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向量法证明正弦定理(精选多篇)

时间:2019-05-22 10:41:48 网站:公文素材库

第一篇:向量法证明正弦定理

向量法证明正弦定理

证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:

任意三角形abc,作abc的外接圆o.

作直径bd交⊙o于d.连接da.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

2

如图1,△abc为锐角三角形,过点a作单位向量j垂直于向量ac,则j与向量ab的夹角为90°-a,j与向量cb的夹角为90°-c

由图1,ac+cb=ab(向量符号打不出)

在向量等式两边同乘向量j,得·

j·ac+cb=j·ab

∴│j││ac│co(更多请搜索www.bsmz.net,解三角形。

评述:此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,先利用内角和180°求出

第三角,再利用正弦定理.

7.能力提升

例2:在△abc中,

°,a=2,求b,b,c。

评述:此类问题结果为多解,学生容易产生漏解的情况,在此题的解题过程

中,让学生自主练习,然后在课堂上讨论,通过相互交流,总结出存在多解的情况,应与大边对大角结合分情况讨论,培养学生分类讨论的思想。

8.课堂总结

总结本堂课的内容:正弦定理、正弦定理适用范围、正弦定理应该注意的问题

9.课后作业

(1)在?abc中,已知角

?b?45?,c?22,b???43,则角a的值是 ??a.15b.75c.105d.75或15

(2)在△abc中,若a?30?,b?60?,则a:b:c?

?b?60,b?76,a?14,则a=?abc (3)在中,若

?a?,b?2,b?45?abc (4)在中,已知,解三角形。

第三篇:向量证明正弦定理

向量证明正弦定理

表述:设三面角∠p-abc的三个面角∠bpc,∠cpa,∠apb所对的二面角依次为∠pa,∠pb,∠pc,则sin∠pa/sin∠bpc=sin∠pb/sin∠cpa=sin∠pc/sin∠apb。

目录

1证明2全向量证明

证明

过a做oa⊥平面bpc于o。过o分别做om⊥bp于m与on⊥pc于n。连结am、an。显然,∠pb=∠amo,sin∠pb=ao/am;∠pc=∠ano,sin∠pc=ao/an。另外,sin∠cpa=an/ap,sin∠apb=am/ap。则sin∠pb/sin∠cpa=ao×ap/(am×an)=sin∠pc/sin∠apb。同理可证sin∠pa/sin∠bpc=sin∠pb/sin∠cpa。即可得证三面角正弦定理。

全向量证明

如图1,△abc为锐角三角形,过点a作单位向量j垂直于向量ac,则j与向量ab的夹角为90°-a,j与向量cb的夹角为90°-c

由图1,ac+cb=ab(向量符号打不出)

在向量等式两边同乘向量j,得·

j·ac+cb=j·ab

∴│j││ac│cos90°+│j││cb│cos(90°-c)

=│j││ab│cos(90°-a)

∴asinc=csina

∴a/sina=c/sinc

同理,过点c作与向量cb垂直的单位向量j,可得

c/sinc=b/sinb

∴a/sina=b/sinb=c/sinc

2步骤1

记向量i,使i垂直于ac于c,△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)

=-asinc+csina=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.

在锐角△abc中,设bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足为点h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到a/sina=b/sinb

同理,在△abc中,

b/sinb=c/sinc

步骤3.

证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:

任意三角形abc,作abc的外接圆o.

作直径bd交⊙o于d.连接da.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

类似可证其余两个等式。

3

用向量叉乘表示面积则s=cb叉乘ca=ac叉乘ab

=>absinc=bcsina(这部可以直接出来哈哈,不过为了符合向量的做法)

=>a/sina=c/sinc

201*-7-1817:16jinren92|三级

记向量i,使i垂直于ac于c,△abc三边ab,bc,接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△abc中,证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:任意三角形abc,

