复变函数小结
复变函数小结
关于前两章复数和解析函数部分这里不再总结。复数一块掌握复数表示的三种形式和相关运算。解析函数一块关键是要掌握C-R方程和解析及可导的判断,掌握指数函数、对数函数、幂函数的计算及性质。复变函数积分1参数方程。
2柯西积分定理(条件:f(z)在单连通区域内解析)。
推论1:积分与路径无关。(可使用原函数的方法)推论2:闭合曲线上的积分为0。.
3复合闭路定理(条件:在多连通内及边界上解析)4高阶导数公式(条件:在单(多)连通内及边界上解析)
说明了解析函数区域内部的点处的值可以由边界处的值决定;解析函数具有任意阶导数,各阶导函数仍解析。
级数
1复数数列收敛的充要条件:实部、虚部数列均收敛。
2复数项级数收敛的充要条件:实部、虚部实数项级数均收敛。3绝对收敛与条件收敛。判断绝对收敛的步骤:
实部虚部分离。直接取模。
判断收敛的一般方法:收敛的必要条件、比较判别法、比值判别法或根值判别法。一般是先判断是否为绝对收敛,再判断是否条件收敛(注意莱布尼兹判别法的使用)。4幂级数敛散性判断及收敛半径的求法:阿贝尔定理(不缺项)、比值判别法(缺项)5泰勒级数(记住常用的泰勒级数:exp(x),Ln(x),1/(1-x),sin(x),cos(x)…)6洛朗级数
洛朗级数存在条件:f(z)在圆环域内r重点记忆:
傅利叶变换及其逆变换的定义。
单位脉冲函数的筛选性质(一般形式)。单位阶跃函数u(t)的傅氏变换。正余弦函数的傅氏变换。
e的傅氏变换。
傅氏变换的线性性质(注意tf(t)的傅氏变换为-F’(s)/i)、位移性质(两个公式)、微分性质、积分性质。
卷积的定义、计算公式、卷积定理(两个公式)注:计算卷积要注意成立区间的讨论。拉普拉斯变换重点记忆:
拉普拉斯变换及其逆变换的定义。单位脉冲函数的筛选性质(一般形式)。幂函数tm的拉氏变换。
单位阶跃函数u(t)的拉氏变换。
指数函数e的拉式变换。正余弦函数的拉氏变换。拉氏变换的线性性质、位移性质(两个公式,其中一个个公式也叫延迟性质)、微分性质(注意tf(t)的拉普拉斯变换为-F’(s))、积分性质(注意f(t)/t的拉式变换)。卷积的定义、计算公式、卷积定理。
掌握用反演积分公式计算f(t)。
注:求解拉式逆变换的三种方法:直接法、卷积、留数。掌握用拉式变换法求解微分方程。
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扩展阅读:《复变函数》总结
复变小结
1.幅角(不赞成死记,学会分析)
yarctg,x0x,x0,y0argz2yarctg,x0,y0x,x0,y0yargtg.2x2-∏b.对于P12例题1.11可理解为高中所学的平面上三点(A,B,C)共线所满足的公式:(向量)OC=tOA+(1-t)OB=OB+tBA
c.对于P15例题1.14中可直接转换成X和Y的表达式后判断正负号来确定其图像。
d.判断函数f(z)在区域D内是否连续可借助课本P17定义1.84.解析函数,指数,对数,幂、三角双曲函数的定义及表达式,能熟练计算,能熟练解初等函数方程
a.在某个区域内可导与解析是等价的。但在某一点解析一定可导,可导不一定解析。
b.柯西黎曼条件,自己牢记:(注意那个加负那个不加)c.指数函数:复数转换成三角的定义。d.只需记住:Lnz=ln[z]+i(argz+2k)
e.幂函数:底数为e时直接运算(一般转换成三角形式)当底数不为e时,w=za=eaLnz(幂指数为Ln而非ln)
ieeii,,e能够区分:,i的计算。
f.三角函数和双曲函数:
eizeizeizeizcos只需记住:z,sinz.
