从狄青的100枚铜币谈起 ——浅谈条件概率教学过程的设计
汕头市金山中学 林琪
条件概率是人教A版选修2-3第二章2.2.1的内容，是学生在已学习古典概型与几何概型的基础上又一类型的概率问题。条件概率是概率论中的一个重要概念，它是推导独立事件概率公式的前提，也是继续学习事件的独立性等概率知识的基础，正确理解概念是解题的关键，所以学好这一节，对后续概率的学习有着铺垫作用。而条件概率又是比较难理解的概念，在新课的讲授过程学生总会有这样或那样的疑惑。下面我就如何把条件概率这节课讲“懂”，使学生真正把知识学好学透彻，浅谈我的一点见解。
1. 寻找条件概率——狄青的100枚铜币
在我们生活的世界上，充满着不确定性，从流星坠落，到大自然的千变万化，从婴儿诞生，到世间万物的繁衍生息，都充满奇异的随机现象。我们能根据现在预测未来吗？或者一切都能心想事成吗？这可以从狄青的100枚铜币谈起。
话说北宋庆历、皇祐年间，大将狄青奉旨征讨侬智高时，来到桂林以南。当时南方有崇拜鬼神的风俗，于是，他拿了100枚铜币向神许愿，说：“如果这次出征能够打败敌人，那么把这些铜币扔到地上，钱面定然会全部朝上。”左右官员都诚惶诚恐，力劝主帅放弃这个念头——因为经验告诉他们，这种尝试是注定要失败的。他们担心最终弄不好，反而会动摇部队的士气。可是，狄青对此概然不理，固执如牛。在千万人的注视下，他突然举手一挥，把铜币全部扔到地上。结果这100枚铜币的面，竟然鬼使神差般全部朝上。这时，全军欢呼，声音响彻山村原野。由于士兵个个认定有神灵护佑，在战斗中奋勇争先，迅速赢得了胜利。最后回师时，狄青的僚属们一看才发现那些铜币的两面都是一样的。
实际上，聪明的狄青便是注意到人们在观察随机现象时，往往过于相信自身的经验，而忽视了前提条件。对于狄青来说，100个钱面全部朝上，原本是个必然事件，但在别人看来，却是几乎不可能出现的。因此，观察一种现象，不能忽视它的前提。在一种前提下的随机事件，在另一种前提下可能成为必然事件。同样地，在一种前提下的必然事件，在另一种前提下也可能不出现。可见，前提不同的话，随机事件的概率可能发生变化。这也便是我们所要研究的条件概率。
2. 初识条件概率——抽签先后概率一样？
抽签是生活常见的概率问题，也是条件概率中最常见的例子。抽签先后是否公平，也即各人抽到奖票的概率是否相等，大体有如下一些看法：
(1) 先抽比后抽可能性大。第一人抽的时候，奖票还在；假如奖票被第一个人抽去了，那后面的人就根本不用抽了。
(2) 后抽比先抽可能性大。先抽的人概率小，所以先难抽到奖票，而对第二个人来说，这时签纸总数减少了一张，所以抽中的概率变大。
(3) 先后抽的可能性一样。当每个人抽完签之后都不看或者看了不声张，每个人拿到奖票的可能性是一样的。
这些疑惑估计不止学生存在，或许连一些大人也会觉得很奇怪。“数学来源于生活，高于生活”，那如何让学生从数学的角度全面来理解此问题呢？实际上，这是与条件概率相关的内容，在此，我们可以借助概率的知识，提出以下问题。
例：假设三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三位同学无放回地抽取。
(1) 可用什么模型来表述这个随机试验？
(2) 最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小？如何解释？
(3) 如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？如何解释？
根据学生的生活体验和之前的概率知识，学生可以快速地得出答案，但至于为何是这样的结果，学生也只有一个感性认识。如果在此没有认真引导学生利用已有的知识进行分析，而直奔下一个主题——条件概率的概念，那会有欲速则不达的效果。因此，我把问题分成三个小问题，循序渐进，让知识在学生的最近发展区发生，使学生“跳一跳”可以“摘到桃子”。
大部学生都知道每位同学都有的概率抽到中奖奖券，可以想到利用古典概型来描述此问题，因此在求解事件的概率时的方法便是列出基本事件。分析如下：
若抽到中奖奖券用表示，没有抽到用表示，那么三名同学的抽奖结果可记为，用B表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，则，由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为。
而当第一名同学没有抽到中奖奖券的时候，则中奖只可能出现在另外两名同学身上，即能出现的基本事件只有，所以最后一名同学的中奖概率也变大为。用A表示事件“第一名同学抽到中奖奖券”，则。这里，我们可以称此时的概率为在第一名同学没有抽到奖券的条件A下，最后一名同学的中奖B事件下的概率，记为。
这样，我们通过对抽奖例子的细致引导，可以使学生对抽签的概率有更全面的了解，也形成对条件概率的初步认识：每一个随机实验都是在一定条件下进行的，而条件概率是指当试验结果的部分信息已经知道的条件下进行的，即在原随机实验的条件下再加上一些附加信息。
另外借助抽奖的模型，学生可以明白在已知第一名同学没有抽到中奖奖券的时候，原来考虑的样本空间里的一些基本事件不可能发生，从而原来的样本空间缩小为可能发生的已知的条件事件A，而此时若要考虑B事件的发生概率，但只能在可能发生的事件A的基础来考虑。这可以帮助学生形成计算条件概率的基本方法，通过缩小样本空间来考虑。在此处由于抽签问题是古典概型，可以计算可能发生的基本事件数来求解，即。
