第一篇：切比雪夫不等式证明
切比雪夫不等式证明
一、
试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。
分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此
1000次试验中出现正面h的次数服从二项分布.
解:设x表示1000次试验中出现正面h的次数,则x是一个随机变量,且
~xb(1000,1/2).因此
500
2
1
1000=×==npex,
250)
2
答题完毕，祝你开心!
1
1(
2
1
1000)1(=××==pnpdx,
而所求的概率为
}500600500400{}600400{<<=<}100100{<<=exxp
}100{<=exxp
975.0
100
1
2
=≥
dx
.
二、
切比雪夫(chebyshev)不等式
对于任一随机变量x,若ex与dx均存在,则对任意ε>0,
恒有p{|x-ex|>=ε}<=dx/ε^2或p{|x-ex|<ε}>=1-dx/ε^2
切比雪夫不等式说明，dx越小，则p{|x-ex|>=ε}
越小，p{|x-ex|<ε}越大，也就是说，随机变量x取值基本上集中在ex附近，这进一步说明了方差的意义。
同时当ex和dx已知时，切比雪夫不等式给出了概率p{|x-ex|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量x的具体概率分布，而只与其方差dx和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。
切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过k倍标准差的数据占的比例至多是1/k^2。
在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：
与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4
与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9
与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16
……
与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/k^2
举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分(与平均相差3个标准差以上)的人，数目不多于4个(=36*1/9)。
设(x,σ,μ)为一测度空间，f为定义在x上的广义实值可测函数。对於任意实数t>0，
一般而言，若g是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有
上面的陈述，可透过以|f|取代f，再取如下定义而得：
概率论说法
设x为随机变数，期望值为μ，方差为σ2。对于任何实数k>0，
改进
一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子：
这个分布的标准差σ=1/k，μ=0。
当只求其中一边的值的时候，有cantelli不等式：
证明
定义，设为集的指标函数，有
又可从马尔可夫不等式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变数y和正数a有pr(|y|leopeatorname{e}(|y|)/a。取y=(x?μ)2及a=(kσ)2。
亦可从概率论的原理和定义开始证明。
第二篇：切比雪夫不等式的证明(离散型随机变量)
设随机变量x有数学期望?及方差?，则对任何正数?，下列不等式成立 2
?2
p?x?e(x)????2 ?
证明：设x是离散型随机变量，则事件x?e(x)??表示随机变量x取得一切满足不等式xi?e(x)??的可能值xi。设pi表示事件x?xi的概率，按概率加法定理得
p?x?e(x)????
xi?e(x)???pi
这里和式是对一切满足不等式xi?e(x)??的xi求和。由于xi?e(x)??，即?xi?e(x)?2??2xi?e(x)??，所以有2?2?1。
2?xi?e(x)?又因为上面和式中的每一项都是正数，如果分别乘以?2，则和式的值将增大。
于是得到
p?x?e(x)????
xi?e(x)???pi?xi?e(x)????xi?e(x)??22pi?1
?2xi?e(x)????xi?e(x)?2pi
因为和式中的每一项都是非负数，所以如果扩大求和范围至随机变量x的一切可能值xi求和，则只能增大和式的值。因此
p?x?e(x)????1
?2??x?e(x)?i
i2pi
上式和式是对x的一切可能值xi求和，也就是方差的表达式。所以，
?2
p?x?e(x)????2 ?
第三篇：经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式
mathwww.bsmz.netportant www.bsmz.netbers. after the full understanding of the chebyshev’s inequality, finally, www.bsmz.net1?m2?????mn时，就是切比雪夫不等式. nnnn
注意：切比雪夫与推论3等号成立的条件均为a1?a2?????an,b1?b2?????bn中至少一组成立.
二、切比雪夫不等式的应用
1、构造两组数证明不等式.此类问题最关键、也是最难的步骤就是构造，选择两组数时往往需要很强的技巧.
例1、已知0?a?b?c?d?e,例2、设xi?r?(i?1,2,???,n)，
n
n
?(n?1)i?1
ad?cd?cb?be?ea?.求证：. a?1?5
?x
i?1
n
i
?1
求证：
i?1
例3、设xi?r?(i?1,2,???,n)，k?1.
n
1n1nxik?1
求证：?（201*，女子数学奥林匹克） xi??k???1?xx1?xi?1i?1ii?1ii?1i
n
2、去分母.能用切比雪夫不等式去分母的分式不等式，往往当变量排序后，分式的值也可以排序.一般的，当分母的值与分式的值都能排序时，可考虑用这种方法.
ak3
?（第四届中国东南） 例4、设a,b,c?0,abc?1.求证：对整数k(k?2),?
b?c2
例5、设a,b,c?0,a?b?c?1.求证：
?
1bc?a?
1a
?
27
（201*，塞尔维亚） 31
例6、a,b,c?0，
?a?b?1?1.求证：a?b?c?ab?bc?ca（201*，罗马尼亚）
12
3、极值问题中的化简作用.在多元极值问题中，恰当地运用切比雪夫不等式可以将代数式简化，有助于问题的解决.
例7、给定实数c?(,1).求最小的常数m，使得対任意的整数n?2及实数
nnm
1n
只要满足?kak?c?ak，总有?ak?m?ak，其中，0?a1?a2?????an，m??cn?
nk?1k?1k?1k?1
为不超过实数cn的最大整数.（201*，中国数学奥林匹克）. 例8、给定正整数r,s,t，满足1?r?s?t，对满足条件
xjxj?1
?1?
s?t
(j?1,2,???,n)的所j?t
?j(j?1)???(j?s?1)x
有正实数x1,x2,???,xn，求m?
n
j
?(j?r)???(j?s?1)x
j?1
j?1n
的最小值.
j
练习题
x33
1、 设x,y,z?r?,xyz?1.求证：??（第39届imo预选题）
(1?y)(1?z)4
（提示：利用切比雪夫去分母，在用均值不等式及切比雪夫不等式推论）
2、 设设为u，v，w正实数，满足条件u?vwu??1，试求u+v+w的最小值． （201* 第三届女子 五）
（提示：由切比雪夫不等式得3、 设a,b,c?0,
??
u?.
?3
a???a,a?b?c求证：ab2c3?1
1222cba23222c（提示：abc?abc??abc(??)由切比雪夫得 a3abc
1222cba122211112
abc(??)?abc(c?a?b)(??)?(ab?bc?ca)） 3abc9abc9
4、 设k是给定的非负整数.求证：对所有满足x?y?z?1的正实数x,y,z，不等式
xk?21
??xk?1?yk?zk7成立，并给出等号成立的条件.
（201*塞尔维亚数学奥林匹克）
（提示：当k?0时易证.当k?1时，不妨设x?y?z，则不难得到
xk?2yk?2zk?2?k?1k?k?1k
k?1kkkx?y?zy?z?xz?x?yk
，
xk?1?yk?zk?yk?1?zk?xk?zk?1?xk?yk由切比雪夫及其推论可证）
5、 设x1,x2,???,xn是n(n?2,n?n?)个非负实数，且求x1?4x2?????nxn的最大值. （提示：设si?
?x
i?1
n
i
?n,?ixi?2n?2
i?1
n
?x
j?i
n
j
.则x1?4x2?????nxn?s1?3s2?????(2n?1)sn由切比雪夫得
(n2?1)(s2?????sn).所以，最大值为n2?2 n?1
n?2n?2
,x2?x3?????xn?1?0,xn?当x1?n?时，取得等号） n?1n?13s2?????(2n?1)sn?
（补）在锐角三角形中，证明：
?sina??sin2a
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