第十四章一次函数知识点总结8k
西吉县实验中学数学备课组八年级组
第十四章一次函数----知识点总结
基本概念
1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
例题：在匀速运动公式svt中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确
定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应
1例题：下列函数（1）y=πx(2)y=2x-1(3)y=(4)y=2-1-3x(5)y=x2-1中，是一次函数的有（）
x（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个
3、确定函数自变量取值范围的方法：
（1）关系式为整式时，自变量的取值范围为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，自变量的取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义。例题：下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（）A．y=2xB．y=1x2经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．(1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
(2)必过点：（0，0）、（1，k）
(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k0，y随x的增大而增大；k0时，向上平移；当b0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y随x的增大而增大；k0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b西吉县实验中学数学备课组八年级组
若k0，y1y2；若k0，y1y2。
11、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，
（3）将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线；将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线.
（4）若直线yxa和直线yxb的交点坐标为(m,8),则ab____________.（5）已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（）Ａ．3m+1Ｂ．3mＣ．mＤ．3m－1
10、一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函
b数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：0,b，,0.
k向上平移；当b0或ax+b0b0图象交点.
17、典型例题
类型一：正比例函数与一次函数定义
例1、当m为何值时，函数ym2xm23m4是一次函数？
图象从左到右上升，y随x的增大而增大经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限思路点拨：某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k≠0．解：∵函数ym2xm23m4是一次函数，
k西吉县实验中学数学备课组八年级组
（3）当y=4时，求x的值．类型二：待定系数法求函数解析式
例2、求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．思路点拨：图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出b即可．
解析：由题意可设所求函数表达式为y=2x+b，∵图象经过点（2，-1），∴-l=2×2+b．
∴b=-5，
∴所求一次函数的表达式为y=2x-5.
总结升华：求函数的解析式常用的方法是待定系数法，具体怎样求出其中的待定系数的值，要根据具体的题设条件求出。举一反三：
【变式1】已知弹簧的长度y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm，挂4kg的重物时，弹簧的长度是7.2cm，求这个一次函数的表达式．分析:题中并没给出一次函数的表达式，因此应先设一次函数的表达式y=kx+b，再由已知条件可知，当x=0时，y=6；当x=4时，y=7.2．求出k，b即可．【变式2】已知直线y=2x+1．
（1）求已知直线与y轴交点M的坐标；
（2）若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k，b的值．
【变式3】判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．
分析：由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明第三点在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．类型三：函数图象的应用
例3、图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)汽车共行驶了___________km；
(2)汽车在行驶途中停留了___________h；
(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为___________km/h；(4)汽车自出发后3h至4.5h之间行驶的方向是___________.
们行进的速度关系。
【变式2】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示。放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是()
A.14分钟B.17分钟C.18分钟D.20分钟
【变式3】某种洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如图所示：
根据图象解答下列问题：
（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升.①求排水时y与x之间的关系式；
②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量.
分析：依题意解读图象可知：从04分钟在进水，415分钟在清洗，此时，洗衣机内有水40升，15分钟后开始放水.
类型四：一次函数的性质
例4、己知一次函数y=kx十b的图象交x轴于点A（一6，0），交y轴于点B，且△AOB的面积为12，y随x的增大而增大，求k，b的值．
思路点拨：读懂图象所表达的信息，弄懂并熟悉图象语言.图中给出的信息反映了行驶过程中时间和汽车
位置的变化过程，横轴代表行驶时间，纵轴代表汽车的位置.图象上的最高点就是汽车离出发点最远的距离.汽车来回一次，共行驶了120×2=240(千米)，整个过程用时4.5小时，平均速度为240÷4.5=驶途中1.5时2时之间汽车没有行驶.解析：(1)240；(2)0.5；(3)
1603总结升华：这类题是课本例题的变式，来源于生活，贴近实际，是中考中常见题型，应注意行驶路程与两
1603思路点拨：设函数的图象与y轴交于点B（0，b），则OBb,由△AOB的面积，可求出b，又由点A在直线上，可求出k并由函数的性质确定k的取值．
解析：直线y=kx十b与y轴交于点B（0，b），点A在直线上，则6kb0①，由SAOB12OAOB12，即
126b12，解得b4代入①，可得k2323(千米/时)，行
，；(4)从目的地返回出发点.由于y随x的增大而增大，则k＞0,取k，则b4．
地之间的距离之间的区别.本题图象上点的纵坐标表示的是汽车离出发地的距离，横坐标表示汽车的行驶时间.举一反三：
【变式1】图中，射线分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程s与时间t的函数关系，求它
总结升华：该题考查的是待定系数法和函数值，仔细观察所画图象，找出隐含条件。举一反三：
【变式1】已知关于x的一次函数y3mx2m18．
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（1）m为何值时，函数的图象经过原点?
（2）m为何值时，函数的图象经过点（0，－2）?（3）m为何值时，函数的图象和直线y=－x平行?（4）m为何值时，y随x的增大而减小？
【变式2】若直线ykxbk0不经过第一象限，则k、b的取值范围是k______，b______．【变式3】函数ykxkk0在直角坐标系中的图象可能是（）．
∴直线CE的解析式：y13x13
②∵点E为等腰直角三角形斜边的中点
∴当点P（0,0）时，∠APE=45°.
举一反三：
【变式1】在长方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，点P沿边按A→B→C→D的方向向点D运
动（但不与A，D两点重合）。求△APD的面积y(
自变量的取值范围。
)与点P所行的路程x（cm）之间的函数关系式及
类型五：一次函数综合
例5、已知：如图，平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，1），C（-1，0），过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E。
（1）求∠OAB的度数及直线AB的解析式；
（2）若△OCD与△BDE的面积相等，①求直线CE的解析式；②若y轴上的一点P满足∠APE=45°，请直接写出点P的坐标。
解析：（1）∵A（1，0），B（0，1），
∴OA=OB=1，△AOB为等腰直角三角形
∴∠OAB=45°
设直线AB的解析式为：y=kx+b,将A（1，0），B（0，1）代入，
b1解得k=-1，b=1
kb0
【变式2】如图，直线ykx6与x轴y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）。
（1）求k的值；
（2）若点Px,y是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：在（2）的条件下，当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为
278，并说明理由。
∴直线AB的解析式为：y=-x+1（2）①∵SOCDSBDESBDES四边形∴SOCDS四边形OAEDOAED
即SCEASAOB∴12ACEy1212OAOB
Ey，将其代入y=-x+1，得E点坐标，
2211设直线CE为y=kx+b，将点C（-1，0），点E，代入
2211kb01kb1，解得13kb22第4页【共4页】
扩展阅读：第十四章_一次函数知识点总结和基础知识过关练习
第十四章一次函数知识点总结和基础知识过关练习（一）
知识点：
12.1变量与函数[变量和常量]
在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量，而数值始终保持不变的量，我们称之为常量。[函数]
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当xa时yb，那么b叫做当自(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k0，y随x的增大而增大；k0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k0时，向上平移；当b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y随x的增大而增大；k0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b
（3）两直线交于x轴上同一点：-[确定一次函数解析式的方法]
b相等k2、函数中（1）y=-
12122
x；（2）y=-；（3）y=-3-5x；（4）y=-5x；（5）y=6x-（6）y=x(x-4)-x.2x2是一次函数的有（）
（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个3．函数y（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数解析式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数的方程；2x1的自变量x的取值范围是。
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果.
12.3用函数观点看方程（组）与不等式[一元一次方程与一次函数的关系]
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.[一次函数与一元一次不等式的关系]
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b
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