北师大版九年级数学上册知识点总结
九（上）数学知识点答案
第一章证明（一）
1、你能证明它吗？
（1）三角形全等的性质及判定
全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、
（2）等腰三角形的判定、性质及推论
性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理
性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。
（4）含30度的直角三角形的边的性质
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2、直角三角形
（1）勾股定理及其逆定理
定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。
（3）直角三角形全等的判定定理
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）3、线段的垂直平分线
（1）线段垂直平分线的性质及判定
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（2）三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。4、角平分线
（1）角平分线的性质及判定定理
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。（2）三角形三条角平分线的性质定理
性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（3）如何用尺规作图法作出角平分线
第二章一元二次方程
1、花边有多宽
（1）整式方程及一元二次方程的概念
整式方程：方程两边都是关于未知数的整式；
一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式。
（2）一元二次方程的一般式及各系数含义
2一般式：ax+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
2、配方法
（1）直接开平方法的定义
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。（2）配方法的步骤和方法
一、移项，把方程的常数项移到等号右边；二、配，方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把原方程化为（x+m）2=n(n≥0)的形式；三、直接用开平方法求出它的解。3、公式法
（1）求根公式b-4ac≥0时，x=
22bb4ac2a2
(2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义
一、将方程化为一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)；二、计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，方程有实数根，否则方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。4、分解因式法
（1）分解因式的概念
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，根据ab=0，那么a=0或b=0，这种解一元二次方程的方法称为分解因式。（2）分解因式法解一元二次方程的一般步骤
一、将方程右边化为零；二、将方程左边分解为两个一次因式的乘积；三、设每一个因式分别为0，得到两个一元二次方程；四、解这两个一元二次方程，它们的解就是原方程的解。5、为什么是0.618（1）什么叫黄金比
线段AB上一点C分线段AB成两条线段AC，BC，若黄金分割点，其中
ACABACAB=
BCAC，则C点叫线段AB的
叫黄金比，其值为0.618。
（2）列一元二次方程解应用题的一般步骤
一、审题；二、设求知数；三、列代数式；四、列方程；五、解方程；六、检验；七、答
第三章证明（三）
1、平行四边行
（1）平行四边形的定义、性质及判定定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
性质：平行四边形的对边分别平行；平行四边形的对边分别相等；平行四边形的对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分。判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边行。（2）等腰梯形的性质及判定
性质：等腰梯形在同一底上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。
判定：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形。（3）三角形中位线定义及性质
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。2、特殊平行四边形
（1）矩形、菱形、正方形、直角三角形的性质及判定
第四章视图与投影
1、视图
（1）三视图的种类及三种视图之间的关系三视图有主视图、左视图和俯视图；三种视图间的关系：主、俯长对正；主、左高平齐；俯、左宽相等；（2）会画圆柱、圆锥、球的三视图
2、太阳光与影子
（1）投影与平行投影的含义、平行投影的性质
一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做投影；由平行光线形成的投影是平行投影。
平行投影的性质：物体上的点以及影子上的对应点的连线互相平行；当物体与投影面平行时，所形成的影子与物体全等；同一时刻，在平行光线下，互相平行的物体的高度与影子长度的比值相等。
（2）物体影长的变化规律，会将影长与相似结合起来进行计算
在太阳光的照射下，不同时刻，物体影子的长短也不一样，早晚影子长，中午影子短。（3）平行投影与视图之间的关系
视图实际上就是该物体在某一平行光线下的投影。3、灯光与影子
（1）中心投影的概念及应用，区别平行投影与中心投影从一点发出的光线形成的投影称为中心投影。（2）视点、视线与盲区的概念
眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线；眼睛看不到的地方称为盲区。
第五章反比例函数
1、反比例函数
（1）反比例函数的概念
一般地，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=函数。反比例函数的自变量x不能为0。（2）掌握求反比例函数的解析式的方法
将一组x,y的值代入解析式中确定k的值即可。
kx的形式，那么称y是x的反比例2、反比例函数的图象与性质（1）反比例函数图象的画法
一般采用描点法：先列表，再描点，再连线。
（2）反比例函数的图象及性质，其表达式与图象的关系，函数值大小的比较（表5-1）3、反比例函数的应用
（1）用反比例函数解决实际问题的一般思路
1、根据问题情境，设出所求的反比例函数表达式；
2、由问题中的已知数据，代入所求表达式，列出方程（或方程组），求出方程的解，确定出待定系数的值，从而确定函数表达式；3、根据函数表达式，去解决实际问题。
（2）反比例函数与正比例函数的区别及综合应用（表5-1）
表5-1
扩展阅读：人教版九年级全册数学知识点总结
第二十一章二次根式
1.二次根式：式子
(a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如
不是最简二次根式，因被开方数中
含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而
，，5，都是最简二次根式。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如它们与
,,就是同类二次根式，因为
=2，=3，的被开方数均为2。
4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。如理化因式。二次根式的性质：1.
