1!2!n!
带有拉格朗日余项的泰勒公式的实质是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一个定量估计式，该公式在不等式证明和微分不等式证明及较为复杂的极限计算中有广泛的应用。
用此公式证明不等式就是要把所证不等式化简，其中函数用此公式，在把公式右边放大或缩小得到所证不等式。
例4.1若函数f(x)满足：（1）在区间?a,b?上有二阶导函数f""(x)，（2）
f"(a)?f"(b)?0，则在区间?a,b?内至少存在一点c，使
f""(c)?4f(b)?f(a)。 2(b?a)
证明：由f(x)在x?a和x?b处的泰勒公式，并利用f"(a)?f"(b)?0，
得f(x)?f(a)?f""(?)(x?a)2
2! f""(?)f(x)?f(b)?(x?b)2,于是2!
a?bf""(?)(b?a)2a?bf()?f(a)??(a???),22!42
a?bf""(?)(b?a)2a?bf()?f(b)??(a???),22!42
f""(?)?f""(?)(b?a)2
相减，得f(b)-f(a)=,24
4f(b)?f(a)1(b?a)2
即?f""(?)?f(?)?,(b?a)224
当f""(?)?f""(?)时，记c??否则记c=?,那么
f""(c)?4f(b)?f(a)(a?b?c)(b?a)2
参 考 文 献
《数学分析》上册，高等教育出版社，1990. ?1?郑英元，毛羽辉，宋国栋编，
?2?赵焕光，林长胜编《数学分析》上册，四川大学出版社，201*。 ?3?欧阳光中，姚允龙，周渊编《数学分析》上册，复旦大学出版社，201*. ?4?华东师范大学数学系编《数学分析》上册，第三版，高等教育出版社201*.
第二篇：导数证明不等式
导数证明不等式
一、
当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)
f(x)=x-ln(x+1)
f"(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)
x>1,所以f"(x)>0,增函数
所以x>1,f(x)>f(1)=1-ln2>0
f(x)>0
所以x>0时，x>ln(x+1)
二、
导数是近些年来高中课程加入的新内容，是一元微分学的核心部分。本文就谈谈导数在一元不等式中的应用。
例1.已知x∈(0，)，
求证:sinx
第三篇：利用导数证明不等式
利用导数证明不等式
没分都没人答埃。。觉得可以就给个好评!
最基本的方法就是将不等式的的一边移到另一边，然后将这个式子令为一个函数f(x).对这个函数求导，判断这个函数这各个区间的单调性，然后证明其最大值(或者是最小值)大于0.这样就能说明原不等式了成立了!
1.当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)
设函数f(x)=x-ln(x+1)
求导，f(x)"=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0
所以f(x)在(1，+无穷大)上为增函数
f(x)>f(1)=1-ln2>o
所以x>ln(x+1
2..证明：a-a^2>0其中0
f(a)=a-a^2
f"(a)=1-2a
当00;当1/2
因此，f(a)min=f(1/2)=1/4>0
即有当00
3.x>0,证明：不等式x-x^3/6
先证明sinx
因为当x=0时，sinx-x=0
如果当函数sinx-x在x>0是减函数，那么它一定<在0点的值0，
求导数有sinx-x的导数是cosx-1
因为cosx-1≤0
所以sinx-x是减函数，它在0点有最大值0，
知sinx
再证x-x³/6
对于函数x-x³/6-sinx
当x=0时，它的值为0
对它求导数得
1-x²/2-cosx如果它<0那么这个函数就是减函数，它在0点的值是最大值了。
要证x²/2+cosx-1>0x>0
再次用到函数关系，令x=0时，x²/2+cosx-1值为0
再次对它求导数得x-sinx
根据刚才证明的当x>0sinx
x²/2-cosx-1是减函数，在0点有最大值0
x²/2-cosx-1<0x>0
所以x-x³/6-sinx是减函数，在0点有最大值0
得x-x³/6
利用函数导数单调性证明不等式x-x²>0，x∈(0,1)成立
令f(x)=x-x²x∈
则f"(x)=1-2x
当x∈时,f"(x)>0,f(x)单调递增
当x∈时,f"(x)<0,f(x)单调递减
故f(x)的最大值在x=1/2处取得，最小值在x=0或1处取得
f(0)=0,f(1)=0
故f(x)的最小值为零
故当x∈(0,1)f(x)=x-x²>0。
i、m、n为正整数，且1
第四篇：用导数证明不等式
用导数证明不等式
最基本的方法就是将不等式的的一边移到另一边，然后将这个式子令为一个函数f(x).对这个函数求导，判断这个函数这各个区间的单调性，然后证明其最大值(或者是最小值)大于0.这样就能说明原不等式了成立了!