22i
其他可自己试着去推导一下。
eyeycosiychy2(2.15)及eyeysiniyishy2i
反三角中前三个最好自己记住,特别ArctgziLn1iz
21iz因为下一章求积分会用到5.复变函数的积分
(arctanz),1z21(如第三章的习题9)a.注:只有当函数解析即满足柯西-黎曼公式时求积分才与路径无关只与出没位置有关。(勿乱用)例如:zdz与路径无关。而zdz与路径有关。
ccb.柯西-古萨基本定理:当函数f(z)在以简单闭曲线C为边界的有界区域D内解析且在闭区域上连续时:
重要公式
f(z)dz0C2πi,n0,dzn1
(zz0)0,n0.|zz0|rc.柯西积分公式和高阶导数公式及其应用于计算积分:
1f(z)
dz.(3.17)2πizzf(z0)0C0!f(f(n)(z)nz)dz(3.20)
d.调和函数:
22n12πi(zz)0Cn1,2,。xy
一般与柯西-黎曼公式一起用:熟知课本P52中的例3.11中三种解法即可。6.级数
(x,y)调和:2a.熟知课本P59定理4.2及其推导(其中1最重要)性质。b.阿贝尔定理:判断收敛和发散区间。
c.幂级数的收敛半径:利用比值法和根值法。(方法同于高数级数)
d.泰勒级数:n0
f(z)cn(zz0)n1(n)成立,其中cnf(z0),n0,1,2,.
n!五个重要初等函数展开式:
2znez1zz.(4.8)2!n!
2n1z3z5znsinzz(1)3!5!(2n1)!(4.10)
z2z4z2nn(cosz12!4!1)(2n)!
(4.11)
其余可由式:
11zz2(1)nzn,|z|1.1z直接推导。(注意各展开式的[z]取值范围)
e.洛朗展开式:与泰勒展开式的主要区别在于其包含Z的负次数方幂。泰勒展开式是洛朗展开式的特殊形式。(即当洛朗展开式中奇点为可去奇点时展开式为泰勒形式)f.零点,奇点,极点
零点:即使得函数f(z)=0的点。奇点:即使得函数f(z)无意义的点。(P82定理4.18的三条关于孤立奇点的等价式实为可去奇点的特征)奇点又分为:可去奇点,本性奇点,一般奇点。可去奇点:即洛朗展开式中不存在Z的负次数方幂。本性奇点:即展开式中存在Z的负无穷次方幂。一般奇点:即展开式中存在Z的有限次负次数方幂。极点:即为奇点中除去可去奇点后的所有奇点。极点一定是奇点,但奇点不一定是奇点。
(奇点容易判断,极点可借助P83定理4.19判断同时可以学会判断是几阶极点,对于第五章中求留数有用)P84定理4.22:极点和零点的关系。7.留数
a.留数定理:Res[f(z),z0]12if(z)dzC(5.3)利用课本P93-94三种情形及第五章中判断极点的阶数求留数(没什么特殊方法,希望大家通过多练来掌握)
f(z),b.利用留数定理求积分:z)dz2πiRes[zk].(5.7)f(Ck1n有些情况下利用留数和定理:
Res[f(z),]Res[f(z),zk]k1n12πiCf(z)dz12πiCf(z)dz0.更便于求解
11特殊转换:Res[f(z),]Resfzz2,0c.用留数计算实积分:
2π
0R(cos,sin)d形如:的积分,一般令z=ei
使用条件:R(x,y)变量x,y的有理函数,并且在单位圆上分母不为零。
形如R(x)dx的积分
使用条件:函数R(x)是x的有理函数,而分母的次数至少比分子的次数高二次,并且R(x)在实轴上没有孤立奇点时,积分是存在的.
形如:
eixf(x)dx的积分
使用条件:其中f(z)在Imz≥0内除可能有有限各孤立奇点外处处解析,并且当z在Imz≥0上时P104引理5.3中(5.15)式成立。(具体理解大家可参考课本中的例题)老师所给划题目:P22-例、P26-例、P33-3
P26-例、P33-1P55-7(1、2)、相关例子P46-例、P47例、P55-8P88-11(1-6)P79-80例、P89-16(2、5)P90-18(1、2、3)P113-5、相关例子P97例、P113-6(1-5)P114-8、相关例子
以上基本上是理论的东西。有些东西仅为个人理解,如有问题可提出来。例题大家可参考吴林峰发到群邮箱内的试卷。里面全部附有答案(如果找不到的可找我要)。复变看书是作用不是很大,大家还是多做做题练习一下,效果会更好。
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