(a≥0)是一个非负数,即
≥0;
)=a(a≥0)；
2与，a+与a-，-与+，互为有
2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：(
3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|==
（a
4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即≥0,b≥0）。
5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即=
（a≥0,b>0）。
21.2二次根式的乘除
1.二次根式的乘法
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即都是非负数；（2）
（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0，≥0，
（3）等式
≥0）。
（≥0，
（≥0，≥0）；（≥0，≥0）。
说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、
（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即
≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。
2.二次根式的除法
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即0，在分母中，因此＞0；
（≥0，＞0）。
说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥
（2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）；
（3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。
3.最简二次根式
（1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式；（2）被开方数中不含分母。
21.3二次根式的加减
1.同类二次根式
注：判断几个二次根式是否为同类二次根式，关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式，再观察它们的被开方数是否相同。
（2）合并同类二次根式：合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似，系数相加减，二次根号及被开方数不变。
2.二次根式的加减
（1）二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。（2）二次根式的加减法与多项式的加减法类似，首先是化简，在化简的基础上去括号再合并同类二次根式，同类二次根式相当于同类项。
一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：i）将每一个二次根式都化简成最简二次根式
ii）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组iii）合并同类二次根式
3.二次根式的混合运算
二次根式的混合运算可以说是二次根式乘法、除法、加、减法则的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：
（1）观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数的运算顺序一样，
先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的。
（2）在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”。
（3）观察式中二次根式的特点，合理使用运算律和运算性质，在实数和整式中的运算律和运算性质，在二次根式的运算中都可以应用。
4.分母有理化
（1）我们在前面的学习中研究了分母形如综合起来，常见的有理化因式有：①
形式的分式的分母有理化
，②
的有理化因式为
，③
的有理化因式为
的有理化因式为
因式为
，④的有理化因式为，⑤的有理化
（2）分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。
第二十二章一元二次方程
22.1一元二次方程
在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。
22.2降次解一元二次方程
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法：
用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±m.2、配方法
1.转化：2.系数化3.移项：4.配方：5.变形：6.开方：3、公式法
公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
22.3实际问题与一元二次方程
列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展
从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．
第二十三章旋转
23.1图形的旋转
1.图形的旋转
（1）定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。
（2）生活中的旋转现象大致有两大类：一类是物体的旋转运动，如时钟的时针、分针、秒针的转动，风车的转动等；另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案，如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。
（3）图形的旋转不改变图形的大小和形状，旋转是由旋转中心和旋转角所决定，旋转中心可以在图形上也可以在图形外。
（4）会找对应点，对应线段和对应角。2.旋转的基本特征：
（1）图形在旋转时，图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）图形在旋转时，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等；（3）图形在旋转时，图形的大小和形状都没有发生改变。3.几点说明：
旋转中心的确定分两种情况，即在图形上或在图形外，若在图形上，哪一点旋转过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心；若在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。
23.2中心对称
中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，假如它能够与另一个图形重合，那么这个图形关于这个点对称或中心对称。
中心对称的性质：①关于中心对称的刘遇图形，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。②关于中心对称的刘遇图形是全等形。
中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
对称点的坐标规律：①关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，②关于y轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标不变，③关于原点对称：横坐标、纵坐标都互为相反数。
第二十四章圆第三章圆
1、定义：圆是平面上到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；
②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。
2、点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
①点在圆上d=r；②点在圆内dr。（P56-5，6、P58-16）证明若干个点共圆，就是证明这几个点与一个定点的距离相等。
3、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。（P58-4、P59-9、P61-3、P63-16、P65-15）4、与圆相关的概念：
①弦和直径。弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫做直径。
②圆弧、半圆、优弧、劣弧。圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。
④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。⑦弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。
