高一数学知识点总结
必修一一、集合
一、集合有关概念1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性如:世界上最高的山
(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:{}如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,
北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法:列举法与描述法。注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R1)列举法:{a,b,c}
2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的
方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}
3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}4)Venn图:4、集合的分类:
(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合2
(3)空集不含任何元素的集合例:{x|x=-5}
二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集
注意:AB有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.“相等”关系:A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)2
实例:设A={x|x-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即:①任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
③如果AB,BC,那么AC④如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。nn-1
有n个元素的集合,含有2个子集,2个真子集
二、函数
1、函数定义域、值域求法综合
2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略3、恒成立问题的求解策略4、反函数的几种题型及方法
5、二次函数根的问题一题多解&指数函数y=a^x
a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q)(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q)(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q)指数函数对称规律:
1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称
3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称&对数函数y=loga^x
如果a0,且a1,M0,N0,那么:1loga(MMN)logaM+logaN;○
2loga○logaM-logaN;n3○logaMNnlogaM(nR).注意:换底公式logcblogab(a0,且a1;c0,且c1;b0).幂函数y=x^a(a属于R)logca1、幂函数定义:一般地,形如yx(aR)的函数称为幂函数,其中为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);(2)0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,)上是增函数.特别地,当1时,幂函数的图象下凸;当01时,幂函数的图象上凸;(3)0时,幂函数的图象在区间(0,)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.
方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数yf(x)(xD),把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。
2、函数零点的意义:函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根,亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。
即:方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.3、函数零点的求法:
1(代数法)求方程f(x)0的实数根;○
2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数yf(x)的图○
象联系起来,并利用函数的性质找出零点.4、二次函数的零点:2bxc(a0).二次函数yax2(1)△>0,方程axbxc0有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点.2(2)△=0,方程axbxc0有两相等实根,二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.2(3)△<0,方程axbxc0无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点.
高一数学知识总结数性质三、平面向量
向量:既有大小,又有方向的量.数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度.零向量:长度为0的向量.
单位向量:长度等于1个单位的向量.相等向量:长度相等且方向相同的向量&向量的运算加法运算
AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB,则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
减法运算
与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,|λa|=|λ||a|,当λ>0时,λa的方向和a的方向相同,当λ<0时,λa的方向和a的方向相反,当λ=0时,λa=0。设λ、μ是实数,那么:(1)(λμ)a=λ(μa)(2)(λμ)a=λaμa(3)λ(a±b)=λa±λb(4)(-λ)a=-(λa)=λ(-a)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
向量的数量积
已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积,记作a?b,θ是a与b的夹角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。a?b的几何意义:数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。四、三角函数
1、善于用“1“巧解题
2、三角问题的非三角化解题策略3、三角函数有界性求最值解题方法4、三角函数向量综合题例析5、三角函数中的数学思想方法
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:ysinxytanxycosx函图象
定义域值域最值周期性奇偶性单调性
RR1,1
当x2kk当x2kk时,
ymax时,21;当ymax1;当x2kx2kk时,ymin1.ky1.2min时,
21,1
xxk,k
2R既无最大值也无最小值
2奇函数
奇函数
在偶函数
对称性
必修四
角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称为第几象限角.k36090,k第一象限角的集合为k360,k第二象限角的集合为k36090k360180第三象限角的集合为k360180k360270,k第四象限角的集合为k360270k360360,k终边在x轴上的角的集合为k180,k终边在y轴上的角的集合为k18090,k终边在坐标轴上的角的集合为k90,k3、与角终边相同的角的集合为*k360,k4、已知是第几象限角,确定n所在象限的方法:先把各象限均分n等份,再从x轴的正半
2k,2k在2k,2kk上232k上是增函数;在是增函数;在2k,2k2k,2kk上是减函数.22k上是减函数.对称中心k,0中心称k对对称轴xkkk,0k
x2k对称轴2k
,k22k上是增函数.
k,0k对称中心无对称轴2在kn轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则原来是第几象限对应的标号即为区域.
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.口诀:奇变偶不变,符号看象限.
公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα公式二:
设α为任意角,πα的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα
公式三:
任意角α与-α的三角函数值之间的关系:sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα
公式六:
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα
(以上k∈Z)
其他三角函数知识:同角三角函数基本关系
⒈同角三角函数的基本关系式倒数关系:
tanαcotα=1sinαcscα=1cosαsecα=1商的关系:
sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系:
sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)两角和差公式
⒉两角和与差的三角函数公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tanα+tanβtan(α+β)=1-tanαtanβ
tanα-tanβtan(α-β)=1+tanαtanβ
n终边所落在的
倍角公式
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)2tanαtan2α=1-tan^2(α)半角公式
⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)1-cosαsin^2(α/2)=21+cosαcos^2(α/2)=21-cosαtan^2(α/2)=1+cosα万能公式⒌万能公式
2tan(α/2)sinα=1+tan^2(α/2)
1-tan^2(α/2)cosα=1+tan^2(α/2)
2tan(α/2)tanα=1-tan^2(α/2)和差化积公式
⒎三角函数的和差化积公式
α+βα-βsinα+sinβ=2sin----cos---22
α+βα-βsinα-sinβ=2cos----sin----22
α+βα-βcosα+cosβ=2cos-----cos-----22
α+βα-βcosα-cosβ=-2sin-----sin-----22积化和差公式
⒏三角函数的积化和差公式
sinαcosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]cosαcosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαsinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]
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高一数学知识总结
必修一一、集合
一、集合有关概念1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性如:世界上最高的山(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集
合3.集合的表示:{…}如:{我校的篮球队员},{太平洋,
大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队
员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法与描述法。注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
1)列举法:{a,b,c……}
2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大
括号内表示集合的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}4)Venn图:
4、集合的分类:
(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合
2(3)空集不含任何元素的集合例:{x|x=-5}
二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集
注意:AB有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与
B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作
B或BAA2.“相等”关系:A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)
2实例:设A={x|x-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”
即:①任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子
集,记作AB(或BA)
③如果AB,BC,那么AC④如果AB同时BA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
nn-1
有n个元素的集合,含有2个子集,2个真子集
二、函数
1、函数定义域、值域求法综合
2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略3、恒成立问题的求解策略4、反函数的几种题型及方法
5、二次函数根的问题一题多解&指数函数y=a^x
a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q)(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q)(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q)指数函数对称规律:
1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称
3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称&对数函数y=loga^x
如果a0,且a1,M0,N0,那么:1loga(M〃N)logaM+logaN;○2log○
MaNlogaM-logaN;
3logaMnnlogaM(nR).○
注意:换底公式
logabloglogccbac0,b0)(a0,且a1;且c1;.