1.当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)
设函数f(x)=x-ln(x+1)
求导，f(x)\"=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0
所以f(x)在(1，+无穷大)上为增函数
f(x)>f(1)=1-ln2>o
所以x>ln(x+1
2..证明：a-a^2>0其中0
f(a)=a-a^2
f\"(a)=1-2a
当00;当1/2
因此，f(a)min=f(1/2)=1/4>0
即有当00
3.x>0,证明：不等式x-x^3/6
先证明sinx
因为当x=0时，sinx-x=0
如果当函数sinx-x在x>0是减函数，那么它一定<在0点的值0，
求导数有sinx-x的导数是cosx-1
因为cosx-1≤0
所以sinx-x是减函数，它在0点有最大值0，
知sinx
再证x-x³/6
对于函数x-x³/6-sinx
当x=0时，它的值为0
对它求导数得
1-x²/2-cosx如果它<0那么这个函数就是减函数，它在0点的值是最大值了。
要证x²/2+cosx-1>0x>0
再次用到函数关系，令x=0时，x²/2+cosx-1值为0
再次对它求导数得x-sinx
根据刚才证明的当x>0sinx
x²/2-cosx-1是减函数，在0点有最大值0
x²/2-cosx-1<0x>0
所以x-x³/6-sinx是减函数，在0点有最大值0
得x-x³/6
利用函数导数单调性证明不等式x-x²>0，x∈(0,1)成立
令f(x)=x-x²x∈
则f\"(x)=1-2x
当x∈时,f\"(x)>0,f(x)单调递增
当x∈时,f\"(x)<0,f(x)单调递减
故f(x)的最大值在x=1/2处取得，最小值在x=0或1处取得
f(0)=0,f(1)=0
故f(x)的最小值为零
故当x∈(0,1)f(x)=x-x²>0。
i、m、n为正整数，且1
求证(1+m)^n>(1+n)^m
方法一：利用均值不等式
对于m+1个数，其中m个(2+m)，1个1,它们的算术平均数大于几何平均数，即
/(m+1)>^
即1+m>(2+m)^
即(1+m)^(1/m)>^
由此说明数列{(1+m)^(1/m)}是单调递减的。
方法二：导数方法
令f(x)=(1+x)^(1/x),x>0
求导数
f\"(x)=(1+x)^(1/x)*/x^2
为了考察f\"(x)的正负
令g(x)=x/(1+x)-ln(1+x),x>=0
g\"(x)=-x/(1+x)^2<0,x>0
因此g(x)0,亦即f\"(x)<0
因此f(x)在(0,+∞)上单调递减。
令a*b*c=k的3次方
求证(1+a)的-(1/2)次方加(1+b)的-(1/2)次方加(1+c)的-(1/2)次方>=(1+k)的-(1/2)次方
化成函数，f(x)，求导，可知其单调区间，然后求最大最小值即可。
理论上所有题目都可以用导数做，但有些技巧要求很高。
(1+a)^-1/2+(1+b)^-1/2+(1+c)^-1/2
=(1+a)^-1/2+(1+b)^-1/2+(1+k^3/ab)^-1/2=f(a,b)
对a求导，f"(a,b)a=0，可得一个方程，解出即得。
第五篇：导数在证明不等式中的应用
1.【作 者】 杨建辉;布春霞【刊 名】中学生数理化(学研版)【出版日期】201*
【期 号】第11期【页 码】2-3【参考文献格式】杨建辉,布春霞.导数在证明不等式中的应用[j].中学生数理化(学研版),201*,(第11期).