5、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直
于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
6、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，
那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
7、1°的弧的概念：把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的角都是1°的圆心角，相应的
整个圆也被等分成360份，每一份同样的弧叫1°弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。8、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；（P66-5，7、P68-16）9、确定圆的条件：
①理解确定一个圆必须的具备两个条件：圆心和半径，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。经过一点可以作无数个圆，经过两点也可以作无数个圆，其圆心在这个两点线段的垂直平分线上。
②经过三点作圆要分两种情况：(1)经过同一直线上的三点不能作圆。(2)经过不在同一直线
上的三点，能且仅能作一个圆。定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。10、(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形。（P69-4,5、P70-15）
(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。(3)三角形的外心的性质：三角形外心到三顶点的距离相等。11、直线和圆的位置关系：（P72-3,5）
(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。
(2)相切：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点做切点。
(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
(4)直线与圆的位置关系的数量特征：设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，则
①dr直线L和⊙O相离。
12、切线的总判定定理：经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个。①垂直于切线；②过切点；③过圆心。（P73-13、P74-3、P75-14）
13、和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形内心的性质：(1)三角形的内心到三边的距离相等。(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角。由此性质引出一条重要的辅助线：连接内心和三角形的顶点，该线平分三角形的这个内角。（P77-2、P78-14）
题15：如图，PA是⊙O的切线，割线PBC与⊙O相交于点B、C，PA＝6、PB＝4则BC＝________．
AB的值为________。AC
图514、两圆的位置关系：（P79-6、P81-13）
(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。
(2)外切：两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。这个惟一的公共点叫做切点。
(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这个两个圆相交。
(4)内切：两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个惟一的公共点叫做切点。
(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含。两圆同心是两圆内的一个特例。
(6)两圆位置关系的性质与判定：(1)两圆外离d>R+r；(2)两圆外切d=R+r；(3)两圆相交R-r
24.3正多边形和圆
1、正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形与圆的关系：
(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。
(2)这个圆是这个正多边形的外接圆。
3、正多边形的有关概念：
(1)正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心。(2)正多边形的半径正多边形的外接圆的半径。
(3)正多边形的边心距正多边形中心到正多边形各边的距离。(4)正多边形的中心角正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。
4、正多边形性质：
(1)任何正多边形都有一个外接圆。
(2)正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正n边形的对称轴有n条。
(3)边数相同的正多边形相似。
重点：正多边形的有关计算。
知识讲解
1、正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。
例如：正三角形、正四边形(正方形)、正六边形等等。如果一个正多边形有n条边，那么，这个多边形叫正n边形。
再如：矩形不是正多边形，因为它只具有各角相等，而各边不一定相等；菱形不是正多边形，因为，它只具有各边相等，而各角不一定相等。
2、正多边形与圆的关系。正多边形与圆有密切关系，把圆分成n(n≥3)等份，依次连结分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。
相邻分点间的弧相等，则所对的弦(正多边形的边)相等，相邻两弦所夹的角(多边形的每个内角)都相等，从而得出，所连的多边形满足了所有边都相等，所有内角都相等，从而这个多边形就是正多边形。如：将圆6等分，即
，则AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA。
观察∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F所对的弧可以发现都是相等的弧，所以，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F。
所以，将一个圆6等分，依次连结各分点所得到的是⊙O的内接正六边形。
3、正多边形的有关计算。
(1)首先要明确与正多边形计算的有关概念：即正多边形的中心O，正多边形的半径Rn就是其外接圆的半径，正多边形的边心距rn，正多边形的中心角αn，正多边形的边长an。(2)正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，等腰三角形的顶角就是正n边形的中心角都等于
；如果再作出正n边形各边的边心距，这些边心距又把这n个等腰
三角形分成了2n个全等的直角三角形。
如图：是一个正n边形ABCD根据以上讲解，我们来分析RtΔAOM的基本元素：斜边OA正n边形的半径Rn；
一条直角边OM正n边形的边心距rn；
一条直角边AM正n边形的边长an的一半即AM＝an；锐角∠AOM正n边形的中心角αn的一半即∠AOM＝锐角∠OAM正n边形内角的一半即∠OAM＝
；[(n－2)180°]；
可以看到在这个直角三角形中的各元素恰好反映了正n边形的各元素。因此，就可以把正n边形的有关计算归纳为解直角三角形的问题。4、正多边形的有关作图。(1)使用量角器来等分圆。(2)用尺规来等分圆。
对于一些特殊的正n边形，还可以用圆规和直尺作出图形。①正四、八边形。
在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交逐次倍增的正多边形。
②正六、三、十二边形的作法。
于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，
分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分。
5、正多边形的对称性。
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心，如果正多边形有偶数条边，那么，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。如：正三角形、正方形。
24.4弧长和扇形面积
知识点1、弧长公式
因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是
，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，
说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。