3. 理解条件概率——骰子中的学问大
一个概念的形成，单纯从一个例子是很难讲述清楚，特别是条件概率这个难理解的概念，会略显单薄。下面我们还可以从学生很熟悉的掷骰子的例子来说明。此例相对于抽签的例子有一个优点，便是相对复杂一点，但又有点熟悉。抽签的例子中事件B是事件A的子事件，在求解概率时，相对比较容易计算，而且不太懂的情况下，也能根据直观认识求解出结果。下面掷骰子的例子可以从多方面来帮助学生形成更深层的概念，而且还能帮助学生理清积事件与条件概率的关系，避免出现混淆。
例：投掷红、蓝两颗骰子，如果用x代表红骰子所得点数，用y代表蓝骰子所得点数，这个随机试验的基本事件空间可以怎样表示？
（1）事件A=“蓝色骰子的点数为3或6”，则P(A)=________
（2）事件B=“两颗骰子的点数之和大于8”，则P(B)=______
（3）事件C=“蓝色骰子的点数为3或6且两颗骰子的点数之和大于8”，则P(C)=__________
（4）事件D=“已知蓝色骰子的点数为3或6的前提下，两颗骰子的点数之和大于8”，则P(D)=___________
此问题在设置的过程中，充分考虑了学生的基础，从细处着手，前三个问题帮助学生回顾古典概型的概率求法以及积事件的知识，为下面学习新知识做好知识方面的铺垫。同时借助了坐标系来表示这个基本事件空间，数形结合解决此问题。
条件概率与积事件概率在概率论的运算或应用中容易混淆，这两种事件的概率既有本质的区别又存在一定的联系。对于条件概率和积事件概率，如果不能从本质上把它们的区别搞清楚，那么就会导致在解题或实际应用中常常把应属于积事件概率的问题错误地当成条件概率的问题，有时出现了错误还不易被发现。因此，在此设计了第（3）题的设计意图是让学生明确积事件的概念，为后面学习扫清障碍。为了让学生有深刻和形象直观的印象，我们还可以让学生用符号语言及图形语言来描述一下事件C。
第（4）题，可以引导学生类比之前抽签例子，从图形来得出只能在A可能发生的情况下来研究B的概率，利用缩小样本空间的观点来算概率。从这里可以看出条件概率实际上是仅局限于事件A这个范围，来考查事件B发生的概率，而事件AB则是在整个样本空间来考虑。此处类比两个概率的求解过程，体现了新旧知识的联系与区别，符合学生的认知规律，同时深化了对条件概率概念的理解。
同时还可以让学生借助此题，观察一下这三个概率之间的关系，得出条件概率的另外一种求解方法，即。由此得出条件概率的一般求解方法，适用于非古典概型。
由于本题比较有代表性，我们可以从中分析得出条件概率的相关性质。由之前的两个例子可以得出，如果学有余力的话，还可以借助本题，构造不同的条件来研究一下与之间的大小关系。如：事件A=“蓝色骰子的点数为3”，事件B=“蓝色骰子的点数为6”，此时。这样可以使学生对条件概率有更深层次的了解。
4. 应用条件概率——生男生女概率一样？
在日常生活中，条件概率的应用还是比较广泛的。如：
例题：一个家庭中有两个小孩。假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，你能算一下另一个小孩是男孩的概率有多大吗？
这个问题也是一个难点，可以让学生进行讨论，在交流中感悟知识，解决问题。不妨记基本事件空间为，A=“其中一个是女孩”，B=“其中一个是男孩”，下面把学生讨论的一些结果收集如下：
(1) 容易受生物学知识干扰，得生男孩的概率是。实际上学生没有把题目读清楚，如果题目变成是“已知这个家庭第一个小孩是女孩，问第二个是男孩的概率多大”，那当然是。但本题却是在已经有了两个小孩，在已经知道其中一个是女孩的条件下，求另一个小孩是男孩的概率，而且这一个女孩也不知道排行第几。
(2) 利用缩小样本空间的方法，计算基本事件空间所含基本事件上出错，即把（男，女）与（女，男）视为同一个事件（一男，一女）。学生们自己找出问题所在：等可能性。
(3) 利用定义求解时概率出错，即，，从而得出。问题出在：事件A实际为“至少有一个是女孩”，在算A的基本事件时，如果直接借助挑出某一个是女生，则也是犯了与(2)同样的错误。当然把A的基本事件算成也是错误的，里面出现了重复计算的问题。“至少”的问题正确的求解方法应该从正面分类或反面求解。
向学生传授概率知识，这无疑是概率课的重要任务。问题是如何把概率课讲“懂”，使学生真正把知识学好。因此，从条件概率的教学过程中，要解决学生的疑惑，形成概念，教师要从多方面进行细致考虑，并非简单地把知识、公式告诉学生就行。概率知识有着独特的背景知识，所以在备课时要尽量发掘有关概论、定理、结论的发现过程，了解那些被写到科普文章里去的数学史料，如此节课的狄青掷100枚硬币的故事。在概念形成教学中，教师还必须让学生进行充分的自主活动，使他们有机会经历概念产生的过程，同时引导学生对认知结构中的新旧概念进行对比分化，并将新概念纳入到已有的概念系统中去。
数学新课程中，概率可以说是最让教师感到“头疼”的内容之一。这个具有独特思维方式的领域既难教又难学，如何更好地照顾这个“新生儿”，是广大教师将会一直思索的问题，前路漫漫，我们将上下求索……
参考文献：
【1】 张远南．概率和方程的故事．中国少年儿童出版社．2005.7
【2】 林宝磊．运算作主线，概率学习可以更美的．
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