向量法证明正弦定理(精选多篇)

时间：2019-05-22 10:41:48 网站：公文素材库

第一篇：向量法证明正弦定理

向量法证明正弦定理

证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：

任意三角形abc,作abc的外接圆o.

作直径bd交⊙o于d.连接da.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

如图1，△abc为锐角三角形，过点a作单位向量j垂直于向量ac，则j与向量ab的夹角为90°-a，j与向量cb的夹角为90°-c

由图1，ac+cb=ab(向量符号打不出)

在向量等式两边同乘向量j,得·

j·ac+cb=j·ab

∴│j││ac│co(更多请搜索www.bsmz.net，解三角形。

评述：此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，先利用内角和180°求出

第三角，再利用正弦定理.

7.能力提升

例2：在△abc中，

°，a=2,求b,b,c。

评述：此类问题结果为多解，学生容易产生漏解的情况，在此题的解题过程

中，让学生自主练习，然后在课堂上讨论，通过相互交流，总结出存在多解的情况，应与大边对大角结合分情况讨论，培养学生分类讨论的思想。

8.课堂总结

总结本堂课的内容：正弦定理、正弦定理适用范围、正弦定理应该注意的问题

9.课后作业

（1）在?abc中，已知角

?b?45?，c?22,b???43，则角a的值是 ??a.15b.75c.105d.75或15

（2）在△abc中,若a?30?,b?60?,则a:b:c?

?b?60，b?76,a?14，则a=?abc （3）在中，若

?a?,b?2,b?45?abc （4）在中，已知，解三角形。

第三篇：向量证明正弦定理

向量证明正弦定理

表述：设三面角∠p-abc的三个面角∠bpc，∠cpa，∠apb所对的二面角依次为∠pa，∠pb，∠pc，则sin∠pa/sin∠bpc=sin∠pb/sin∠cpa=sin∠pc/sin∠apb。

1证明2全向量证明

证明

过a做oa⊥平面bpc于o。过o分别做om⊥bp于m与on⊥pc于n。连结am、an。显然，∠pb=∠amo，sin∠pb=ao/am;∠pc=∠ano，sin∠pc=ao/an。另外，sin∠cpa=an/ap，sin∠apb=am/ap。则sin∠pb/sin∠cpa=ao×ap/(am×an)=sin∠pc/sin∠apb。同理可证sin∠pa/sin∠bpc=sin∠pb/sin∠cpa。即可得证三面角正弦定理。

全向量证明

如图1，△abc为锐角三角形，过点a作单位向量j垂直于向量ac，则j与向量ab的夹角为90°-a，j与向量cb的夹角为90°-c

由图1，ac+cb=ab(向量符号打不出)

在向量等式两边同乘向量j,得·

j·ac+cb=j·ab

∴│j││ac│cos90°+│j││cb│cos(90°-c)

=│j││ab│cos(90°-a)

∴asinc=csina

∴a/sina=c/sinc

同理，过点c作与向量cb垂直的单位向量j，可得

c/sinc=b/sinb

∴a/sina=b/sinb=c/sinc

2步骤1

记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)

=-asinc+csina=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.

在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足为点h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到a/sina=b/sinb

同理，在△abc中，

b/sinb=c/sinc

步骤3.

证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：

任意三角形abc,作abc的外接圆o.

作直径bd交⊙o于d.连接da.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

类似可证其余两个等式。

用向量叉乘表示面积则s=cb叉乘ca=ac叉乘ab

=>absinc=bcsina(这部可以直接出来哈哈，不过为了符合向量的做法)

=>a/sina=c/sinc

201*-7-1817:16jinren92|三级

记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△abc中，证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：任意三角形abc,

过三角形abc的顶点a作bc边上的高，垂足为d.(1)当d落在边bc上时，向量ab与向量ad的夹角为90°-b，向量ac与向量ad的夹角为90°-c，由于向量ab、向量ac在向量ad方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量ab*向量ad=向量ac*向量ad即向量ab的绝对值*向量ad的绝对值*cos(90°-b)=向量的ac绝对值*向量ad的绝对值*cos(90°-c)所以csinb=bsinc即b/sinb=c/sinc(2)当d落在bc的延长线上时，同样可以证得

第四篇：用向量证明正弦定理

用向量证明正弦定理

如图1，△abc为锐角三角形，过点a作单位向量j垂直于向量ac，则j与向量ab的夹角为90°-a，j与向量cb的夹角为90°-c

由图1，ac+cb=ab(向量符号打不出)

在向量等式两边同乘向量j,得·

j·ac+cb=j·ab

∴│j││ac│cos90°+│j││cb│cos(90°-c)

=│j││ab│cos(90°-a)

∴asinc=csina

∴a/sina=c/sinc

同理，过点c作与向量cb垂直的单位向量j，可得

c/sinc=b/sinb

∴a/sina=b/sinb=c/sinc

2步骤1

记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)

=-asinc+csina=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.

在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足为点h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到a/sina=b/sinb

同理，在△abc中，

b/sinb=c/sinc

步骤3.

证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：

任意三角形abc,作abc的外接圆o.

作直径bd交⊙o于d.连接da.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

类似可证其余两个等式。

用向量叉乘表示面积则s=cb叉乘ca=ac叉乘ab

=>absinc=bcsina(这部可以直接出来哈哈，不过为了符合向量的做法)

=>a/sina=c/sinc

201*-7-1817:16jinren92|三级

记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△abc中，证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：任意三角形abc,

第五篇：用正弦定理证明三重向量积

用正弦定理证明三重向量积

作者：光信1002班李立

内容：通过对问题的讨论和转化，最后用正弦定理来证明三重向量积的公式——(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b。

首先，根据叉乘的定义，a、b、a?b可以构成一个右手系，而且对公式的观察与分析我们发现，在公式中，a与b是等价的，所以我们不妨把a、b、a?b放在一个空间直角坐标系中，让a与b处于oxy面上，a?b与z轴同向。如草图所示：

其中，向量c可以沿着z轴方向与平行于oxy平面的方向分解，即：

c?cz?cxy

将式子带入三重向量积的公式中，发现，化简得：

（a?b）?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b这两个式子等价

现在我们考虑(a?b)?c刚好被a与b反向夹住的情况，其他的角度情况以此类推。

由图易得，(a?b)?c与a、b共面，a与b不共线，不妨设(

a?b)?c?xa?yb，

a,cxy

,?),b,cxy

?(0,

)，所以：

在三角形中使用正弦定理，得

a?b）?csin[?-a,b]

?sin[

sin[a,cxy?

?k]

?b,cxy?

又因为a?b）?c?abcsina,b

所以，解得k=abc，于是解得：

x= bcxycosb,cxyy??acxycosa,cxy

?b?cxy ??a?cxy

由图示和假定的条件，(a?b)?c在a和b方向上的投影皆为负值，所以x，y都取负值，

所以，

（a?b）?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b

其他的相对角度关系，以此类推，也能得到相同的答案，所以：

(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b，命题得证。

小结论：当直观解答有困难时，可以通过分析转化的方法来轻松地解决。

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