知识点2、扇形的面积
如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积扇形面积是
，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是
，扇形面积。
，所以圆心角为1°的
。，所以又得到扇形面积的
又因为扇形的弧长另一个计算公式：
知识点3、弓形的面积
（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。（2）弓形的周长＝弦长＋弧长（3）弓形的面积
如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。
当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，
当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，
例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是（）（结果用表示）
分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以
，所以
注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。圆周长弧长圆面积扇形面积
∠AOC，所以∠AOC＝
公式（2）扇形与弓形的联系与区别（2）扇形与弓形的联系与区别图示面积知识点4、圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2
，圆锥的侧面积
，圆锥的全面积
说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。知识点5、圆柱的侧面积
圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积
，圆柱的全面积
知识小结：
圆锥与圆柱的比较名称圆锥
圆柱
图形图形的形成过程图形的组成侧面展开图的特征面积计算方法
由一个直角三角形旋转得到的，如Rt△SOA绕直线SO旋转一周。一个底面和一个侧面扇形由一个矩形旋转得到的，如矩形ABCD绕直线AB旋转一周。两个底面和一个侧面矩形第二十五章概率初步
25.1随机事件与概率
1．随机试验与样本空间
具有下列三个特性的试验称为随机试验：
(1)试验可以在相同的条件下重复地进行；
(2)每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果；(3)每次试验前不能确定哪一个结果会出现．
第二十六章二次函数
1、定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。2、二次函数yax2的性质：
（1）抛物线yax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴；（2）函数yax2的图像与a的符号关系：
①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点。
2（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax（a0）。（P21-12）
3、二次函数yaxbxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线。4、二次函数yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，
222b4acb2，k其中h。2a4a5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc。
6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。
222
①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同。
②平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0。（P23-9,10）
7、顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。8、求抛物线的顶点、对称轴的方法
b4acb2b4acb2（，）（1）公式法：yaxbxcax，∴顶点是，2a4a2a4ab对称轴是直线x。（P26-9）
2a2（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线xh。
22（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。
注意：用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失。题11：抛物线y＝x2＋6x＋4的顶点坐标是()A．(3，-5)B．(-3，-5)C．(3，5)D．(-3，5)9、抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用（P29-例2,1,10）（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样。
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线。
，故：①b0时，对称轴为y轴；②0（即a、b同号）时，对称轴在y2aa
b轴左侧；③0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧。
a（3）c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置。
x当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点（0，c）：①c0，抛物线经过原点；②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴。以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则10、几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式开口方向b0。ayax2yax2k对称轴x0（y轴）顶点坐标（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)yaxh2yaxhk2当a0时开口向上当a0时开口向下x0（y轴）xhxhyaxbxc2bx2ab4acb2，()2a4a
11、用待定系数法求二次函数的解析式（P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16）（1）一般式：yaxbxc。已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式。（2）顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
22（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2。
题12：已知关于x的一元二次方程x-2(m-1)x＋(m-1)＝0，有两个实数根x1、x2，且x1＋x2＝4．求m的值。
2222
x25x632题13：先化简，再求值：11，其中x＝32x33x3xx1
题14：在平面直角坐标系中，B(3＋1，0)，点A在第一象限内，且∠AOB＝60°，∠ABO＝45°。(1)求点A的坐标；
(2)求过A、O、B三点的抛物线解析式；
(3)动点P从O点出发，以每秒2个单位的速度沿OA运动到点A止，①若△POB的面积为S，写出S与时间t(秒)的函数关系；②是否存在t，使△POB的外心在x轴上，若不存在，请你说明理由；若存在，请求出t的值。
图4
（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：
若抛物线yax2bxc与x轴两交点为Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程
ax2bxc0的两个根，故：
bcx1x2,x1x2aaABx1x2x1x22x1x22b24acb4c4x1x2
aaaa2
7.特殊值的形式
①当x=１时y=a+b+c②当x=-1时y=a-b+c③当x=2时y=4a+2b+c④当x=-2时y=4a-2b+c
26．1用函数观点看一元二次方程
1.如果抛物线yax2bxc与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当xx0时，函数的值是0，因此xx0就是方程ax2bxc0的一个根。
2.二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数
根。
26．2实际问题与二次函数
在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。