4

过三角形abc的顶点a作bc边上的高,垂足为d.(1)当d落在边bc上时,向量ab与向量ad的夹角为90°-b,向量ac与向量ad的夹角为90°-c,由于向量ab、向量ac在向量ad方向上的射影相等,有数量积的几何意义可知向量ab*向量ad=向量ac*向量ad即向量ab的绝对值*向量ad的绝对值*cos(90°-b)=向量的ac绝对值*向量ad的绝对值*cos(90°-c)所以csinb=bsinc即b/sinb=c/sinc(2)当d落在bc的延长线上时,同样可以证得

第四篇:用向量证明正弦定理

用向量证明正弦定理

如图1,△abc为锐角三角形,过点a作单位向量j垂直于向量ac,则j与向量ab的夹角为90°-a,j与向量cb的夹角为90°-c

由图1,ac+cb=ab(向量符号打不出)

在向量等式两边同乘向量j,得·

j·ac+cb=j·ab

∴│j││ac│cos90°+│j││cb│cos(90°-c)

=│j││ab│cos(90°-a)

∴asinc=csina

∴a/sina=c/sinc

同理,过点c作与向量cb垂直的单位向量j,可得

c/sinc=b/sinb

∴a/sina=b/sinb=c/sinc

2步骤1

记向量i,使i垂直于ac于c,△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)

=-asinc+csina=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.

在锐角△abc中,设bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足为点h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到a/sina=b/sinb

同理,在△abc中,

b/sinb=c/sinc

步骤3.

证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:

任意三角形abc,作abc的外接圆o.

作直径bd交⊙o于d.连接da.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

类似可证其余两个等式。

3

用向量叉乘表示面积则s=cb叉乘ca=ac叉乘ab

=>absinc=bcsina(这部可以直接出来哈哈,不过为了符合向量的做法)

=>a/sina=c/sinc

201*-7-1817:16jinren92|三级

记向量i,使i垂直于ac于c,△abc三边ab,bc,接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△abc中,证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:任意三角形abc,

4

过三角形abc的顶点a作bc边上的高,垂足为d.(1)当d落在边bc上时,向量ab与向量ad的夹角为90°-b,向量ac与向量ad的夹角为90°-c,由于向量ab、向量ac在向量ad方向上的射影相等,有数量积的几何意义可知向量ab*向量ad=向量ac*向量ad即向量ab的绝对值*向量ad的绝对值*cos(90°-b)=向量的ac绝对值*向量ad的绝对值*cos(90°-c)所以csinb=bsinc即b/sinb=c/sinc(2)当d落在bc的延长线上时,同样可以证得

第五篇:用正弦定理证明三重向量积

用正弦定理证明三重向量积

作者:光信1002班 李立

内容:通过对问题的讨论和转化,最后用正弦定理来证明三重向量积的公式——(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b。

首先,根据叉乘的定义,a、b、a?b可以构成一个右手系,而且对公式的观察与分析我们发现,在公式中,a与b是等价的,所以我们不妨把a、b、a?b放在一个空间直角坐标系中,让a与b处于oxy面上,a?b与z轴同向。如草图所示:

其中,向量c可以沿着z轴方向与平行于oxy平面的方向分解,即:

c?cz?cxy

将式子带入三重向量积的公式中,发现,化简得:

(a?b)?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b这两个式子等价

现在我们考虑(a?b)?c刚好被a与b反向夹住的情况,其他的角度情况以此类推。

由图易得,(a?b)?c与a、b共面,a与b不共线,不妨设(

a?b)?c?xa?yb,

a,cxy

?(

?

,?),b,cxy

?(0,

?

),所以:

在三角形中使用正弦定理,得

a?b)?csin[?-a,b]

?sin[

xa

?

yb

sin[a,cxy?

?k]

?

?b,cxy?

又因为a?b)?c?abcsina,b

所以,解得k=abc, 于是解得:

x= bcxycosb,cxyy??acxycosa,cxy

?b?cxy ??a?cxy

由图示和假定的条件,(a?b)?c在a和b方向上的投影皆为负值,所以x,y都取负值,

所以,

(a?b)?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b

其他的相对角度关系,以此类推,也能得到相同的答案,所以:

(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b,命题得证。

小结论:当直观解答有困难时,可以通过分析转化的方法来轻松地解决。

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