2.【作 者】 赵京之【刊 名】中国新技术新产品【出版日期】201*【期 号】第14期【参考文献格式】赵京之.导数在证明不等式中的应用[j].中国新技术新产品,201*,(第14期).【摘 要】不等式与等式一样,在数学问题中都是非常重要的课题,不等式的研究范围更广,难度更大,以函数观点认识不等式,应用导数为工具,不等式的证明将化难为易,迎刃而解,考虑的角度初步有:中值定理,taylor公式,函数的单调性,最值,以及jensen不等式。
3.【作 者】 刘伟【刊 名】电大理工【出版日期】201*【期 号】第3期【页 码】13-14【参考文献格式】刘伟.导数在证明不等式中的应用[j].电大理工,201*,(第3期).
4.【作 者】 顾庆菏【刊 名】邢台师范高专学报【出版日期】1995【期 号】第1期【页 码】118-120【参考文献格式】顾庆菏.导数在证明不等式中的应用[j].邢台师范高专学报,1995,(第1期).
5.【作 者】 刘开生;潘书林【刊 名】天水师范学院学报【出版日期】201*【期 号】第3期【页 码】115-116【参考文献格式】刘开生,潘书林.导数在证明不等式中的应用[j].天水师范学院学报,201*,(第3期).
6.【作 者】 陈万鹏;陈万超【刊 名】大学数学【出版日期】1990【期 号】第4期【页 码】67-71【参考文献格式】陈万鹏,陈万超.导数在证明不等式中的应用[j].大学数学,1990,(第4期).
7.【作 者】 高燕【刊 名】考试周刊【出版日期】201*【期 号】第60期【页 码】69-70【参考文献格式】高燕.导数在不等式证明中的应用[j].考试周刊,201*,(第60期).
8.导数法在证明不等式中的应用【作 者】 【刊 名】版)【出版日期】201*【期 号】第z1期【页 码】5
【参考文献格式】郝文武.导数法在证明不等式中的应用[j].中学生数理化(高二版),201*,(第z1期).
9. 导数在证明不等式中的一些应用【作 者】 甘启才【刊 名】广西师范学院学报(自然科学版)【出版日期】201*【期 号】第s1期【页 码】73-75
【参考文献格式】甘启才.导数在证明不等式中的一些应用[j].广西师范学院学报(自然科学版),201*,(第s1期).
10.【作 者】 王莉闻【刊 名】考试周刊【出版日期】201*【期 号】第82期【参考文献格式】王莉闻.导数在不等式证明中的应用[j].考试周刊,201*,(第82期).
【摘 要】导数知识是高等数学中极其重要的部分,它的内容、思想和应用贯穿于整个高等数学的教学之中.利用导数证明不等式是一种行之有效的好方法,它能使不等式的证明化难为易,迎刃而解.在不等式证明的种种方法中,它占有重要的一席之地.本文将从利用函数的单调性,利用函数的最值（或极值）
11.【作 者】 王翠丽【刊 名】数学之友【出版日期】201*【期 号】第6期【页 码】84，86【参考文献格式】王翠丽.导数在不等式证明中的应用[j].数学之友,201*,(第6期).
12.【作 者】 王强;申玉芹【刊 名】中学数学【出版日期】201*【期 号】第9期【页 码】6【参考文献格式】王强,申玉芹.导数在不等式中的应用[j].中学数学,201*,(第9期).
13.【作 者】 朱帝【刊 名】数理化学习【出版日期】201*【期 号】第3期【页 码】2-4【参考文献格式】朱帝.导数在证明不等式中的应用[j].数理化学习,201*,(第3期).
14.【作 者】 王伟珠【刊 名】佳木斯教育学院学报【出版日期】201*【期 号】第6期【参考文献格式】王伟珠.导数在不等式证明中的应用[j].佳木斯教育学院学报,201*,(第6期).
15.【作 者】 张根荣;李连方【刊 名】中学数学研究【出版日期】201*【期 号】第11期【页 码】24-25【参考文献格式】张根荣,李连方.导数在不等式证明中的应用[j].中学数学研究,201*,(第11期).【摘 要】“问题是数学的心脏”，数学学习的核心就应该是培养解决数学问题的能力．正如波利亚指出的：“掌握数学就是意味着善于解题．”“中学数学首要的任务就是加强解题的训练”．在数学教学中，例题、习题的解答过程是学生建构知识的重要基础，是学生学习不可缺少的重要组成部分．因此在课堂教学有限的45分钟内，如何发挥例题的功能，
16.【作 者】 张萍【刊 名】西部大开发：中旬刊【出版日期】201*【期 号】第7期【页 码】176-177【参考文献格式】张萍.导数在证明不等式中的有关应用[j].西部大开发：中旬刊,201*,(第7期).【摘 要】导数是高等数学中最基本最重要的内容之一，用导数的方法证明不等式是不等式证明重要的组成部分，具有较强的灵活性和技巧性。掌握导数在不等式中的证明方法和技巧对学好高等数学有很大帮助。本文将通过举例和说明的方式来阐述不等式证明中导数的一些方法和技巧，提高学生用导数证明不等式的能力．
17.【作 者】 李旭金【刊 名】新作文(教育教学研究)【出版日期】201*【期 号】第11期【页 码】31【参考文献格式】李旭金.导数在不等式中的应用[j].新作文(教育教学研究),201*,(第11期).