第二十七章相似
27．1图形的相似
概述
如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。判定
如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。相似比
相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为1时，相似的两个图形全等。性质
相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。相似多边形的周长比等于相似比。
相似多边形的面积比等于相似比的平方。
27．2相似三角形
判定
1.两个三角形的两个角对应相等2.两边对应成比例,且夹角相等3.三边对应成比例
4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。例题
∵∠A=∠A";∠B=∠B"
∴△ABC∽△A"B"C"
性质
1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方
27．3位似
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
性质
位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。
位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。
位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。注意
1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；
2、两个位似图形的位似中心只有一个；
3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；
5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。
第二十八章锐角三角函数
28．1锐角三角函数
锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边；余切（cot）等于邻边比对边
正切与余切互为倒数互余角的三角函数间的关系。
sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.同角三角函数间的关系
平方关系：tanα=sinα/cosα，，sin2α+cos2α=1积的关系：倒数关系：tanαcotα=1sinαcscα=1cosαsecα=1直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,余切等于邻边比对边三角函数值
（1）特殊角三角函数值
（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（3）④tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。（i）锐角三角函数值都是正值
（ii）当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，0≤sinα≤1,1≥cosα≥0,
当角度在0°0.特殊的三角函数值
28．2解直角三角形
勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）
a^2+b^2=c^2,其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。
勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4和5的倍数。
常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；等等.
直角三角形的特征
⑴直角三角形两个锐角互余；
⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
⑶直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半；
⑷勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即：
222
在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则a+b=c；
⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，
222
则这个三角形是直角三角形，即：在△ABC中，若a+b=c，则∠C＝90°；
222
A⑹射影定理：AC=ADAB,BC=BDAB,CD=DADB．
锐角三角函数的定义：
c如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
b∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c,
ADCBaba则sinA=,cosA=,tanA=,
ccb
解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）
222
⑴三边之间的关系：a+b=c．
⑵两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°．．⑶边角之间的关系：sinA=
CaB
A的邻边bA的对边a＝．＝,cosA=
斜边c斜边ctanA=
A的对边aA的邻边b＝,cotA=＝．
A的邻边bA的对边a⑷解直角三角形中常见类型：
①已知一边一锐角．②已知两边．
③解直角三角形的应用．
1题6：计算：21213+
0cot45cos60tan60
cos30题7：小红的运动服被一个铁钉划破一个呈直角三角形的洞，其中两边分别为1cm和2cm，若用同色形布将此洞全部遮盖，那么这个圆的直径最小应等于()。
A．2cm
B．3cmC．2cm或3cm
D．2cm或5cm
题8：长为12cm的铁丝，围成边长为连续整数的直角三角形，则斜边上的中线为________cm题9：如图2，河对岸有铁塔AB．在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高。
图2
题10：已知：四边形ABCD中，∠B＝∠ADC＝90°，AB＝2、CD＝1、∠A＝60°，求：BC。
第二十九章投影与视图
29．1投影
一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影（projection），照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影（parallelprojection).
由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影（centerprojection)。投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。投影线平行于投影面产生的投影叫做平行投影。
物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。
29．2三视图
三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。
将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图能反映物体的前面形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图能反映物体的左面形状，
还有其它三个视图不是很常用。三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。
特点：一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。主视、俯视长对正
物体的投影
主视、左视高平齐左视、俯视宽相等
在许多情况下，只用一个投影不加任何注解，是不能完整清晰地表达和确定形体的形状和结构的。如图所示，三个形体在同一个方向的投影完全相同，但三个形体的空间结构却不相同。可见只用一个方向的投影来表达形体形状是不行的。一般必须将形体向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。
一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。画法：根据各形体的投影规律，逐个画出形体的三视图。画形体的顺序：一般先实（实形体）后空（挖去的形体）；先大（大形体）后小（小形体）；先画轮廓，后画细节。画每个形体时，要三个视图联系起来画，并从反映形体特征的视图画起，再按投影规律画出其他两个视图。对称图形、半圆和大于半圆的圆弧要画出对称中心线，回转体一定要画出轴线。对称中心线和轴线用细点划线画出。
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