幂函数y=x^a(a属于R)
1、幂函数定义:一般地,形如yx(aR)的函数称为幂函数,其中为常数.2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,)上是增函数.特别地,当1时,幂函数的图象下凸;当01时,幂函数的图象上凸;(3)0时,幂函数的图象在区间(0,)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数yf(x)(xD),把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。2、函数零点的意义:函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根,亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。即:方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.3、函数零点的求法:
1(代数法)求方程f(x)0的实数根;○
2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函○
数yf(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.4、二次函数的零点:
二次函数yax2bxc(a0).
(1)△>0,方程ax2bxc0有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程ax2bxc0有两相等实根,二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程ax2bxc0无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点.三、平面向量
向量:既有大小,又有方向的量.数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度.零向量:长度为0的向量.
单位向量:长度等于1个单位的向量.相等向量:长度相等且方向相同的向量&向量的运算加法运算
AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB,则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
减法运算
与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,|λa|=|λ||a|,当λ>0时,λa的方向和a的方向相同,当λ<0时,λa的方向和a的方向相反,当λ=0时,λa=0。设λ、μ是实数,那么:(1)(λμ)a=λ(μa)(2)(λμ)a=λaμa(3)λ(a±b)=λa±λb(4)(-λ)a=-(λa)=λ(-a)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
向量的数量积
已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积,记作a?b,θ是a与b的夹角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。a?b的几何意义:数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。四、三角函数
1、善于用“1“巧解题
2、三角问题的非三角化解题策略3、三角函数有界性求最值解题方法4、三角函数向量综合题例析5、三角函数中的数学思想方法
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:函ycosxytanx
性质
数ysinx图象
定义域值域最值
RRxxk,k
2R1,1
当x2k21,1
k当x2kk时,
ymax1;当x2k
时,ymax1;当
既无最大值也无最小值x2k2
1.
k时,ymin1.
k时,ymin周期性奇偶性
22奇函数偶函数奇函数
在2k2,2k2
在2k,2kk单k上是增函数;在上是增函数;在在k,k
22调
2k,2k
3性k上是增函数.2k2,2k2k上是减函数.
k上是减函数.
对称中心对
称中心对称中心对k,0k称
对称性
xk轴
k,0k
2k,0k22k对称轴xkk
无对称轴
必修四
角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称为第几象限角.
第一象限角的集合为k360k36090,k第二象限角的集合为k36090k360180,k第三象限角的集合为k360180k360270,k第四象限角的集合为k360270k360360,k终边在x轴上的角的集合为k180,k终边在y轴上的角的集合为k18090,k终边在坐标轴上的角的集合为k90,k3、与角终边相同的角的集合为k360,k4、已知是第几象限角,确定
nn所在象限的方法:先把各象限均分n等n*份,再从x轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则原来是第几象限对应的标号即为
终边所落在的区域.
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.
口诀:奇变偶不变,符号看象限.
公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα公式二:
设α为任意角,πα的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα
公式三:
任意角α与-α的三角函数值之间的关系:sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六:
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα
(以上k∈Z)
其他三角函数知识:同角三角函数基本关系
⒈同角三角函数的基本关系式倒数关系:
tanαcotα=1sinαcscα=1cosαsecα=1商的关系:
sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系:
sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)
两角和差公式
⒉两角和与差的三角函数公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tanα+tanβ
tan(α+β)=1-tanαtanβ
tanα-tanβ
tan(α-β)=1+tanαtanβ
倍角公式
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
2tanα
tan2α=1-tan^2(α)
半角公式
⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)
1-cosα
sin^2(α/2)=2
1+cosα
cos^2(α/2)=2
1-cosα
tan^2(α/2)=1+cosα
万能公式⒌万能公式2tan(α/2)
sinα=1+tan^2(α/2)
1-tan^2(α/2)
cosα=1+tan^2(α/2)
2tan(α/2)
tanα=1-tan^2(α/2)
和差化积公式
⒎三角函数的和差化积公式
α+βα-β
sinα+sinβ=2sin----cos---22
α+βα-β
sinα-sinβ=2cos----sin----22
α+βα-β
cosα+cosβ=2cos-----cos-----22
α+βα-β
cosα-cosβ=-2sin-----sin-----22
积化和差公式
⒏三角函数的积化和差公式
sinαcosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]cosαcosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαsinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]
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