18.【作 者】 李晋【刊 名】大视野【出版日期】201*【期 号】第3期【页 码】241-243【参考文献格式】李晋.导数在不等式证明中的应用[j].大视野,201*,(第3期).
第5期【页 码】24-26【参考文献格式】高芳.导数在不等式证明中的应用[j].商丘职业技术学院学报,201*,(第5期).
20.【作 者】 蔡金宝【刊 名】吉林省教育学院学报(学科版)【出版日期】201*
【期 号】第9期【页 码】85-86【参考文献格式】蔡金宝.导数在不等式证明中的应用[j].吉林省教育学院学报(学科版),201*,(第9期).
21. 浅谈导数在不等式证明问题中的应用【作 者】 姜治国【刊 名】考试(高考 数学版)【出版日期】201*【期 号】第z5期【页 码】54-56【参考文献格式】姜治国.浅谈导数在不等式证明问题中的应用[j].考试(高考 数学版),201*,(第z5期).
22.导数在不等式中的一些应用【作 者】 陶毅翔【刊 名】宁德师专学报·自然科学版【出版日期】201*【期 号】第2期【页 码】123-124，127【参考文献格式】陶毅翔.导数在不等式中的一些应用[j].宁德师专学报·自然科学版,201*,(第2期).
23.【作 者】 陈海兰【刊 名】科技信息【出版日期】201*【期 号】第8期【参考文献格式】陈海兰.导数在不等式中的应用[j].科技信息,201*,(第8期).【摘 要】本文给出了几种用导数来证明不等式的方法,通过这些方法,可以比较简洁,快速地解决一些不等式的证明问题.
24.【作 者】 胡林【刊 名】科技咨询导报【出版日期】201*【期 号】第5期
【页 码】95-96【参考文献格式】胡林.导数在不等式证明中的应用[j].科技咨询导报,201*,(第5期).
25.【作 者】 胡林【刊 名】科技资讯【出版日期】201*【期 号】第36期【页 码】148【参考文献格式】胡林.导数在不等式证明中的应用[j].科技资讯,201*,(第36期).
26.【作 者】 周晓农【刊 名】贵阳金筑大学学报【出版日期】201*【期 号】第3期【页 码】107-110+87【参考文献格式】周晓农.导数在不等式证明中的应用[j].贵阳金筑大学学报,201*,(第3期).
27.【作 者】 葛江峰【刊 名】中学理科：综合【出版日期】201*【期 号】第9期【页 码】52【参考文献格式】葛江峰.导数在不等式中的应用[j].中学理科：综合,201*,(第9期).【摘 要】新课程试卷将导数与传统的不等式证明有机结合在一起设问，是一种新颖的命题模式，体现导数在分析和解决一些函数性质问题的工具作用，以下介绍几种应用导数证明不等式的方法，供大家参考。
28.【作 者】 梁俊平【刊 名】龙岩师专学报(自然科学版)【出版日期】1997
【期 号】第3期【页 码】167-170【作者单位】不详【参考文献格式】梁俊平.导数在不等式证明中的应用[j].龙岩师专学报(自然科学版),1997,(第3期).
期【页 码】48-53【参考文献格式】杨耀池.导数在不等式中的应用[j].数学的实践与认识,1985,(第2期).
30. 例说应用导数证明不等式【作 者】 冯仕虎【刊 名】数学学习与研究(教研版)【出版日期】201*【期 号】第11期【页 码】109-110【参考文献格式】冯仕虎.例说应用导数证明不等式[j].数学学习与研究(教研版),201*,(第11期).
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《导数证明不等式》
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